গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/পিথাগোরাসের ত্রিকোণোমিতির অভেদক

পিথাগোরাসের ত্রিকোণমিতিক অভেদক একটি ত্রিকোণমিতিক অভেদক যা ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের পরিপ্রেক্ষিতে পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে প্রকাশ করে। সমষ্টি-কোণ সূত্রগুলির সাথে sin এবং cos ফাংশনগুলোর মধ্যে মৌলিক সম্পর্ক যা থেকে অন্য সমস্ত অভেদক উদ্ভূত হতে পারে।

অভেদকের বিবৃতি

গাণিতিকভাবে, পিথাগোরাসের অভেদকের বিবৃতি হলো:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.\qquad \qquad (1)\!$

(উল্লেখ্য যে sin² x এবং (sin x)² একই)

এই অভেদক থেকে আরো দুইটি ত্রিকোণমিতির অভেদক নির্ণয় করা যায়। তাদের নিচে পদ্ধতিতে নির্ণয় করা যায়:

${\begin{aligned}{\frac {\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x}}+{\frac {\cos ^{2}x}{\sin ^{2}x}}&={\frac {1}{\sin ^{2}x}}&\qquad {\frac {\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}+{\frac {\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\\1+\cot ^{2}x&=\csc ^{2}x&\tan ^{2}x+1&=\sec ^{2}x\end{aligned}}$

(1) এর মতো, তাদের সরল জ্যামিতিক ব্যাখ্যা রয়েছে উদাহরণস্বরূপ বলা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের কথা উল্লেখ করা যায়।

প্রমাণ এবং পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাথে সম্পর্ক

সমকোণী ত্রিভুজ ব্যবহার করে

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের প্রাথমিক "সংজ্ঞা" সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে ব্যবহার করে,

$\sin x={\frac {\text{বিপরীত বাহু}}{\text{অতিভূজ}}}$

$\cos x={\frac {\text{সন্নিহিত বাহু}}{\text{অতিভূজ}}}$

উভয় পক্ষে বর্গ করে যোগ করে ডান পক্ষে পাই,

${\frac {{\text{বিপরীত বাহু}}^{2}+{\text{সন্নিহিত বাহু}}^{2}}{{\text{অতিভূজ}}^{2}}}$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে যার মান ১। উল্লেখ্য, যদিও, এই সংজ্ঞা শুধু 0 এবং ½π এর মধ্যে সত্য। তাই সকল কোণের জন্য এই অভেকদকে সত্য প্রমাণিত করে না।

প্রমাণটি সম্পূর্ণ করার জন্য, ত্রিকোণমিতিক প্রতিসাম্য, প্রতিস্থাপন এবং পর্যায়ক্রমিকতার অভেদক অবশ্যই ব্যবহার করা প্রয়োজন। পর্যায়কালিক সূত্রের মাধ্যমে আমরা বলতে পারি যে অভেদকটি বাস্তব x এর π < x ≤ π জন্য সত্য কিনা । এরপর আমরা ½π < x ≤ π অংশের জন্য প্রমাণ করবো। এজন্য আমরা মবে করি t = x - ½π, যেখানে t এর মান 0 < x ≤ ½π মানের মধ্যে অবস্থান করবে। তারপরে আমরা কিছু সাধারণ প্রতিস্থাপন অভেদকের বর্গাকার সংস্করণ ব্যবহার করতে পারি (যাতে সুবিধাজনকভাবে বিয়োগ চিহ্নগুলি সরিয়ে দেয়)।

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x\equiv \sin ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)+\cos ^{2}\left(t+{\frac {1}{2}}\pi \right)\equiv \cos ^{2}t+\sin ^{2}t\equiv 1.$

এখন শুধু −π < x < 0; অর্থ্যাৎ বিযোগের জন্য প্রমাণ রয়ে যায়। যা প্রতিসাম্য অভেদক দিয়ে নিচে মতো প্রমাণ করা যায়:

$\sin ^{2}x\equiv \sin ^{2}(-x){\mbox{ এবং }}\cos ^{2}x\equiv \cos ^{2}(-x)\,.$

একক ব্যাসার্ধের বৃত্তের জন্য

যদি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি একক বৃত্তের পরিপ্রেক্ষিতে সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে প্রমাণটি তাৎক্ষণিক: দেওয়া কোণ θ এর জন্য, বিদ্যমান অদ্বিতীয় বিন্দু P যা মূল বিন্দু বিশিষ্ট বৃত্তের উপর ইউক্লিডীয় তলে অবস্থিত। x-অক্ষ থেকে কোণ θ তে cos θ, sin θ সমূহ P বিন্দুর x ও y স্থানাংকের মান নির্দেশ করে। একক বৃত্তের সংজ্ঞা অনুসারে, এই স্থানাঙ্কগুলির বর্গের যোগফল ১।

পিথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সাথে সম্পর্কটি এই সত্যের মাধ্যমে যে ইউনিট বৃত্তটি আসলে সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়

$x^{2}+y^{2}=1\,.$

যেহেতু x- এবং y-অক্ষগুলি লম্ব, তাই এই সত্যটি আসলে ১ দৈর্ঘ্যের অতিভূজ সহ ত্রিভুজগুলির জন্য পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সমতুল্য (যা পরিবর্তে একটি অনুরূপ-ত্রিভুজ যুক্তি প্রয়োগ করে সম্পূর্ণ পাইথাগোরিয়ান উপপাদ্যের সমতুল্য)।

ঘাত ধারা ব্যবহার করে

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলোকে ঘাতের ধারা আকারে লেখা যায় (যেখানে x রেডিয়ান এককে):

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$

$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$

ঘাতের ধারার গুণনের নিয়ম ব্যবহার করে আমরা পাই

$\sin ^{2}x\,$	$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j+1)!}}x^{(2i+1)+(2j+1)}$
	$=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{n-1}}{(2i+1)!(2(n-i-1)+1)!}}\right)x^{2n}$
	$=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}\right){\frac {(-1)^{n-1}}{(2n)!}}x^{2n}$

$\cos ^{2}x\,$	$=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}{\frac {(-1)^{j}}{(2j)!}}x^{(2i)+(2j)}$
	$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{\frac {(-1)^{n}}{(2i)!(2(n-i))!}}\right)x^{2n}$
	$=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}\right){\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}$

উল্লেখ্য যে $\sin ^{2}$ এর জন্য , n এর মান কমপক্ষে ১ হবে, অন্য দিকে $\cos ^{2}$ এর জন্য, ধ্রুব অংশের মান ১ হবে। অবশিষ্ট অংশগুলোর যোগফল হবে (একই রকম অংশগুলো বাদ দিয়ে)

$\sum _{i=0}^{n}{2n \choose 2i}-\sum _{i=0}^{n-1}{2n \choose 2i+1}=\sum _{j=0}^{2n}(-1)^{j}{2n \choose j}=(1-1)^{2n}=0$

যা দ্বিপদী বিস্তৃতি থেকে পাওয়া যায়। যখন ত্রিকোণমিতিক ফাংশনগুলি এইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি পিথাগোরাসের অভেদকের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত নয়; তার পরিবর্তে, উপপাদ্যের সাথে একত্রে, অভেদকটি এখন দেখায় যে এই ঘাত ধারাগুলো একক বৃত্তকে প্যারামিটার করে, যা আমরা পূর্ববর্তী অংশে ব্যবহার করেছি। উল্লেখ্য যে এই সংজ্ঞাটি আসলে sin এবং cos ফাংশনগুলো অন্তরীক্ষ যোগ্য এবং আগের দুইটি প্রমাণকে ধারণ করে।

ব্যবকলননীয় সমীকরণ ব্যবহার করে

ব্যবকলননীয় সমীকরণের দুটি অনন্য সমাধান হিসাবে sin এবং cos ফাংশনগুলি সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব যেখানে ব্যবকলননীয় সমীকরণটি হলো

$y''+y=0$

যা এই শর্ত মেনে চলে $y(0)=0,y'(0)=1$ এবং $y(0)=1,y'(0)=0$। এটি সাধারণ ব্যবকলননীয় সমীকরণের তত্ত্ব থেকে অনুসরণ করে যেখানে পূর্বের শর্তের সমাধান, sin, পরের শর্তের সমাধান, cos, কারণ শর্ত অন্তরীকরণ হিসাবে রয়েছে এবং এটি জানা যে cos হলো sin এর অন্তরীকরণ ফল। পিথাগোরাসের অভেদক প্রমাণ করার জন্য নিচের ফাংশনটি দেখানোই যথেষ্ট হবে যে

$z=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x$

এর মান ধ্রুবক এবং ১। উপরে শর্ত প্রয়োগ করলে দেখা যায় যে $z'=0$ অর্থ্যাৎ z ধ্রুব, এবং $z(0)=1$.

অভেদকের এই রূপটির একইভাবে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের সাথে কোনও সরাসরি সংযোগ নেই।