ক্যালকুলাস/অন্তরীকরণ/গুণফল, ভাগফল ও সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ

দুইটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরজ

কোনো একটি জটিল ফাংশন, উদাহরণস্বরূপ, $h(x)=(5x^5+9x^4+8x^2)(6x^7+8x^6+x^3+2x)$ এর অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে আমাদের সর্বপ্রথম সরল করতে হবে। অতঃপর প্রাপ্ত রাশির প্রতিটি পদের অন্তরজ নির্ণয় করে যোগ করতে হবে। তবে যদি এমন কোন ফাংশন থাকে, $g(x)=\sin (x)\cdot \cos (x)$, তখন এর অন্তরজ নির্ণয় একটি সময়সাপেক্ষ পদ্ধতি। দুইটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরীকরণের জন্য নিম্নোক্ত সূত্রটি ব্যবহৃত হয়:

দুইটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরজ

$(u\cdot v{)}^{\prime }(x)=u\cdot v^{\prime }(x)+v\cdot u^{\prime }(x)$

প্রমাণ:

মনে করি, $f(x)=u(x)\cdot v(x)=(u\cdot v)(x)$. অন্তরজের সংজ্ঞা থেকে পাই,

$f^{\prime }(x)$	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}\right]$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)\cdot v(x)}{\mathrm{\Delta }x}$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)\cdot v(x)}{\mathrm{\Delta }x}$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{[u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)]\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot [v(x+\mathrm{\Delta }x)-v(x)]}{\mathrm{\Delta }x}$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{(\mathrm{\Delta }u)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot (\mathrm{\Delta }v)}{\mathrm{\Delta }x}$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}[\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}\cdot u(x)]$
	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\right]\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}v(x+\mathrm{\Delta }x)+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}\right]\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}u(x)$
	$=u^{\prime }(x)\cdot v+u\cdot v^{\prime }(x)$

$◻$

উদাহরণ 1:

$h(x)=(5x^5+9x^4+8x^2)(6x^7+8x^6+x^3+2x)$ এর অন্তরজ,

$h^{\prime }(x)$	$=(5x^5+9x^4+8x^2)(6x^7+8x^6+x^3+2x{)}^{\prime }+(5x^5+9x^4+8x^2{)}^{\prime }(6x^7+8x^6+x^3+2x)$
	$=(5x^5+9x^4+8x^2)(42x^6+48x^5+3x^2+2)+(25x^4+36x^3+16x)(6x^7+8x^6+x^3+2x)$

প্রাপ্ত রাশির সরলীকরণের মাধ্যমে এই ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করা সম্ভব।

উদাহরণ 2:

$f(x)=\sin (x)\cdot \cos (x)$ এর অন্তরজ,

$f^{\prime }(x)$	$=\sin (x)\cdot (\cos (x){)}^{\prime }+(\sin (x){)}^{\prime }\cdot \cos (x)$
	$=-{\sin }^2(x)+{\cos }^2(x)$
	$={\cos }^2(x)-{\sin }^2(x)$

[বিঃদ্রঃ $x$ এর সাপেক্ষে $\sin (x)$ এবং $\cos (x)$ ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের কৌশল ত্রিকোণমিতিক ও বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ অংশে আলোচনা করা হয়েছে।]

দুইটি ফাংশনের গুণফলের $n$-তম অন্তরজ

$(f(x)g(x){)}^{(n)}=\sum _{i=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)f^{(n-i)}(x)g^{(i)}(x)$

যেখানে $\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)$ দ্বিপদী সহগ।

উপরোক্ত আলোচনায় দুইটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরজ নির্ণয়ের সূত্রের (Product Rule) একটি প্রমাণ উল্লেখ করা হয়েছে। এছাড়াও জ্যামিতিক চিত্রের সাহায্যেও এ সূত্রটি প্রমাণ করা যায়। পাশের চিত্রটি লক্ষ্য করি।

ধরি, $\mathrm{\Delta }y=u(x+\mathrm{\Delta }x)$ $⟹u(x+\mathrm{\Delta }x)=u+\mathrm{\Delta }u$। একইভাবে আমরা লিখতে পারি, $v(x+\mathrm{\Delta }x)=v+\mathrm{\Delta }v$।

