গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/বড় সংখ্যার সূত্র

মনে করি X1, X2, ... হলো একটি অসীম ক্রম যা একইভাবে বিস্তৃত (i.i.d.) অজানা চলক যাদের প্রত্যাশিত মান E(X1) = E(X2) = ... = µ < ∞, তাহলে নমুনার গড় হবে,

${\overline {X}}_{n}={\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}).$

দুর্বল সূত্র

উপপাদ্য: যদি $n\to \infty \qquad$ হয় তবে ${\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu$

প্রমাণ:

এই প্রমাণের জন্য সসীম বিভেদক (variance) $\operatorname {Var} (X_{i})=\sigma ^{2}$ ($i$ এর জন্য) ব্যবহার করা হয়। আরো ধরা হয় যে অজানা চলকগুলোর পারস্পারিক নির্ভরশীলতা নেই।

$\operatorname {Var} ({\overline {X}}_{n})={\frac {n\sigma ^{2}}{n^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.$

ক্রমের সাধারণ গড় μ ই নমুনার গড়:

$E({\overline {X}}_{n})=\mu .$

চেভিসেভের অসমতা ব্যবহার করে পাই ${\overline {X}}_{n}$

$\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\leq {\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.$

যাকে নিচের মতো ব্যবহার করা যায়:

$\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|<\varepsilon )=1-\operatorname {P} (\left|{\overline {X}}_{n}-\mu \right|\geq \varepsilon )\geq 1-{\frac {\sigma ^{2}}{n\varepsilon ^{2}}}.$

n অসীমের দিকে ধাবিত হলে রাশির মান ১ এর দিকে ধাবিত হয়। আর সম্ভব্যতার অভিসারী সংজ্ঞা থেকে (দেখুন অজানা চলকের অভিসারীতা) আমরা পাই যে,

$n\to \infty \qquad$ হয় তবে ${\overline {X}}_{n}\,{\xrightarrow {P}}\,\mu$