গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/বৃহৎ সংখ্যার সূত্র

দেওয়া X1, X2, ... যেটি i.i.d র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল এর একটি অসীম ক্রম সেটার সসীম প্রত্যাশিত মান E(X1) = E(X2) = ... = µ < ∞ , আমরা দেখতে চাই নমুনা গড়ের অভিন্নতা

${\overline {X}}_{n}={\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}).$

দুর্বল আইন

উপপাদ্য: ${\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty .$

প্রমাণ:

এই প্রমাণটি সসীম প্রকরণের অনুমান ব্যবহার করে $\operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}$ (সকল $i$ এর জন্য)। র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের স্বাধীনতা তাদের মধ্যে কোনো পারস্পরিক সম্পর্ককে বোঝায় না, এবং আমাদের আছে

$\operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.$

ক্রমটির সাধারণ গড় μ হলো গড় নমুনার মধ্যক:

$E({\overline {X}}_{n})=\mu .$

${\overline {X}}_{n}$-এ চেবিশেভের অসমতা ব্যবহার করার ফলে

$\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.$

এটি নিম্নলিখিতগুলো পেতে ব্যবহার করা যেতে পারে:

$\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon )=1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right.\ geq\varepsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.$

n অসীমের কাছে আসার সাথে সাথে অভিব্যক্তিটি ১ এর কাছে আসে। এবং সম্ভাব্যতার অভিসারের সংজ্ঞা অনুসারে (দেখুন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের অভিন্নতা), আমরা পেয়েছি

${\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu \qquad {\textrm {for}}\qquad n\to \infty .$