ক্যালকুলাস/অন্তরীকরণ/সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশনের অন্তরজ

সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন

$y=f(x)=a^{x}$ আকারের ফাংশনসমূহকে সূচকীয় ফাংশন বলা হয়, যেখানে $a>0$ এবং $a\neq 1$। এরূপ ফাংশনের ডোমেন হলো স্বাভাবিক সংখ্যার সেট $\mathbb {R}$ এবং রেঞ্জ $(0,\infty )$।

$f(x)=a^{x}$ ফাংশনের জন্য,

$a^{x_{1}+x_{2}}=a^{x_{1}}\cdot a^{x_{2}}$

$\left(a^{x_{1}}\right)^{x_{2}}=a^{x_{1}\cdot x_{2}}$

$a^{0}=1$, $a^{\frac {1}{x}}={\sqrt[{x}]{a}}$ এবং $a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}$

a^x এর অন্তরজ নির্ণয়

$(a^{x})'$	$=\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {a^{x+\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}\right]$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {a^{x}\cdot a^{\Delta x}-a^{x}}{\Delta x}}\right]$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {a^{x}(a^{\Delta x}-1)}{\Delta x}}\right]$
	$=a^{x}\cdot \lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}\right]$

মনে করি, $M(a)=\lim _{\Delta x\to 0}\left[{\frac {a^{\Delta x}-1}{\Delta x}}\right]$, এবং তাই, $(a^{x})'=M(a)\cdot a^{x}$

$e$ এর সংজ্ঞায়ন

মনে করি, $e$ এমন একটি সংখ্যা, যার জন্য $M(e)=1$। অর্থাৎ, $e^{x}$ এর অন্তরজ হবে, $(e^{x})'=e^{x}$।

সূচক ফাংশন একটি এক-এক ফাংশন। সুতরাং এর বিপরীত ফাংশন বিদ্যমান, যাকে লগারিদমীয় ফাংশন বলা হয়। $f(x)=y=a^{x}$ এর বিপরীত ফাংশন হবে $\log _{a}y=f^{-1}(y)=x$. $f(x)=\log _{a}x$ আকারের ফাংশনকে লগারিদমীয় ফাংশন বলে, যেখানে লগারিদমের ভিত্তি, $a>0$ এবং $a\neq 1$।

$e$ ভিত্তিক লগারিদমকে স্বাভাবিক লগারিদম বলা হয়। $x$ এর স্বাভাবিক লগারিদম $\log _{e}(x)$ বা $\ln(x)$, এবং $w=\ln(x)$ হলে, $e^{w}=x$। যেহেতু $e^{w}>0$, সুতরাং $x>0$। মনে করি,

	$\ln(a)$	$=p$
$\implies$	$e^{p}$	$=a$
$\implies$	$e^{\ln(a)}$	$=a$
$\implies$	$(e^{\ln(a)})^{x}$	$=a^{x}$
$\implies$	$(a^{x})'$	$=(e^{x\ln(a)})'$

যেহেতু $\ln(a)$ একটি ধ্রুব সংখ্যা, সুতরাং গুণফল, ভাগফল ও সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ অংশের উদাহরণ - 6 হতে লেখা যায়, $(e^{x\ln(x)})'=\ln(a)\cdot (e^{x\ln(x)})'(x\ln(x))$ $=\ln(a)\cdot e^{x\ln(x)}$ $=a^{x}\cdot \ln(a)$।

$a^{x}$ এর অন্তরজ

$(a^{x})'=a^{x}\cdot \ln(a)$

সুতরাং, $M(a)=\ln(a)=\lim _{p\to 0}{\frac {a^{p}-1}{p}}$

দুটি ধনাত্মক সংখ্যা $x_{1}$ এবং $x_{2}$ এর জন্য,

$\ln(x_{1}\cdot x_{2})=\ln(x_{1})+\ln(x_{2})$

ln(x) এর অন্তরজ

মনে করি,

	$w$	$=\ln(x)$
$\implies$	$e^{w}$	$=x$
$\implies$	$\left(e^{\ln(x)}\right)'$	$=x'$
$\implies$	$(\ln(x))'\cdot (e^{w})'(w)$	$=1$
$\implies$	$(\ln(x))'$	$={\frac {1}{(e^{w})'(w)}}$
		$={\frac {1}{e^{w}}}$
		$={\frac {1}{x}}$

$\ln(x)$ এর অন্তরজ

$(ln(x))'={\frac {1}{x}}$

লগারিদমীয় অন্তরীকরণ (Logarithmic Differentiation)

