পরিবহনে বিজ্ঞান/উল্লম্ব বক্ররেখা

পরিবহন/উল্লম্ব বক্ররেখার মৌলিক বিষয়

হাইওয়ের জন্য জ্যামিতিক নকশার দুটি গুরুত্বপূর্ণ স্থানান্তর উপাদানের মধ্যে উল্লম্ব বক্ররেখা হল দ্বিতীয়, প্রথমটি হল অনুভূমিক বক্ররেখা । একটি উল্লম্ব বক্ররেখা দুটি ঢালু রাস্তার মধ্যে একটি স্থানান্তর প্রদান করে, যা একটি যানবাহনকে হঠাৎ বাক (a sharp cut) নেয়ার পরিবর্তে উচ্চতার হার পরিবর্তন ধীরে ধীরে সম্পন্ন করতে দেয়। বক্ররেখার নকশা রাস্তার জন্য অভিপ্রেত গতির উপর নির্ভর করে, সেইসাথে ড্রেনেজ, ঢাল, পরিবর্তনের গ্রহণযোগ্য হার এবং ঘর্ষণ সহ অন্যান্য কারণের উপর নির্ভর করে। এই বক্ররেখাগুলি অর্ধবৃত্তাকার (প্যারাবোলিক) এবং একটি অনুভূমিক অক্ষের উপর ভিত্তি করে স্থাপন করা হয়।

বক্ররেখার মৌলিক বৈশিষ্ট্য

প্যারাবোলিক ফর্মুলেশন

A Road Through Hilly Terrain with Vertical Curves in New Hampshire

A Typical Crest Vertical Curve (Profile View)

দুই ধরনের উল্লম্ব বক্ররেখা বিদ্যমানঃ (১) স্যাগ কার্ভ এবং (২) ক্রেস্ট কার্ভ। স্যাগ কার্ভ ব্যবহার করা হয় যেখানে গ্রেডের ইতিবাচক পরিবর্তন হয়, যেমন উপত্যকা, অপরদিকে ক্রেস্ট বক্ররেখা ব্যবহার করা হয় যখন গ্রেডের পরিবর্তন নেতিবাচক হয়, যেমন পাহাড়। উভয় ধরণের বক্ররেখারই তিনটি সংজ্ঞায়িত বিন্দু রয়েছেঃ PVC (Point of Vertical Curve, উল্লম্ব বক্ররেখার বিন্দু), PVI (Point of Vertical Intersection, উল্লম্ব ছেদ বিন্দু), and PVT (Point of Vertical Tangency, উল্লম্ব স্পর্শকতার বিন্দু)। PVC হল বক্ররেখার শুরু বিন্দু যখন PVT হল শেষ বিন্দু। এই বিন্দুগুলির যেকোনো একটিতে অধিরোহ $e_{PVC}$ এবং $e_{PVT}$ গণনা করা যেতে পারে যথাক্রমে PVC এবং PVT-এর জন্য। PVC এর কাছে যাওয়া রাস্তার গ্রেড হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে $g_{1}$ এবং PVT ছেড়ে যাওয়া রাস্তার গ্রেড হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় $g_{2}$। এই গ্রেডগুলিকে সাধারণত (m/m) বা (ft/ft) একক দিয়ে বর্ণনা করা হয়, যা একক নির্বাচনের উপর নির্ভর করে।

উভয় ধরনের বক্ররেখা প্যারাবোলিক আকারে থাকে। প্যারাবোলিক ফাংশনগুলি এই ক্ষেত্রে উপযুক্ত বলে মনে করা হয়েছে কারণ তারা ধ্রুবক হারে ঢাল পরিবর্তন করে এবং সমান বক্র স্পর্শক নির্দেশ করে, যা শীঘ্রই আলোচনা করা হবে। প্যারাবোলিক সমীকরণের সাধারণ রূপটি নীচে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যেখানে $y$প্যারাবোলার উচ্চতা।

x = ০ এ, যা বক্ররেখা বরাবর PVC এর অবস্থানকে নির্দেশ করে যা PVC-এর সাথে মিলে যায়, উচ্চতা (elevation ) PVC-এর উচ্চতার সমান। সুতরাং, $c$ এর মানের সমান $e_{PVC}$। একইভাবে, x = ০ -তে বক্ররেখার ঢাল PVC-তে আগত ঢালের সমান, অথবা $g_{1}$। সুতরাং, $b$ এর মান সমান $g_{1}$। দ্বিতীয় ডেরিভেটিভটির ক্ষেত্রে, $a$ এর মান নির্ধারণ করা যেতে পারে যার মান ঢাল পরিবর্তনের হারের সমান।

