গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/ইউক্লিডের মৌলিক সংখ্যার অসীমত্বের প্রমাণ
গ্রীক গণিতবিদ ইউক্লিড নিম্নলিখিত প্রমাণ দিয়েছেন যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে। এটি এই সত্যের উপর নির্ভর করে যে সমস্ত অ-মৌলিক সংখ্যা --- যৌগিক --- মৌলিক সংখ্যাগুলোতে একটি ফ্যাক্টরাইজেশন আছে।
ইউক্লিডের প্রমাণ দেখায় যে মৌলিক সংখ্যার যেকোনো সসীম সেট S-এর জন্য, কেউ সেই সেটের অন্তর্গত নয় এমন একটি মৌলিক খুঁজে পেতে পারে। (অনেক বইয়ে যা দাবি করা হয়েছে তার বিপরীতে, এটি কিছু n-এর জন্য প্রথম n মৌলিক সংখ্যা হওয়ার প্রয়োজন নেই, বা ইউক্লিড এটিকে সমস্ত মৌলিক সংখ্যার সেট বলে ধরে নেননি। উদাহরণস্বরূপ, সসীম সেট হতে পারে { ২, ৭, ৩১ }।)
ইউক্লিড ΠS সংখ্যাটিকে বিবেচনা করেছিলেন, যেখানে সসীম সেটের সকল সদস্যকে গুণ করার ফলাফল S। (উদাহরণস্বরূপ, যদি S হয় { ২, ৭, ৩১ } তাহলে ΠS হলো ২ × ৭ × ৩১ = ৪৩৪) তারপর তিনি এই নম্বরে ১ যোগ করেন, এবং ১ + ΠS পান। (উদাহরণস্বরূপ, যদি S হয় { ২, ৭, ৩১ } তাহলে ১ + ΠS হলো ১ + (২ × ৭ × ৩১) = ৪৩৫)। ইউক্লিড দাবি করেছিলেন যে এই সংখ্যা ১ + ΠSআমরা যে সসীম সেট S দিয়ে শুরু করেছি তার কোনো মৌলিক দ্বারা বিভাজ্য হতে পারে না (উদাহরণস্বরূপ, যদি S হয় { ২, ৭, ৩১ } তাহলে সংখ্যা ১ + ΠS, যা হলো ১ + (২ ;× ৭ × ৩১) = ৪৩৫, ২, ৭, বা ৩১; দ্বারা বিভাজ্য নয় আসলে এটি ৪৩৫ = ৩ × ২৯.) কিন্তু ১ + ΠSকে, প্রতিটি সংখ্যার মতো, হয় নিজেকেই মৌলিক হতে হবে অথবা নিজে ছাড়া অন্য কোনো মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। যেভাবেই হোক আমাদের একটি মৌলিক সংখ্যা আছে যা আমাদের প্রাথমিক সসীম সেট S-এ নেই। (উদাহরণস্বরূপ, যদি S হয় { ২, ৭, ৩১ } তাহলে নতুন মৌলিক সংখ্যাগুলো S-এ নেই ৩, ৫, এবং  ;২৯.)
প্রমাণের ইউক্লিডের বাক্যাংশে, 'S'-এ সমস্ত মৌলিক সংখ্যাকে গুণ করার পরিবর্তে, ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণিতককে বিবেচনা করা হয়েছিল। কিন্তু স্বতন্ত্র মৌলিক সংখ্যার ক্ষুদ্রতম সাধারণ গুণফল তাদের গুণফলের সমান।
অনেক বই ভুলভাবে বলে যে ইউক্লিডের প্রমাণ ছিল দ্বন্দ্ব দ্বারা, এই অনুমান থেকে শুরু করে যে শুধুমাত্র সীমিতভাবে অনেকগুলো মৌলিক সংখ্যা বিদ্যমান।[১]
রেফারেন্স
[সম্পাদনা]- ↑ মাইকেল হার্ডি এবং ক্যাথরিন উডগোল্ড, "প্রাইম সিম্পলিসিটি", গাণিতিক বুদ্ধিমত্তা, ভলিউম ৩১, নম্বর ৪, পতন ২০০৯, পৃষ্ঠা ৪৪-৫২।