সাধারণ বলবিজ্ঞান/সূচক সংজ্ঞা

সাধারণ বলবিজ্ঞান

সমষ্টি প্রথা

যদি আমরা অক্ষগুলোকে 1, 2 এবং 3 হিসেবে চিহ্নিত করি, তাহলে আমরা বিন্দু গুণফলকে যোগফল হিসেবে লিখতে পারি

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{3}u_{i}v_{i}$

যদি আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের উপাদানগুলোকে একইভাবে চিহ্নিত করি,

$\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{pmatrix}}\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&B_{13}\\B_{21}&B_{22}&B_{23}\\B_{31}&B_{32}&B_{33}\end{pmatrix}}$

ম্যাট্রিক্স গুণনের জন্য আমরা একই রকম রাশি লিখতে পারি

$(\mathbf {A} \mathbf {u} )_{i}=\sum _{j=1}^{3}A_{ij}u_{j}\quad (\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=\sum _{j=1}^{3}A_{ij}B_{jk}$

লক্ষ্য করুন যে প্রতিটি ক্ষেত্রে আমরা পুনরাবৃত্ত সূচকের উপর সারসংক্ষেপ করছি। যেহেতু এটি খুবই সাধারণ, তাই এখন যোগফল চিহ্ন বাদ দেওয়া প্রচলিত।

এর পরিবর্তে আমরা কেবল লিখি

$\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{i}v_{i}\quad (\mathbf {A} \mathbf {u} )_{i}=A_{ij}u_{j}\quad (\mathbf {A} \mathbf {B} )_{ik}=A_{ij}B_{jk}$

এরপর আমরা একক ভেক্টর, ê_i, চিহিত করতে পারি এবং লিখতে পারি

$\mathbf {u} =u_{i}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}$

যা একটি ঘূর্ণায়মান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় সুবিধাজনক হতে পারে।

ক্রোনেকার ডেল্টা

ক্রোনেকার ডেল্টা হল

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&i=j\\0&i\neq j\end{matrix}}\right.$

এটি পরিচয় ম্যাট্রিক্স লেখার আদর্শ উপায়।

লেভি-সিভিটা (বিকল্প) প্রতীক

আরেকটি কার্যকর পরিমাণ নিম্নলিখিত সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে

$\epsilon _{ijk}=\left\{{\begin{matrix}1&(i,j,k)=(1,2,3){\mbox{ or }}(2,3,1){\mbox{ or }}(3,1,2)\\-1&(i,j,k)=(2,1,3){\mbox{ or }}(3,2,1){\mbox{ or }}(1,3,2)\\0&{\mbox{বা}}\end{matrix}}\right.$

এই সংজ্ঞা দিয়ে দেখা যাচ্ছে যে

$\mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}u_{j}v_{k}$

এবং

$\epsilon _{ijk}\epsilon _{ipq}=\delta _{jp}\delta _{kq}-\delta _{jq}\delta _{kp}\,$

এটি আমাদের অনেক সূত্র আরও সংক্ষিপ্তভাবে লিখতে সাহায্য করে।