$a={\frac {g_{2}-g_{1}}{2L}}\,\!$

সুতরাং, একটি উল্লম্ব বক্ররেখার জন্য প্যারাবোলিক সূত্রটি দেখানো যেতে পারে।

$y=e_{PVC}+g_{1}x+{\frac {(g_{2}-g_{1})x^{2}}{2L}}\,\!$

যেখানেঃ

• $e_{pvc}\,\!$: PVC এর আরোহ (এলিভেশন)
• $g_{1}\,\!$: প্রাথমিক রাস্তার গ্রেড (m/m)
• $g_{2}\,\!$: চুড়ান্ত রাস্তার গ্রেড (m/m)
• $L\,\!$: বক্রতার দৈর্ঘ্য (m)

অধিকাংশ উল্লম্ব বক্ররেখা সমান স্পর্শক বক্ররেখার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। একটি সমান স্পর্শক বক্ররেখার জন্য, PVC এবং PVI-এর মধ্যে অনুভূমিক দৈর্ঘ্য PVI এবং PVT-এর মধ্যে অনুভূমিক দৈর্ঘ্যের সমান। সাধারণত এই কার্ভগুলি ডিজাইন করা সহজ।

অফসেট

উল্লম্ব বক্ররেখার কিছু অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান। অফসেটগুলি, যা প্রারম্ভিক স্পর্শক থেকে বক্ররেখা পর্যন্ত উল্লম্ব দূরত্ব, উল্লম্ব বক্ররেখার নকশায় গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে। অফসেট নির্ধারণের সূত্রটি নিম্মে উল্ল্যেখ করা হলো।

$Y={\frac {Ax^{2}}{200L}}\,\!$

যেখানেঃ

• $A\,\!$: $g_{2}$ এবং $g_{1}$ এর মধ্যে পরম পার্থক্য, শতাংশে পরিবতবর্তন করতে ১০০ দ্বারা গুণ করা হয়
• $L\,\!$: কার্ভ দৈর্ঘ্য
• $x\,\!$: বক্ররেখা বরাবর PVC থেকে অনুভূমিক দূরত্ব

থামানোর জন্য দৃষ্টির দূরত্ব (Stopping Sight Distance)

দৃষ্টির দূরত্ব নির্ভর করে ব্যবহৃত বক্ররেখার ধরন এবং নকশা করার গতির উপর। ক্রেস্ট বক্ররেখার জন্য, দৃষ্টির দূরত্ব বক্ররেখার নিজের দ্বারাই সীমিত, কারণ বক্ররেখাটি হল বাধা। পার্শ্বে ঝুলে পড়া (সেগ) বক্ররেখার জন্য, দৃষ্টির দূরত্ব সাধারণত হেডলাইটের পরিসর দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে। AASHTO এর সেগ এবং ক্রেস্ট কার্ভের জন্য বেশ কতগুলো সারনী রয়েছে যা বক্রতার হার $K$ প্রস্তাব করে, একটি নকশা গতি বা স্টপিং দৃষ্টি দূরত্বের জন্য। প্রস্তাবিত বক্ররেখার দৈর্ঘ্য $L_{m}$ খুঁজে পেতে বক্রতার এই হারগুলিকে পরম ঢাল পরিবর্তনের শতাংশ $A$ দ্বারা গুণ করা যেতে পারে।

$L_{m}=KA\,\!$

সারনীর সাহায্য ছাড়াও বক্ররেখার দৈর্ঘ্য গণনা করা যেতে পারে। বক্ররেখাটি একটি স্যাগ বা ক্রেস্ট কিনা তার উপর নির্ভর করে একটি সমান স্পর্শক বক্ররেখার জন্য প্রয়োজনীয় দৃষ্টি দূরত্ব বের করার জন্য ন্যূনতম বক্ররেখার দৈর্ঘ্য নির্ধারণ করার কতগুলো সূত্র প্রণয়ন করা হয়েছে। দৃষ্টি দূরত্ব অন্যান্য সূত্র থেকেও গণনা করা যেতে পারে (দৃষ্টি দূরত্ব দেখুন)।

ক্রেস্ট উল্লম্ব বক্ররেখা

সঠিক সমীকরণ নকশা গতির উপর নির্ভর করে। যদি দৃষ্টির দূরত্বটি বক্ররেখার দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম পাওয়া যায় তবে নীচের প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করা হয়, যেখানে দ্বিতীয়টি বক্ররেখার দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি দৃষ্টি দূরত্বের জন্য ব্যবহৃত হয়। সাধারণত, বক্ররেখার দৈর্ঘ্য আগে থেকে অনুমান করা না গেলে কোনটি সত্য তা দেখতে উভয়ের গণনার প্রয়োজন।

$S<L:L_{m}={\frac {AS^{2}}{200\left({{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}}\right)^{2}}}\,\!$

