ক্যালকুলাস/অন্তরীকরণ/ত্রিকোণমিতিক ও বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ

এখানে, $\sin(A)=a/h$, $\cos(A)=b/h$, এবং অন্যান্য অনুপাতসমূহকে এই দুইটি অনুপাতের সাহায্যে প্রকাশ করা যায়।

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অন্তরজ

একটি ত্রিভুজ $ABC$ এর তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $AC=b$, $AB=h$ এবং $BC=a$ হলে $\angle A$ কোণের সাপেক্ষে $a$ হবে লম্ব, $b$ হবে ভূমি, এবং $h$ হবে অতিভুজ। যেকোনো ত্রিভুজের একটি কোণ $x$ হলে এর যেকোনো দুইটি বাহুর অনুপাতকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দ্বারা প্রকাশ করা যায়। $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$, $\csc(x)$, $\sec(x)$ এবং $\cot(x)$ - এই ছয়টি ফাংশনের প্রত্যেকটিকে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন বলে। যেকোনো কোণ $x$ এবং $y$ এর জন্য,

$\tan(x)={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}};$	$\csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}};$
$\csc(x)={\frac {1}{\sin(x)}};$	$\sec(x)={\frac {1}{\cos(x)}};$
$\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)=1$
$\csc ^{2}(x)-\cot ^{2}(x)=1$
$\sec ^{2}(x)-\tan ^{2}(x)=1$

$\sin(x+y)=\sin(x)\cdot \cos(y)+\cos(x)\cdot \sin(y)$

$\cos(x+y)=\cos(x)\cdot \cos(y)-\sin(x)\cdot \sin(y)$

sine (সাইন) ফাংশনের অন্তরজ

$(\sin(x))'=\cos(x)$

প্রমাণ:

অন্তরজের সংজ্ঞা অনুসারে,

$(\sin(x))'$	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(x+\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}}$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(x)\cdot \cos(\Delta x)+\cos(x)\cdot \sin(\Delta x)-\sin(x)}{\Delta x}}$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(x)(\cos(\Delta x)-1)+\cos(x)\cdot \sin(\Delta x)}{\Delta x}}$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(x)(\cos(\Delta x)-1)}{\Delta x}}+\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos(x)\cdot \sin(\Delta x)}{\Delta x}}$
	$=\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\sin(x)}\right]\cdot \left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos(\Delta x)-1}{\Delta x}}\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}\cos(x)\right]\cdot \left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(\Delta x)}{\Delta x}}\right]$
	$=\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\sin(x)}\right]\cdot \left[0\right]+\left[\lim _{\Delta x\to 0}\cos(x)\cdot \right]\cdot \left[1\right]$
	$=\cos(x)$

$\square$

cosine (কোসাইন) ফাংশনের অন্তরজ

$(\sin(x))'=\cos(x)$

প্রমাণ:

অন্তরজের সংজ্ঞা অনুসারে,

$(\cos(x))'$	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos(x+\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}}$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos(x)\cdot \cos(\Delta x)-\sin(x)\cdot \sin(\Delta x)-\cos(x)}{\Delta x}}$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {-\sin(x)\cdot \sin(\Delta x)+\cos(x)(\cos(\Delta x)-1)}{\Delta x}}$
	$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos(x)(\cos(\Delta x)-1)}{\Delta x}}-\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(x)\cdot \sin(\Delta x)}{\Delta x}}$
	$=\left[\lim _{\Delta x\to 0}\cos(x)\right]\cdot \left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\cos(\Delta x)-1}{\Delta x}}\right]-\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\sin(x)}\right]\cdot \left[\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\sin(\Delta x)}{\Delta x}}\right]$
	$=\left[\lim _{\Delta x\to 0}{\cos(x)}\right]\cdot \left[0\right]-\left[\lim _{\Delta x\to 0}\sin(x)\cdot \right]\cdot \left[1\right]$
	$=-\sin(x)$

$\square$

সাইন এবং কোসাইন ফাংশন দুইটির অন্তরজ জানা থাকলে অন্য সকল ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করা সম্ভব। নিম্নে কয়েকটি উদাহরণ লিপিবদ্ধ করা হলো:

উদাহরণ - 1:

$\left[\tan(x)\right]'$	$=\left[{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right]'$
	$={\frac {\cos(x)\cdot (\sin(x))'-\sin(x)\cdot (\cos(x))'}{\cos ^{2}(x)}}$;	[দুইটি ফাংশনের ভাগফলের অন্তরজ নির্ণয়ের সূত্র প্রয়োগ করে]
	$={\frac {\cos(x)\cdot \cos(x)+\sin(x)\cdot \sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}$
	$={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}$
	$={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}$ $=\sec ^{2}(x)$

