মেট্রিক স্পেস

সংজ্ঞা

মেট্রিক স্পেস হলো একটি সেট যেখানে দুটি পয়েন্টের মধ্যে দূরত্ব সংজ্ঞায়িত করা যায়। এটি একটি বস্তুনিষ্ঠ স্থানিক কাঠামো দেয়, যার মাধ্যমে বিভিন্ন গণিতের শাখায় কাজ করা যায়।

একটি মেট্রিক স্পেস হলো একটি যুগল \( (M, d) \), যেখানে:

\( M \) একটি সেট।
\( d \) হলো একটি ফাংশন \( d: M \times M \to \mathbb{R} \), যাকে মেট্রিক বা দূরত্ব ফাংশন বলা হয়, যা নিম্নলিখিত শর্তগুলি পূরণ করে:

 1. \( d(x, y) \geq 0 \) সকল \( x, y \in M \) এর জন্য (অঋণাত্মকতা)।
 2. \( d(x, y) = 0 \) তখনই যখন \( x = y \) (স্বাতন্ত্র্য)।
 3. \( d(x, y) = d(y, x) \) সকল \( x, y \in M \) এর জন্য (সমতা)।
 4. \( d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) \) সকল \( x, y, z \in M \) এর জন্য (ত্রিভুজ অসমতা)।

উদাহরণ

ইউক্লিডীয় স্থান

ইউক্লিডীয় স্থান \( \mathbb{R}^n \) হল সবচেয়ে পরিচিত মেট্রিক স্পেস, যেখানে দূরত্ব ফাংশন হিসাবে ইউক্লিডীয় দূরত্ব ব্যবহৃত হয়: \[ d(x, y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + (x_2 - y_2)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2} \]

বিচ্ছিন্ন মেট্রিক স্পেস

যেকোনো সেট \( M \) এর জন্য বিচ্ছিন্ন মেট্রিক \( d \) নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যায়: \[ d(x, y) = \begin{cases} 0 & \text{যদি } x = y \\ 1 & \text{যদি } x \neq y \end{cases} \]

গুণাবলী

মেট্রিক স্পেসের কিছু গুরুত্বপূর্ণ গুণাবলী হল:

সীমা এবং ধারাবাহিকতা: মেট্রিক স্পেসে ধারাবাহিকতা এবং সীমা সংজ্ঞায়িত করা যায়।
কনভার্জেন্স: একটি ক্রম \( \{x_n\} \) মেট্রিক স্পেসে কনভার্জ করে \( x \) এর প্রতি যদি যেকোনো \( \epsilon > 0 \) এর জন্য একটি \( N \) থাকে যেন \( n > N \) হলে \( d(x_n, x) < \epsilon \) হয়।

ব্যবহার

মেট্রিক স্পেসের ধারণা বিশ্লেষণ, টপোলজি, এবং গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞান সহ গণিতের বিভিন্ন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়।

রেফারেন্স

মুনকর্স, জেমস আর (২০০০)। টপোলজি। প্রেনটিস হল। আইএসবিএন 978-0-13-181629-9।
"মেট্রিক স্পেস"। MathWorld। সংগ্রহের তারিখ ২০২৪-০৬-০৯।

বহিঃসংযোগ