$S>L:L_{m}=2S-{\frac {200\left({{\sqrt {h_{1}}}+{\sqrt {h_{2}}}}\right)^{2}}{A}}\,\!$

যেখানে:

• $L_{m}\,\!$: নূন্যতম বক্র দৈর্ঘ্য (মি)
• $A\,\!$: $g_{2}$ এবং $g_{1}$ মধ্যে পরম পার্থক্য, শতাংশে পরিবর্তন করতে ১০০ দ্বারা গুণ করা হয়
• $S\,\!$: দৃষ্টি দূরত্ব (মি)
• $h_{1}\,\!$: রাস্তার পৃষ্ঠের উপরে চালকের চোখের উচ্চতা (মি)
• $h_{2}\,\!$: রাস্তার পৃষ্ঠের উপরে উদ্দেশ্যের উচ্চতা (মি)

স্যাগ উল্লম্ব বক্ররেখা

ক্রেস্ট কার্ভের মতই, সঠিক সমীকরণটি ডিজাইনের গতির উপর নির্ভরশীল। যদি দৃষ্টির দূরত্বটি বক্ররেখার দৈর্ঘ্যের চেয়ে কম পাওয়া যায় তবে নীচের প্রথম সূত্রটি ব্যবহার করা হয়, যেখানে দ্বিতীয়টি বক্ররেখার দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি দৃষ্টি দূরত্বের জন্য ব্যবহৃত হয়। সাধারণত, বক্ররেখার দৈর্ঘ্য আগে থেকে অনুমান করা না গেলে কোনটি সত্য তা দেখতে উভয়ের গণনার প্রয়োজন।

$S<L:L_{m}={\frac {AS^{2}}{200\left({H+S\tan \beta }\right)}}\,\!$

$S>L:L_{m}=2S-{\frac {200\left({H+S\tan \beta }\right)}{A}}\,\!$

Where:

• $A\,\!$: $g_{2}$ এবং $g_{1}$ মধ্যে পরম পার্থক্য, শতাংশে পরিবর্তন করতে ১০০ দ্বারা গুণ করা হয়
• $S\,\!$: দৃষ্টির দূরত্ব (মি)
• $H\,\!$: হেডলাইটের উচ্চতা (মি)
• $\beta \,\!$: হেডলাইট বিমের আনত কোণ, ডিগ্রীতে

একটি SAG উল্লম্ব বক্ররেখার নিম্ন বিন্দুর অবস্থান খুঁজে পেতেঃ x হল PVC এবং নিম্ন বিন্দুর মধ্যে অনুভূমিক দূরত্ব

$x={\frac {G1L}{G1-G2}}\,\!$

• $G1\,\!$: গ্রেড ডাউন (%)
• $G2\,\!$: গ্রেড আপ (%)
• $L\,\!$: উল্লম্ব বক্ররেখার দৈর্ঘ্য (স্টেশন) ei. ৬০০  ফুট =৬

দৃষ্টি দূরত্ব অতিক্রম

ষ্টির দূরত্ব বন্ধ করার পাশাপাশি, এমন উদাহরণও থাকতে পারে যেখানে উল্লম্ব বক্ররেখায় পাস করা অনুমোদিত হতে পারে। স‍‍্যাগ কার্ভের জন্য, এটি কোনও সমস্যা নয়, কারণ রাতেও, বিপরীত দিকের একটি গাড়ি বেশ দূর থেকে দেখা যায় (গাড়ির হেডলাইটের সাহায্যে)। যাইহোক, ক্রেস্ট কার্ভের জন্য এটি এখনও আমলে নেওয়া প্রয়োজন। স্টপিং দৃষ্টি দূরত্বের মতো, ন্যূনতম দৈর্ঘ্যের প্রশ্নের উত্তর দিতে দুটি সূত্র আছে, যা পাসিং দৃষ্টি দূরত্ব বক্ররেখার দৈর্ঘ্যের চেয়ে বেশি বা কম কিনা তার উপর নির্ভর করে। এই সূত্রগুলি মেট্রিক একক ব্যবহার করে।

$S<L:L_{m}={\frac {A(PSD^{2})}{864}}\,\!$

$S>L:L_{m}=2PSD-{\frac {864}{A}}\,\!$

Where:

• $A\,\!$: The absolute difference between $g_{2}$ and $g_{1}$, multiplied by 100 to translate to a percentage
• $PSD\,\!$: পাসিং দৃষ্টি দূরত্ব (মি)
• $L_{m}\,\!$: নূন্যতম বক্ররেখা দৈর্ঘ্য (মি)