উদাহরণ - 2:

$\left[\cos \left({\frac {1}{x}}\right)\right]'$	$=\cos '(u)\cdot u'(x)$	মনে করি, $u(x)={\frac {1}{x}}$
	$=-\sin(u)\cdot u'(x)$
	$=-\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\cdot \left({\frac {1}{x}}\right)'$
	$=-\sin \left({\frac {1}{x}}\right)\left({\frac {-1}{x^{2}}}\right)$
	$={\frac {\sin(x^{-1})}{x^{2}}}$

অব্যক্ত ফাংশনের অন্তরীকরণ

মনে করি, $f(x,y)=g(x,y)$ একটি সমীকরণ। এক্ষেত্রে, $x$ এর সাপেক্ষে $y$ এর অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে সমীকরণের উভয়পক্ষকে অন্তরীকরণ করতে হয়। নিম্নে এ পদ্ধতির সাহায্যে অন্তরজ নির্ণয়ের কয়েকটি উদাহরণ তুলে ধরা হলো:

উদাহরণ - 3:

	$x^{2}+y^{2}$	$=1$
$\implies$	$(x^{2}+y^{2})'$	$=(1)'$
$\implies$	$(x^{2})'+(y^{2})'$	$=0$
$\implies$	$2x+2y\cdot y'$	$=0$
$\implies$	$2y\cdot y'$	$=-2x$
$\implies$	$y'$	$=-{\frac {x}{y}}$

[সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজের সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়, $(y^{2})'=2y\cdot y'$]

$x^{2}+y^{2}=1$ একটি বৃত্তের সমীকরণ, যার কেন্দ্র $(0,0)$ এবং ব্যাসার্ধ $1$ একক। তবে $y$ কোনো ফাংশন নয়; কেননা $x$ এর যেকোনো মানের জন্য $y$ এর দুইটি মান পাওয়া যাবে, $y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$, যেখানে $x\in [-1,1]$। সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের ক্ষেত্রে $y'$ বা $x$ এর সাপেক্ষে $y$ এর অন্তরজ নির্ণয় করা সম্ভব নয়। এরূপ সমীকরণের উভয়পক্ষের ব্যবকলন করা হলে $y'$ পাওয়া যাবে, তবে তা শুধুমাত্র $y\geq 0$ এর জন্য সত্য হবে। সুতরাং, উপরোক্ত উদাহরণ (3) হতে প্রাপ্ত অন্তরজ শুধুমাত্র বৃত্তটির উপরের অর্ধেকের জন্য সত্য।

উদাহরণ - 4:

	$y^{4}+xy^{2}$	$=3$
$\implies$	$(y^{4}+xy^{2})'$	$=(3)'$
$\implies$	$(y^{4})'+y^{2}\cdot x'+x\cdot (y^{2})'$	$=0$
$\implies$	$4y^{3}\cdot y'+y^{2}+x\cdot 2y$	$=0$
$\implies$	$y'$	$={\frac {-y}{4y^{2}+2}}$

এখানে, প্রদত্ত সমীকরণ $y^{4}+xy^{2}=3$ $\implies y^{4}+xy^{2}-3=0$ -কে একটি দ্বিঘাত সমীকরণ আকারে প্রকাশ করা যায়, $(y^{2})^{2}+x(y^{2})-3=0$ এবং $y$ এর জন্য এ সমীকরণের সমাধান,

$y=\pm {\sqrt {\frac {-x+{\sqrt {x^{2}+12}}}{2}}}$

শুধুমাত্র ধনাত্মক মানের জন্য,

$y={\sqrt {\frac {-x+{\sqrt {x^{2}+12}}}{2}}}$

$\therefore y'={\frac {\sqrt {{\sqrt {x^{2}+12}}-x}}{2{\sqrt {2}}\left(x-{\sqrt {x^{2}+12}}-1\right)}}$

বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ

যদি $y=f(x)$ এবং $g(y)=x$ দুইটি ফাংশন হয়, তবে $g$ কে $f$ এর বিপরীত ফাংশন বলা হয়। এক্ষেত্রে, $x=g(y)=f^{-1}(y)$

বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ

$\left(f^{-1}\right)'(x)={\frac {1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)}}$

প্রমাণ:

	$(f\circ f^{-1})(x)$	$=x$
$\implies$	$(f\circ f^{-1})'(x)$	$=1$
$\implies$	$f'(f^{-1}(x))\cdot (f^{-1})'(x)$	$=1$
$\implies$	$(f^{-1})'(x)$	$={\frac {1}{f'(f^{-1}(x))}}$

