গণিতের বিখ্যাত উপপাদ্য/অয়লারের সমীকরণ

অয়লারের সমীকরণ বলে যে,

$\exp i\theta =i\sin \theta +\cos \theta$

এই সমীকরণ থেকে বিখ্যাত অয়লারের অভেদ লেখা যায় এইভাবে,

$\exp i\pi +1=0$

প্রমাণ

সংজ্ঞা ১

$\exp \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\varphi ^{n}$

সংজ্ঞা ২

$\sin \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\varphi ^{2n+1}$

সংজ্ঞা ৩

$\cos \varphi =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\varphi ^{2n}$

নিম্নলিখিত ফলাফল ধরা হলে;

$\sin \pi =0$

$\cos \pi =-1$

উপপাদ্য ১

$\exp i\theta =\cos \theta +i\sin \theta$

প্রমাণ

সংজ্ঞানুসারে ১,

$\exp i\theta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(i\theta )^{n}$

এই যোগফলকে দুটি ভাগে ভাগ করলে পাওয়া যায়,

$\exp i\theta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}(i\theta )^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}(i\theta )^{2n+1}$

মাননির্ণয় করে পাওয়া যায়,

$\exp i\theta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{2n}}{(2n)!}}\theta ^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{2n+1}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}$

$\exp i\theta =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}\theta ^{2n}+i\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}$

সংজ্ঞানুসারে ২ এবং ৩,

$\exp i\theta =\cos \theta +i\sin \theta$ $\blacksquare$

উপপাদ্য ২

$\exp i\pi +1=0$

প্রমাণ

উপপাদ্য ১ এর সাহায্যে,

$\exp i\pi =\cos \pi +i\sin \pi$

$\exp i\pi =-1+0i$

অর্থাৎ,

$\exp i\pi +1=0$ $\blacksquare$