Demonstrations

• ফ্ল্যাশ অ্যানিমেশন: ক্রেস্ট উল্লম্ব বক্ররেখায় দৃষ্টি দূরত্ব বন্ধ করা (ওরেগন স্টেট ইউনিভার্সিটির অনুষদ এবং ছাত্রদের অবদান)
• ফ্ল্যাশ অ্যানিমেশন: স্যাগ ভার্টিক্যাল কার্ভের উপর দৃষ্টি দূরত্ব বন্ধ করা (ওরেগন স্টেট ইউনিভার্সিটির ফ্যাকাল্টি এবং ছাত্রদের অবদান))
• Video: উল্লম্ব প্রান্তিককরণ এবং দৃষ্টিশক্তি দূরত্ব

চিন্তা প্রশ্ন

সমস্যা

রাত্রিকালীন দৃষ্টি দূরত্বের সীমাবদ্ধতার কারণে স্যাগ কার্ভগুলির দৃষ্টি দূরত্বের প্রয়োজনীয়তা রয়েছে। গাড়ির হেডলাইটগুলির একটি সীমিত কোণ রয়েছে যেখানে তারা দূরত্বের বস্তুগুলি দেখতে যথেষ্ট উজ্জ্বল তীব্রতার সাথে জ্বলতে পারে। সরকার যদি স্ট্যান্ডার্ড গাড়ির হেডলাইটে আলোর একটি বিস্তৃত কোণ নিক্ষেপ করার অনুমতি দেয়, তবে এটি কি সফলভাবে আরও থামার দৃষ্টি দূরত্ব প্রদান করবে?

সমাধান

হ্যা অবশ্যই। একটি একক গাড়ির জন্য, যেটি অনেকগুলি সাগ কার্ভ সহ একটি রাস্তায় ভ্রমণ করছে, ডিজাইনের গতি বাড়ানো যেতে পারে যেহেতু আরও রাস্তা দেখা যায়৷ তবে, একই রাস্তায় অতিরিক্ত গাড়ি যুক্ত হলে সমস্যা দেখা দিতে শুরু করবে। হেডলাইট থেকে আলোর একটি বৃহত্তর কোণে নিক্ষেপ করা হলে, বিপরীত লেনের চালকরা গুরুতরভাবে অন্ধ হয়ে যাবে, দুর্ঘটনা এড়াতে তাদের গতি কমাতে বাধ্য করবে। শুধু শেষবারের মতো মনে করুন কেউ তাদের 'উজ্জ্বল' দিয়ে গাড়ি চালিয়ে আপনাকে অন্ধ করে দিয়েছে। এই সমস্যাটি আরও দুর্ঘটনার কারণ হতে পারে এবং লোকেদের গতি কমাতে বাধ্য করতে পারে, এইভাবে সামগ্রিকভাবে একটি নিট ক্ষতি হতে পারে।

নমুনা সমস্যা

সমস্যা (সমাধান)

অতিরিক্ত প্রশ্নাবলী

• হোমওয়ার্ক|হোমওয়ার্ক]]
• অতিরিক্ত প্রশ্ন

চলক

• $L$ - কার্ভ দৈর্ঘ্য
• $e$ - মনোনীত পয়েন্টের উচ্চতা, যেমন PVC, PVT, ইত্যাদি।
• $g$ - শ্রেণী
• $A$ - শতাংশে একটি নির্দিষ্ট বক্ররেখার জন্য গ্রেড শতাংশের সম্পূর্ণ পার্থক্য
• $y$ - বক্ররেখার উচ্চতা
• $Y$ - একটি নির্দিষ্ট স্টেশনের জন্য PVC থেকে গ্রেড স্পর্শক এবং বক্ররেখা উচ্চতার মধ্যে অফসেট
• $h_{1}$ - রাস্তার পৃষ্ঠের উপরে ড্রাইভারের চোখের উচ্চতা
• $h_{2}$ - রাস্তার পৃষ্ঠের উপরে বস্তুর উচ্চতা
• $H$ - হেডলাইটের উচ্চতা
• $\beta$ - হেডলাইট বিমের আনত কোণ, ডিগ্রীতে
• $S$ - সংশ্লিষ্ট দৃষ্টি দূরত্ব
• $K$ - বক্রতার হার
• $L_{m}$ - ন্যূনতম বক্র দৈর্ঘ্য

কি টার্মস

• PVC: উল্লম্ব বক্ররেখার বিন্দু
• PVI: উল্লম্ব ছেদ বিন্দু
• PVT: উল্লম্ব স্পর্শক বিন্দু
• ক্রেস্ট কার্ভ: নেতিবাচক গ্রেড পরিবর্তন সহ একটি বক্ররেখা (যেমন পাহাড়ের উপর)
• স্যাগ কার্ভ: একটি ইতিবাচক গ্রেড পরিবর্তন সহ একটি বক্ররেখা (যেমন একটি উপত্যকায়)