গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/লা'হোপিটাল নিয়ম

মনে করি লিমিট

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}$

কে সরাসরি নির্ণয় করা যায় না কারণ হয় f(a) = g(a) = 0 অথবা

$\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=\infty$

লা'হোপিটালের নিয়ম বলে যে

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

মনে করি উভয়ই শূন্য। তাহলে অন্তরীকরণের মূল নিয়ম বা নিউটনের নিয়ম মতে অন্তরীকরণ হবে,

$f'(a)=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

সুতরাং,

${\frac {f'(a)}{g'(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}}$

${\frac {f'(a)}{g'(a)}}={\frac {f(a)}{g(a)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}$

এখন যদি $f$ এবং $g$ উভয়ই ধনাত্মক বা ঋণাত্মক অসীমের দিকে ধাবিত হয় তাহলে অন্যভাবে অন্তরীকরণকে সজ্ঞায়িত করা হয়

$f'(a)=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x+a)}{x}}$

তখন

${\frac {f'(a)}{g'(a)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {xf(x+a)}{xg(x+a)}}=\lim _{x\to 0}{\frac {f(x+a)}{g(x+a)}}={\frac {f(x+a)}{g(x+a)}}$