মনে করি $f(x)$ একটি ফাংশন এবং $f(x)>0$। সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজের সূত্র হতে পাই,

	$(\ln(f))'(x)$	$=$	$(\ln(f))'(f)\cdot f'(x)$
$\implies$	$f'(x)$	$=$	${\frac {(\ln(f))'(x)}{(\ln(f))'(f)}}$
		$=$	${\frac {(\ln(f))'(x)}{\frac {1}{f}}}$
		$=$	$f(x)\cdot (\ln(f))'(x)$

$f(x)>0$ হলে এ ফাংশনের এর অন্তরজ

$f'(x)=f(x)\cdot (\ln(f))'(x)$

উদাহরণ - 1:

$x^{x}$ এর অন্তরজ,

$(x^{x})'$	$=$	$(x^{x})\cdot (\ln(x^{x}))'$
	$=$	$(x^{x})\cdot (x\cdot \ln(x))'$
	$=$	$(x^{x})\cdot (x\cdot (\ln(x))'+\ln(x)\cdot x')$
	$=$	$(x^{x})\cdot (1+\ln(x))$

উদাহরণ - 2:

যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $r$ এর জন্য $x^{r}$ ধনাত্মক হলে, এর অন্তরজ,

$(x^{r})'$	$=$	$(x^{r})\cdot (\ln(x^{r}))'$
	$=$	$(x^{r})\cdot (r\cdot \ln(x))'$
	$=$	$(x^{r})\cdot (r\cdot x^{-1})$
	$=$	$rx^{r-1}$

আবার, $x^{r}$ ঋণাত্মক হলে $-x$ ধনাত্মক এবং $|r|$ বিজোড় সংখ্যা হবে। এক্ষেত্রে,

$(x^{r})'$	$=$	$(-(-x^{r}))'$
	$=$	$-(-x^{r})'$
	$=$	$(x^{r})'$
	$=$	$rx^{r-1}$

অর্থাৎ, যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $r\in \mathbb {R}$ এর জন্য $x^{r}$ এর অন্তরজ, $(x^{r})'=rx^{r-1}$।

আমরা দেখেছি, স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি $e$ যা একটি ধ্রুব সংখ্যা। তবে $e$ এর মান কত তা এই উইকিবইয়ে এখন পর্যন্ত নির্ণয় করা হয় নি। সুতরাং $e$ এর মান নির্ণয় করা গুরুত্বপূর্ণ। $e$ এর মান নির্ণয়ে সবচেয়ে বহুল ব্যবহৃত পদ্ধতি হলো একটি ধারার সাহায্যে নির্ণয় করা। ধারাটি নিম্নরূপ:

$e=2+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+...$$=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n!}}\right)$

সুইস গণিতবিদ লিউনার্দ অয়লার (১৫ এপ্রিল ১৭০৭ – ১৮ সেপ্টেম্বর ১৭৮৩) সর্বপ্রথম এই ধ্রুবকের জন্য $e$ বর্ণ ব্যবহার এবং এর মান নির্ণয়ের জন্য উক্ত অসীম ধারা ব্যবহার করেন। এ ধারা নির্ণয়ে টেইলরের সূত্র ব্যবহার করা হয়েছে, যা পরবর্তীতে আলোচনা করা হবে। তবে একটি লিমিটের সাহায্যেও এ সংখ্যার মান নির্ণয় করা যায়।

আমরা জানি, $\ln(1)=0$ এবং মনে করি, $k={\frac {1}{\Delta x}}$। আমরা লিখতে পারি,

$\ln \left[\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}\right]$	$=$	$k\cdot \ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)$
	$=$	${\frac {1}{\Delta x}}\cdot \ln \left(1+\Delta x\right)$
	$=$	${\frac {\ln \left(1+\Delta x\right)-\ln(1)}{\Delta x}}$

এখন,

$\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\ln \left(1+\Delta x\right)-\ln(1)}{\Delta x}}$ $=(\ln(x))'(1)$ $={\frac {1}{1}}$ $=1$

যেহেতু, $k={\frac {1}{\Delta x}}$, অর্থাৎ, $\Delta x\to 0$ হলে $k\to \infty$। সুতরাং,

$\lim _{k\to \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}\right]$	$=$	$\lim _{k\to \infty }\left[e^{\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}}\right]$
	$=$	$e^{\lim _{k\to \infty }\left[\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}\right]}$
	$=$	$e^{1}$ $=e$

$e=\lim _{k\to \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{k}\right]$