$\square$

উদাহরণ - 5:

ধরি, $y=\tan ^{-1}(x)$, এবং এর অন্তরজ,

$(\tan ^{-1}(x))'$	$={\frac {1}{\tan '(\tan ^{-1}(x))}}$
	$={\frac {1}{\tan '(y)}}$
	$={\frac {1}{\sec ^{2}(y)}}$
	$={\frac {1}{1+\tan ^{2}(y)}}$
	$={\frac {1}{1+x^{2}}}$

অধিবৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ

যদি $u=\sin ^{2}(x)$ এবং $v=\cos ^{2}(x)$ হয়, তবে $u^{2}+v^{2}=1$, যা একটি বৃত্তের সমীকরণের ন্যায়। কার্তেসীয় তলে $(0,0)$ বিন্দুকে কেন্দ্র করে $1$ একক ব্যসার্ধের কোনো বৃত্তের পরিধির কোনো বিন্দু এবং বৃত্তের কেন্দ্র যদি একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু এবং $x$ অক্ষের একটি রেখাংশ যদি ত্রিভুজটির এক বাহু হয়, তবে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রে $x^{2}+y^{2}=1$, যেখানে $x$ ভূমি এবং $y$ উচ্চতা। অতিভুজ $h$ হলে $x^{2}+y^{2}=h^{2}$ $\implies \left({\frac {x}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{h}}\right)^{2}=1$ $\implies \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1$, যেখানে $\theta$ ভূমি এবং অতিভুজ সংলগ্ন কোণ। তাই, ত্রিকোণমিতিক ফাংশনকে বৃত্তীয় ফাংশন বলা হয়।

$x^{2}-y^{2}=1$ সমীকরণটি একটি একক অধিবৃত্তের সমীকরণ। চিত্রের অধিবৃত্তের $x\geq 1$ এর জন্য প্রাপ্ত বক্ররেখার কোনো বিন্দু পর্যন্ত $(0,0)$ বিন্দু হতে অঙ্কিত সরলরেখা, অধিবৃত্তের বক্ররেখা এবং $x$ অক্ষ দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $a$ এর অর্ধেক হলে অধিবৃত্তের বক্ররেখায় অবস্থিত উক্ত বিন্দু হতে $x$ অক্ষের দূরত্ব হবে $\sinh(a)$ এবং $y$ অক্ষের দুরত্ব হবে $\cosh(a)$। এক্ষেত্রে, সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রটির (লাল রঙে দাগাঙ্কিত অংশ) ক্ষেত্রফল যদি $x$ অক্ষের নীচের দিকে হয়, তবে $a$ এর মান ঋণাত্মক হবে। $\sinh(x)$ এবং $\cosh(x)$ ফাংশনদ্বয় অধিবৃত্তীয় ফাংশন, এবং বাকি সকল অধিবৃত্তীয় ফাংশনকে এই দুইটি ফাংশনের সাহায্যেই সংজ্ঞায়িত করা হয়।

$\tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}$
$\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1$

অধিবৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরজ

অধিবৃত্তীয় ফাংশনের অন্তরীকরণের জন্য সর্বপ্রথম ফাংশনসমূহের জন্য একটি বীজগাণিতির সমীকরণের প্রয়োজন। এক্ষেত্রে, সূচকীয় সংজ্ঞায়নের মাধ্যমে পাই,

অধিবৃত্তীয় সাইন, $\sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$
অধিবৃত্তীয় কোসাইন, $\cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$

অধিবৃত্তীয় সাইনের অন্তরজ

$(\sinh(x))'=\cosh(x)$

প্রমাণ:

$(\sinh(x))'$	$=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)$
	$={\frac {1}{2}}[(e^{x})'-(e^{-x})']$
	$={\frac {1}{2}}[e^{x}-(-x)'\cdot (e^{-x})'(-x)]$
	$={\frac {1}{2}}[e^{x}+e^{-x}]$
	$=\cosh(x)$

অধিবৃত্তীয় কোসাইনের অন্তরজ

$(\cosh(x))'=\sinh(x)$

প্রমাণ:

$(\cosh(x))'$	$=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)$
	$={\frac {1}{2}}[(e^{x})'+(e^{-x})']$
	$={\frac {1}{2}}[e^{x}+(-x)'\cdot (e^{-x})'(-x)]$
	$={\frac {1}{2}}[e^{x}-e^{-x}]$
	$=\sinh(x)$