সাধারণ বলবিজ্ঞান/শক্তি বিশ্লেষণ

শক্তি বিশ্লেষণ

চিত্র ১১.২: একমাত্রিক হারমোনিক দোলকের সম্ভাব্য, গতিশক্তি এবং মোট শক্তিকে স্প্রিং-এর স্থানচ্যুতির ফাংশন হিসেবে চিত্রায়িত করা হয়েছে।

স্প্রিং-এর ক্ষেত্রে, হুকের সূত্র অনুযায়ী মোট বল স্থানচ্যুতির সাথে সমানুপাতিক এবং বিপরীতমুখী হয়:

$F=-kx$

যেহেতু এটি বেগের উপর নির্ভর করে না, তাই এটি একটি সংরক্ষণশীল বল (conservative force)। আমরা এটি ইন্টিগ্রেট করে ভর-স্প্রিং সিস্টেমের সম্ভাব্য শক্তি নির্ণয় করতে পারি,

$V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}$

যেহেতু একটি সম্ভাব্য শক্তি বিদ্যমান, তাই মোট শক্তি

$E={\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$

সংরক্ষিত হয়, অর্থাৎ সময়ের সাথে অপরিবর্তিত থাকে।

এখন আমরা শক্তি সংরক্ষণ ব্যবহার করে অবস্থানের উপর নির্ভর করে বেগ নির্ণয় করতে পারি:

${\dot {x}}=\pm {\sqrt {{\frac {2E}{m}}-{\frac {k}{m}}x^{2}}}$

আমরা এই সমীকরণটি ইন্টিগ্রেট করে সময়ের ফাংশন হিসেবে অবস্থান বের করতে পারি, তবে এই সমীকরণ থেকেই অনেক কিছু অনুমান করা যায়।

এটি মোটামুটি স্পষ্ট যে ভরটি কীভাবে চলাচল করে। হুকের সূত্র থেকে জানা যায় যে ভরটি সবসময় স্থিতি অবস্থান (equilibrium position)-এর দিকে ত্বরণ (acceleration) প্রাপ্ত হয়, তাই আমরা জানি কোনটি স্কয়ার রুটের সঠিক চিহ্ন হবে।

বেগ শূন্য হয় যখন:

$x=\pm {\sqrt {\frac {2E}{k}}}$

যদি x এই মানের চেয়ে বেশি হয়, তাহলে বেগ কাল্পনিক হতে হবে, যা বাস্তবে সম্ভব নয়। তাই ভরটি এই দুই মানের মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকবে। আমরা এই পয়েন্টগুলোকে টার্নিং পয়েন্ট (turning points) বলতে পারি।

যদি ভরটি বামদিকে চলতে থাকে, এটি ধীরে ধীরে গতি হারিয়ে বাম টার্নিং পয়েন্টে পৌঁছায়। এই বিন্দুতে পৌঁছে থেমে যায় এবং ডানদিকে চলা শুরু করে। এটি ত্বরণ লাভ করে স্থিতি অবস্থান অতিক্রম করে এবং আবার ধীরে ধীরে গতি হারিয়ে ডান টার্নিং পয়েন্টে পৌঁছায়, এরপর আবার বামদিকে গতি শুরু করে — এভাবে ভরটি দুই টার্নিং পয়েন্টের মধ্যে দোলন করে।

এই দোলনের সময়কাল (period) কীভাবে মোট শক্তির উপর নির্ভর করে? আমরা পার্থক্য সমীকরণ (differential equation) সমাধান ছাড়াই এটি সম্পর্কে একটি সাধারণ ধারণা পেতে পারি।

সময়কাল, T কেবল দুটি প্যারামিটারের উপর নির্ভর করতে পারে — ভরের পরিমাণ m এবং স্প্রিং ধ্রুবক k।

আমরা জানি T এর একক হলো সেকেন্ড, এবং m এর একক হলো কিলোগ্রাম। হুকের সূত্রে একক মিলানোর জন্য, k এর একক হতে হবে নিউটন/মিটার, বা সমতুল্যভাবে, কেজি·সেকেন্ড^-2।

আমরা সহজেই দেখতে পাই যে কেবলমাত্র m ও k কে এমনভাবে সংযুক্ত করলে যার ফলে একক হবে সেকেন্ড — তা হলো ভাগ করে, যেখানে কেজি পরস্পর বিলুপ্ত হয়।

সুতরাং, T∝${\sqrt {m/k}}$

আমরা এইভাবে দেখাতে পারি যে সময়কাল কীভাবে এই সমস্যার প্যারামিটারগুলোর উপর নির্ভর করে, ক্যালকুলাস ছাড়াই।

এই কৌশলকে বলা হয় মাত্রামূলক বিশ্লেষণ (dimensional analysis), যার ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা ক্যালকুলাস ব্যবহার করে আনুপাতিক ধ্রুবকটি নির্ধারণ করতে না পারি, তবে কেবল একটি পরীক্ষার মাধ্যমেই এটি অনুমান করতে পারি। মাত্রামূলক বিশ্লেষণ ছাড়া, ক্যালকুলাস যদি ব্যর্থ হয়, তাহলে আমাদের অসংখ্য পরীক্ষা করতে হতো বিভিন্ন m ও k এর সংমিশ্রণে।

ভাগ্যক্রমে, এই ধরণের আনুপাতিক ধ্রুবক সাধারণত ছোট সংখ্যা হয়, যেমন $3{\sqrt {2}}$ বা ${\sqrt {\pi }}/2$ এর মতো।