চিত্রে, সবচেয়ে বড় অয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $(u+\mathrm{\Delta }y)(v+\mathrm{\Delta }v)$। যদি $v$ একই থাকে এবং $u$ বৃদ্ধি পায় তবে $u\cdot v$ ক্ষেত্রফলবিশষ্ট আয়তক্ষেত্রের সাথে $v\mathrm{\Delta }u$ আয়তক্ষেত্র যুক্ত হবে। অনুরূপভাবে, $u$ একই এবং $v$ বৃদ্ধি পেলে $u\cdot v$ ক্ষেত্রফলবিশষ্ট আয়তক্ষেত্রের সাথে $u\mathrm{\Delta }v$ আয়তক্ষেত্র যুক্ত হবে। $u$ এবং $v$ উভয়েই বৃদ্ধি পেলে বড় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে $uv+u\mathrm{\Delta }v+v\mathrm{\Delta }u+\mathrm{\Delta }u\mathrm{\Delta }v$। যখন, $\mathrm{\Delta }u\to 0$ এবং $\mathrm{\Delta }v\to 0$, তখন $\mathrm{\Delta }u\cdot \mathrm{\Delta }v$ এর মান অত্যন্ত ক্ষুদ্র এবং পরিহারযোগ্য হবে ($\mathrm{\Delta }u\cdot \mathrm{\Delta }v\to 0$)। সুতরাং,

	$[v\mathrm{\Delta }u+u\mathrm{\Delta }v+\mathrm{\Delta }u\mathrm{\Delta }v]$	$\approx u\mathrm{\Delta }v+v\mathrm{\Delta }u$
$⟹$	$(u+\mathrm{\Delta }u)(v+\mathrm{\Delta }v)-uv$	$\approx u\mathrm{\Delta }v+v\mathrm{\Delta }u$
$⟹$	$u(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)\cdot v(x)$	$\approx u\mathrm{\Delta }v+v\mathrm{\Delta }u$
$⟹$	$\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)\cdot v(x)}{\mathrm{\Delta }x}$	$\approx u\cdot \frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}+v\cdot \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}$
$⟹$	$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)\cdot v(x)}{\mathrm{\Delta }x}$	$=u\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }v}{\mathrm{\Delta }x}+v\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}$
$⟹$	$(uv{)}^{\prime }$	$=u\cdot v^{\prime }+v\cdot u^{\prime }$

$◻$

সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ

$f$ যদি $u$ এর একটি ফাংশন, এবং $u$ যদি $x$ এর একটি ফাংশন হয়, তবে আমরা বলতে পারি, $f(u)=f(u(x))=(f\circ u)(x)$, অর্থাৎ $f$ হলো $x$ এর একটি ফাংশনের ফাংশন। এরূপ ফাংশনের ব্যবকলনের জন্য নিম্নোক্ত সূত্রটি ব্যবহার করা যেতে পারে:

সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ

$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(u(x))\cdot u^{\prime }(x)$

প্রমাণ:

অন্তরজের সংজ্ঞা থেকে পাই,

	$f^{\prime }(x)$	$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}$
		$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}[\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}\cdot \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }u}]$
		$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}[\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }u}\cdot \frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}]$
		$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }u}\right]\cdot \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{\mathrm{\Delta }u}{\mathrm{\Delta }x}\right]$
		$=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\left[\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }u}\right]\cdot u^{\prime }(x)$

লক্ষ্য করি, $\mathrm{\Delta }x\to 0$ হলে $\mathrm{\Delta }u\to 0$। সুতরাং $\mathrm{\Delta }x\to 0$ সীমা নেওয়া এবং $\mathrm{\Delta }u\to 0$ সীমা নেওয়া একই। এখন,

$f^{\prime }(x)$	$=\underset{\mathrm{\Delta }u\to 0}{lim}\left[\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }u}\right]\cdot u^{\prime }(x)$
	$=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)$

$◻$

উদাহরণ 3:

মনে করি,

$f(x)=(x^3+5{)}^4$	যে ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করতে হবে
$u(x)=x^3+5$	$u(x)$ কে সংজ্ঞায়িত করি
$f(x)=(u(x){)}^4$	$u(x)$ এর মাধ্যমে $u(x)$ কে প্রকাশিত করি।
$f^{\prime }(x)=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)$	সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজের সূত্র প্রয়োগ করি
$f^{\prime }(x)=(u^4{)}^{\prime }\cdot (x^3+5{)}^{\prime }$	$f(u)$ এবং $u(x)$ কে প্রতিস্থাপন করি
$f^{\prime }(x)=4u(x)\cdot 3x^2$	অন্তরজ নির্ণয় করি
$f^{\prime }(x)=12x^2(x^3+5)$	$u(x)$ কে প্রতিস্থাপিত করি
$f^{\prime }(x)=12x^5+60x^2$	সরল করি

উদাহরণ 4:

মনে করি, $f(x)=|x|$ একটি ফাংশন। একটু লক্ষ্য করি, $x$ এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য $\sqrt{x^2}$ এর মান হবে $x$ এর পরমমানের সমান। ধরি, $u=x^2$ সুতরাং, $f(x)=|x|=\sqrt{x^2}$ এর অন্তরজ,

$(|x|{)}^{\prime }$	$={\left(\sqrt{x^2}\right)}^{\prime }$
	$=f^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)$
	$=\frac{1}{2}\cdot (x^2{)}^{\frac{1}{2}-1}\cdot 2x$
	$=\frac{1}{2}\cdot (x^2{)}^{-\frac{1}{2}}\cdot 2x$
	$=\frac{x}{\sqrt{x^2}}$ $=\frac{x}{|x|}$

উদাহরণ 5:

মনে করি, $f(x)=x^a$ একটি ফাংশন, যেখানে $a$ একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, $a=\frac{m}{n}$ আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে $m,n$ উভয়েই স্বাভাবিক সংখ্যা। সুতরাং,

		$f$	$=x^{\frac{m}{n}}$
	$⟹$	$f^n$	$=x^m$
	$⟹$	$u^{\prime }(x)$	$=(x^m{)}^{\prime }$	[ধরি $u=f^n$]
	$⟹$	$n{f}^{n-1}\cdot f^{\prime }(x)$	$=m{x}^{m-1}$
	$⟹$	$f^{\prime }(x)$	$=\frac{m{x}^{m-1}}{n{f}^{n-1}}$
			$=\frac{m{x}^{m-1}}{n{x^{\frac{m}{n}}}^{n-1}}$
			$=\left(\frac{m}{n}\right)x^{\frac{m}{n}-1}$
			$=a{x}^{a-1}$

এখান থেকে আমরা বলতে পারি, শুধুমাত্র স্বাভাবিক সংখ্যাই নয়, বরং যেকোনো ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার জন্য $(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$।

উদাহরণ - 6:

$f(x)$ একটি ফাংশন এবং $k$ একটি ধ্রুব সংখ্যা হলে,

$(f(kx){)}^{\prime }$	$=f^{\prime }(kx)\cdot (kx{)}^{\prime }$
	$=k\cdot f^{\prime }(kx)$

দুইটি ফাংশনের ভাগফলের অন্তরজ

মনে করি, $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$ একটি ফাংশন যাকে দুইটি ফাংশনের ভাগফল আকারে প্রকাশ করা যায়। এই ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে দুইটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরজ নির্ণয়ের সূত্রও ব্যবহার করা যায়, কেননা, $f(x)=u(x)\cdot \frac{1}{v(x)}$. আরো অল্প সময়ে এ ধরণের ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে নিম্নোক্ত সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

দুইটি ফাংশনের ভাগফলের অন্তরজ

${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{v\cdot u^{\prime }-u\cdot v^{\prime }}{v^2}$

প্রমাণ:

	$f(x)$	$=\frac{u(x)}{v(x)}$ $=u(x)\cdot \frac{1}{v(x)}$
$⟹$	$f^{\prime }(x)$	$=u\cdot {\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }+\frac{1}{v}\cdot u^{\prime }$

আমরা অন্তরীকরণের সংজ্ঞায়ন অংশের উদাহরণ - 1 হতে পাই, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$, এবং সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজের সূত্র ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি, ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }(x)=v^{\prime }(x)\cdot {\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }(v)$ $=v^{\prime }\cdot \left(\frac{-1}{v^2}\right)$ $=\frac{-v^{\prime }}{v^2}$. এখন,

$f^{\prime }(x)$	$=u\cdot {\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }+\frac{1}{v}\cdot u^{\prime }$	$=u\cdot \left(\frac{-v^{\prime }}{v^2}\right)+\frac{u^{\prime }}{v}$
		$=\frac{-u\cdot v^{\prime }}{v^2}+\frac{u^{\prime }}{v}$
		$=\frac{v\cdot u^{\prime }-u\cdot v^{\prime }}{v^2}$

$◻$

উদাহরণ - 7:

$\frac{x^2+5}{x-2}$ এর অন্তরজ,

${\left(\frac{x^2+5}{x-2}\right)}^{\prime }$	$=\frac{(x^2+5{)}^{\prime }(x-2)-(x^2+5)(x-2{)}^{\prime }}{(x-2{)}^2}$
	$=\frac{2x(x-2)-(x^2+5)}{x^2-4x+4}$
	$=\frac{2x^2-4x-x^2-5}{x^2-4x+4}$
	$=\frac{x^2-4x-5}{x^2-4x+4}$