বিষয়বস্তুতে চলুন

ক্যালকুলাস/অন্তরীকরণ/গুণফল, ভাগফল ও সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ

উইকিবই থেকে

দুইটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরজ[সম্পাদনা]

কোনো একটি জটিল ফাংশন, উদাহরণস্বরূপ, এর অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে আমাদের সর্বপ্রথম সরল করতে হবে। অতঃপর প্রাপ্ত রাশির প্রতিটি পদের অন্তরজ নির্ণয় করে যোগ করতে হবে। তবে যদি এমন কোন ফাংশন থাকে, , তখন এর অন্তরজ নির্ণয় একটি সময়সাপেক্ষ পদ্ধতি। দুইটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরীকরণের জন্য নিম্নোক্ত সূত্রটি ব্যবহৃত হয়:

দুইটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরজ

প্রমাণ:[সম্পাদনা]

মনে করি, . অন্তরজের সংজ্ঞা থেকে পাই,

উদাহরণ 1:[সম্পাদনা]

এর অন্তরজ,

প্রাপ্ত রাশির সরলীকরণের মাধ্যমে এই ফাংশনটির অন্তরজ নির্ণয় করা সম্ভব।

উদাহরণ 2:[সম্পাদনা]

এর অন্তরজ,

[বিঃদ্রঃ এর সাপেক্ষে এবং ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের কৌশল ত্রিকোণমিতিক ও বিপরীত ফাংশনের অন্তরজ অংশে আলোচনা করা হয়েছে।]


দুইটি ফাংশনের গুণফলের -তম অন্তরজ


যেখানে দ্বিপদী সহগ।

উপরোক্ত আলোচনায় দুইটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরজ নির্ণয়ের সূত্রের (Product Rule) একটি প্রমাণ উল্লেখ করা হয়েছে। এছাড়াও জ্যামিতিক চিত্রের সাহায্যেও এ সূত্রটি প্রমাণ করা যায়। পাশের চিত্রটি লক্ষ্য করি।

ধরি, । একইভাবে আমরা লিখতে পারি,

চিত্রে, সবচেয়ে বড় অয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল । যদি একই থাকে এবং বৃদ্ধি পায় তবে ক্ষেত্রফলবিশষ্ট আয়তক্ষেত্রের সাথে আয়তক্ষেত্র যুক্ত হবে। অনুরূপভাবে, একই এবং বৃদ্ধি পেলে ক্ষেত্রফলবিশষ্ট আয়তক্ষেত্রের সাথে আয়তক্ষেত্র যুক্ত হবে। এবং উভয়েই বৃদ্ধি পেলে বড় আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল হবে । যখন, এবং , তখন এর মান অত্যন্ত ক্ষুদ্র এবং পরিহারযোগ্য হবে ()। সুতরাং,

সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ[সম্পাদনা]

যদি এর একটি ফাংশন, এবং যদি এর একটি ফাংশন হয়, তবে আমরা বলতে পারি, , অর্থাৎ হলো এর একটি ফাংশনের ফাংশন। এরূপ ফাংশনের ব্যবকলনের জন্য নিম্নোক্ত সূত্রটি ব্যবহার করা যেতে পারে:

সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজ

প্রমাণ:[সম্পাদনা]

অন্তরজের সংজ্ঞা থেকে পাই,

লক্ষ্য করি, হলে । সুতরাং সীমা নেওয়া এবং সীমা নেওয়া একই। এখন,

উদাহরণ 3:[সম্পাদনা]

মনে করি,

যে ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয় করতে হবে
কে সংজ্ঞায়িত করি
এর মাধ্যমে কে প্রকাশিত করি।
সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজের সূত্র প্রয়োগ করি
এবং কে প্রতিস্থাপন করি
অন্তরজ নির্ণয় করি
কে প্রতিস্থাপিত করি
সরল করি

উদাহরণ 4:[সম্পাদনা]

মনে করি, একটি ফাংশন। একটু লক্ষ্য করি, এর যেকোনো বাস্তব মানের জন্য এর মান হবে এর পরমমানের সমান। ধরি, সুতরাং, এর অন্তরজ,

উদাহরণ 5:[সম্পাদনা]

মনে করি, একটি ফাংশন, যেখানে একটি ধনাত্মক মূলদ সংখ্যা। অর্থাৎ, আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে উভয়েই স্বাভাবিক সংখ্যা। সুতরাং,

[ধরি ]

এখান থেকে আমরা বলতে পারি, শুধুমাত্র স্বাভাবিক সংখ্যাই নয়, বরং যেকোনো ধনাত্মক মূলদ সংখ্যার জন্য

উদাহরণ - 6:[সম্পাদনা]

একটি ফাংশন এবং একটি ধ্রুব সংখ্যা হলে,

দুইটি ফাংশনের ভাগফলের অন্তরজ[সম্পাদনা]

মনে করি, একটি ফাংশন যাকে দুইটি ফাংশনের ভাগফল আকারে প্রকাশ করা যায়। এই ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে দুইটি ফাংশনের গুণফলের অন্তরজ নির্ণয়ের সূত্রও ব্যবহার করা যায়, কেননা, . আরো অল্প সময়ে এ ধরণের ফাংশনের অন্তরজ নির্ণয়ের ক্ষেত্রে নিম্নোক্ত সূত্রটি ব্যবহার করা হয়:

দুইটি ফাংশনের ভাগফলের অন্তরজ

প্রমাণ:[সম্পাদনা]

আমরা অন্তরীকরণের সংজ্ঞায়ন অংশের উদাহরণ - 1 হতে পাই, , এবং সংযোজিত ফাংশনের অন্তরজের সূত্র ব্যবহার করে আমরা লিখতে পারি, . এখন,

উদাহরণ - 7:[সম্পাদনা]

এর অন্তরজ,