বিষয়বস্তুতে চলুন

ক্যালকুলাস/অন্তরীকরণ/ত্রিকোণমিতিক ও বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ

উইকিবই থেকে
এখানে, , , এবং অন্যান্য অনুপাতসমূহকে এই দুইটি অনুপাতের সাহায্যে প্রকাশ করা যায়।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অন্তরজ[সম্পাদনা]

একটি ত্রিভুজ এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে , এবং হলে কোণের সাপেক্ষে হবে লম্ব, হবে ভূমি, এবং হবে অতিভুজ। যেকোনো ত্রিভুজের একটি কোণ হলে এর যেকোনো দুইটি বাহুর অনুপাতকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা প্রকাশ করা যায়। , , , , এবং - এই ছয়টি ফাংশনের প্রত্যেকটিকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বলে। যেকোনো কোণ এবং এর জন্য,

sine (সাইন) ফাংশনের অন্তরজ

প্রমাণ:

অন্তরজের সংজ্ঞা অনুসারে,

cosine (কোসাইন) ফাংশনের অন্তরজ

প্রমাণ:

অন্তরজের সংজ্ঞা অনুসারে,

সাইন এবং কোসাইন ফাংশন দুইটির অন্তরজ জানা থাকলে অন্য সকল ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করা সম্ভব। নিম্নে কয়েকটি উদাহরণ লিপিবদ্ধ করা হলো:

উদাহরণ - 1:[সম্পাদনা]
; [দুইটি ফাংশনের ভাগফলের অন্তরজ নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করে]
উদাহরণ - 2:[সম্পাদনা]
মনে করি,

অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরীকরণ[সম্পাদনা]

মনে করি, একটি সমীকরণ। এক্ষেত্রে, এর সাপেক্ষে এর অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সমীকরণের উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করতে হয়। নিম্নে এ পদ্ধতির সাহায্যে অন্তরজ নির্ণয়ের কয়েকটি উদাহরণ তুলে ধরা হলো:

উদাহরণ - 3:[সম্পাদনা]

[সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজের সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়, ]

একটি বৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ একক। তবে কোনো ফাংশন নয়; কেননা এর যেকোনো মানের জন্য এর দুইটি মান পাওয়া যাবে, , যেখানে । সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের ক্ষেত্রে বা এর সাপেক্ষে এর অন্তরজ নির্ণয় করা সম্ভব নয়। এরূপ সমীকরণের উভয়পক্ষের ব্যবকলন করা হলে পাওয়া যাবে, তবে তা শুধুমাত্র এর জন্য সত্য হবে। সুতরাং, উপরোক্ত উদাহরণ (3) হতে প্রাপ্ত অন্তরজ শুধুমাত্র বৃত্তটির উপরের অর্ধেকের জন্য সত্য।

উদাহরণ - 4:[সম্পাদনা]

এখানে, প্রদত্ত সমীকরণ -কে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করা যায়, এবং এর জন্য এ সমীকরণের সমাধান,

শুধুমাত্র ধনাত্মক মানের জন্য,

বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ[সম্পাদনা]

যদি এবং দুইটি ফাংশন হয়, তবে কে এর বিপরীত ফাংশন বলা হয়। এক্ষেত্রে,

বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ

প্রমাণ:[সম্পাদনা]

উদাহরণ - 5:[সম্পাদনা]

ধরি, , এবং এর অন্তরজ,

অধিবৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ[সম্পাদনা]

যদি এবং হয়, তবে , যা একটি বৃত্তের সমীকরণের ন্যায়। কার্তেসীয় তলে বিন্দুকে কেন্দ্র করে একক ব্যসার্ধের কোনো বৃত্তের পরিধির কোনো বিন্দু এবং বৃত্তের কেন্দ্র যদি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং অক্ষের একটি রেখাংশ যদি ত্রিভুজটির এক বাহু হয়, তবে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রে , যেখানে ভূমি এবং উচ্চতা। অতিভুজ হলে , যেখানে ভূমি এবং অতিভুজ সংলগ্ন কোণ। তাই, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে বৃত্তীয় ফাংশন বলা হয়।

সমীকরণটি একটি একক অধিবৃত্তের সমীকরণ। চিত্রের অধিবৃত্তের এর জন্য প্রাপ্ত বক্ররেখার কোনো বিন্দু পর্যন্ত বিন্দু হতে অঙ্কিত সরলরেখা, অধিবৃত্তের বক্ররেখা এবং অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল এর অর্ধেক হলে অধিবৃত্তের বক্ররেখায় অবস্থিত উক্ত বিন্দু হতে অক্ষের দূরত্ব হবে এবং অক্ষের দুরত্ব হবে । এক্ষেত্রে, সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রটির (লাল রঙে দাগাঙ্কিত অংশ) ক্ষেত্রফল যদি অক্ষের নীচের দিকে হয়, তবে এর মান ঋণাত্মক হবে। এবং ফাংশনদ্বয় অধিবৃত্তীয় ফাংশন, এবং বাকি সকল অধিবৃত্তীয় ফাংশনকে এই দুইটি ফাংশনের সাহায্যেই সংজ্ঞায়িত করা হয়।


অধিবৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ[সম্পাদনা]

অধিবৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণের জন্য সর্বপ্রথম ফাংশনসমূহের জন্য একটি বীজগাণিতির সমীকরণের প্রয়োজন। এক্ষেত্রে, সূচকীয় সংজ্ঞায়নের মাধ্যমে পাই,

অধিবৃত্তীয় সাইন,
অধিবৃত্তীয় কোসাইন,
অধিবৃত্তীয় সাইনের অন্তরজ

প্রমাণ:

অধিবৃত্তীয় কোসাইনের অন্তরজ

প্রমাণ: