জ্যোতির্বিজ্ঞান/খ-গোলক/কোসাইন সূত্র

গোলকীয় ত্রিভুজের কোসাইন সূত্র একধরনের উপপাদ্য।এটি গোলকীয় ত্রিভুজের কোণ এবং পার্শ্বের মধ্যে সম্বন্ধ প্রকাশ করে যা সমতলীয় ক্ষেত্রের কোসাইন সূত্রের অনুরূপ।

Spherical triangle solved by the law of cosines.

একটি একক ক্ষেত্র দেওয়া আছে,যেখানে একটি গোলকীয় ত্রিভুজ ক্ষেত্রের পৃষ্ঠে u,v এবং w সংযোজিত হয়।এই ক্ষেত্রের গোলকীয় ত্রিভুজের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য a(u থেকে v) ,b(u থেকে w) ও c(v থেকে w) হয় এবং c এর বিপরীত কোণ C হয়,তাহলে কোসাইনের প্রথম সূত্র হবে:

$\cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,$

যেহেতু এটি একটি একক ক্ষেত্র তাই এর বাহু গুলোর দৈর্ঘ্য a,b এবং c সাধারণ ভাবেই এর বিপরীত বাহুর মধ্যবর্তী কোণদ্বয়ের সমান হবে।যেই কারনে,$C=\pi /2$, এবং $\cos(C)=0\,$ পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ি,

$\cos(c)=\cos(a)\cos(b).\,$

একে কোসাইনের দ্বিতীয় সূত্রও বলা হয়।সুতরাং,

$\cos(A)=-\cos(B)\cos(C)+\sin(B)\sin(C)\cos(a)\,$

যেখানে A এবং B হলো a ও b বাহুদ্বয়ের বিপরীত কোণ।

প্রমান

কোসাইন সূত্রের একটি প্রমান নিচে দেখানো হলো, ধরি u,vওw ত্রিভুজটির কোণ গুলির মধ্যবর্তী একক ভেক্টর নির্দেশ করে।তখন কোণ গুলোকে ডট ভেক্টর অনুযায়ী নিম্নরূপে লেখা যায়,

$\cos(a)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {v}$

$\cos(b)=\mathbf {u} \cdot \mathbf {w}$

$\cos(c)=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w}$

কোণ C পেতে আমাদের প্রয়োজন ট্যানজেন্ট ভেক্টর t_a এবংt_b যা u এর সাথে a এবং bবাহুর দিকে।এখানে vও u পরস্পর উলম্ব ভাবে আছে যা নিম্ন মাধ্যমে দেখানো যায়,

$\mathbf {t} _{a}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )}{\left|\mathbf {v} -\mathbf {u} (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\right|}}={\frac {\mathbf {v} -\mathbf {u} \cos(a)}{\sin(a)}}$

যেখানে হরের সাথে আমরা পিথাগোরাসের উপপাদ্য বসিয়ে পাই sin²(a) = 1 − cos²(a)

একই ভাবে,

$\mathbf {t} _{b}={\frac {\mathbf {w} -\mathbf {u} \cos(b)}{\sin(b)}}.$

সুতরাং কোণ C কে প্রকাশ করা যায় এভাবে,

$\cos(C)=\mathbf {t} _{a}\cdot \mathbf {t} _{b}={\frac {\cos(c)-\cos(a)\cos(b)}{\sin(a)\sin(b)}}$

বহিঃসংযোগ

• Spherical Law of Cosines
• Spherical Laws
• All laws of Spherical Triangles