সাধারণ আপেক্ষিকতা/বুধ গ্রহের অনুসূরের অগ্রগমন

কেপলারের সূত্র অনুসারে গ্রহের কক্ষপথের সমীকরণ হচ্ছে:

$r={\frac {l}{1+e\cos(\phi -\phi _{0})}}\Rightarrow {\frac {l}{r}}=1+e\cos(\phi -\phi _{0})$

যেখানে $\phi _{0}$ অনুসূর বিন্দুর স্থানাংক। গ্রহ যখন অনুসূরে থাকে তখন, $\phi =\phi _{0}$ হয়।

বুধ গ্রহের ক্ষেত্রে এই $\phi _{0}$ ধ্রুব নয় বরং সময়ের সাথে খুব ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয়। অনুসূর বিন্দু সূর্যের দিকে আরও এগিয়ে যায়। প্রতি শতাব্দীতে প্রায় ৫৬০০ আর্কসেকেন্ড এগিয়ে যায়। এর মধ্যে প্রায় ৫০২৫ আর্কসেকেন্ডের কারণ হচ্ছে: পৃথিবীর প্রসঙ্গ কাঠামো বুধ গ্রহের সাপেক্ষে জড় নয়, পৃথিবী নিজের কক্ষপথে ঘুরে আবার সূর্যের চারদিকেও ঘুরে। বাকি থাকল ৫৭৫ আর্কসেকেন্ড। এর মধ্যে কেবল ৪৩ আর্কসেকেন্ড বাদে বাকি পুরোটাই নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র দ্বারা ব্যাখ্যা করা যায়, অন্য গ্রহগুলোর মহাকর্ষীয় আকর্ষণই এর কারণ। কিন্তু ৪৩ আর্কসেকেন্ড কোনভাবেই ব্যাখ্যা করা যাচ্ছিল না। বিজ্ঞানীরা নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রতে কতোটা আস্থা রাখতেন তার প্রমাণ পাওয়া যায় তাদের এই ৪৩ আর্কসেকেন্ড মেলানোর চেষ্টা দেখে। সংখ্যাটি খুবই কম, বুধ সূর্যের চারদিকে একবার আবর্তন করার পর অনুসূর ৩৫,০০০ ভাগের মাত্র ১ ভাগ অগ্রসর হয়।

আইনস্টাইনের সাধারণ আপেক্ষিকতার মাধ্যমে এই ৪৩ আর্কসেকেন্ড ব্যাখ্যা করা যায়। শুরু করতে হয় শোয়ারৎসশিল্ড মেট্রিক দিয়ে: ${\begin{aligned}ds^{2}&=\left[1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right]dt^{2}-\left[1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right]^{-1}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\\&=\left[1-{\frac {r_{s}}{r}}\right]dt^{2}-\left[1-{\frac {r_{s}}{r}}\right]^{-1}dr^{2}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2})\end{aligned}}$

লাগ্রাঞ্জিয়ান, $L={\frac {ds^{2}}{ds^{2}}}=\left[1-{\frac {r_{s}}{r}}\right]{\dot {t}}^{2}-{\frac {{\dot {r}}^{2}}{\left[1-{\frac {r_{s}}{r}}\right]}}-r^{2}({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta {\dot {\phi ^{2}}})$

অয়লার-লাগ্রাঞ্জ সমীকরণ, ${\frac {d}{ds}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{i}}}={\frac {\partial L}{\partial x^{i}}}$

যদি $i=0$ হয় তাহলে,