সাধারণ বলবিজ্ঞান/যুগ্ম দোলক

আমরা প্রায়ই এমন সিস্টেম দেখি, যা একাধিক হারমোনিক দোলকের সমন্বয়ে গঠিত। নিচের উদাহরণটি এমন একটি সিস্টেম দেখাচ্ছে:

এই চিত্রে দুটি সমান ভর, m, দেখা যাচ্ছে। প্রথম ভরটি একটি স্থির প্রাচীরের সঙ্গে একটি ধ্রুবক k বিশিষ্ট স্প্রিং দ্বারা যুক্ত, আর দ্বিতীয় ভরটি প্রথমটির সঙ্গে একটি একইরকম স্প্রিংয়ের মাধ্যমে যুক্ত রয়েছে।

যদি স্প্রিংগুলো একে অপরের সঙ্গে যুক্ত না থাকত, তাহলে উভয় ভরই একই কম্পাঙ্কে দোলন করত, যার মান ω = √(k/m)। কিন্তু যেহেতু স্প্রিংগুলো একসঙ্গে যুক্ত, তাই সিস্টেমের আচরণ পরিবর্তিত হয়।

এই সংযুক্ত সিস্টেমটি কীভাবে কাজ করে তা বোঝার জন্য আমরা ল্যাগরেঞ্জিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করব। এখানে প্রতিটি ভরের স্থানচ্যুতি x₁ ও x₂ কে স্থানাঙ্ক হিসেবে ধরা হয়েছে।

কিছুটা বিশ্লেষণ করলেই বোঝা যায়:

$T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)\quad V={\frac {1}{2}}k\left(x_{1}^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}\right)$

এখানে ω² = k/m ধরা হলে,

$L={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{1}^{2}+{\dot {x}}_{2}^{2}\right)-{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}\left(x_{1}^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}\right)$

এই ল্যাগরেঞ্জিয়ান ব্যবহার করে গতি সমীকরণগুলো পাওয়া যায়:

${\begin{matrix}{\ddot {x}}_{1}&=&-\omega ^{2}(2x_{1}-x_{2})\\{\ddot {x}}_{2}&=&-\omega ^{2}(x_{2}-x_{1})\end{matrix}}\quad (1)$

এই সমীকরণগুলোর সমাধানের জন্য আমরা একটি ত্রিকোণমিতিক রূপ গ্রহণ করি:

$x_{1}=A_{1}\sin \Omega t\quad x_{2}=A_{2}\sin \Omega t$

এই রূপ (1)-এর সমীকরণে বসালে পাই:

${\begin{matrix}-\Omega ^{2}A_{1}&+&\omega ^{2}(2A_{1}-A_{2})&=&0\\-\Omega ^{2}A_{2}&+&\omega ^{2}(A_{2}-A_{1})&=&0\end{matrix}}$

একই কম্পাঙ্কের অন্য যেকোনো ত্রিকোণমিতিক সমাধান থেকেও একই ধরনের সমীকরণ আসবে।

A₁ ও A₂ এর সহগ একত্র করে আমরা সমীকরণটিকে নিচের ম্যাট্রিক্স রূপে লিখতে পারি:

${\begin{pmatrix}2\omega ^{2}-\Omega ^{2}&-\omega ^{2}\\-\omega ^{2}&\omega ^{2}-\Omega ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}\quad (2)$

এই সমীকরণে একটি অ-ত্রিবিয়াল সমাধান পাওয়ার জন্য ম্যাট্রিক্সটির ডিটারমিন্যান্ট শূন্য হওয়া চাই:

$\Omega ^{4}-3\omega ^{2}\Omega ^{2}+\omega ^{4}=0$

এই দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান:

$\Omega _{\pm }^{2}={\frac {3\pm {\sqrt {5}}}{2}}\omega ^{2}$

অতএব, এই সংযুক্ত সিস্টেমের দুটি প্রাকৃতিক কম্পাঙ্ক রয়েছে — একটি কম এবং একটি বেশি, যা একক স্প্রিংয়ের প্রাকৃতিক কম্পাঙ্কের তুলনায় যথাক্রমে নিচে ও উপরে। এটি সংযুক্ত দোলকদের একটি সাধারণ বৈশিষ্ট্য।

আমরা (2) সমীকরণ থেকে A₁ ও A₂ এর অনুপাত নির্ণয় করতে পারি। A₂ দ্বারা ভাগ দিলে পাই:

${\frac {A_{1}}{A_{2}}}=1-{\frac {\Omega _{\pm }^{2}}{\omega ^{2}}}$

• যখন কম্পাঙ্ক Ω_- হয়, অর্থাৎ ω এর চেয়ে কম, তখন অনুপাত ধনাত্মক হয় — মানে দুটি ভর একই দিকে চলে, যদিও বিস্তার (amplitude) ভিন্ন হয়। একে বলে in phase।

• যখন কম্পাঙ্ক Ω₊ হয়, অর্থাৎ ω এর চেয়ে বেশি, তখন অনুপাত ঋণাত্মক — মানে দুটি ভর বিপরীত দিকে চলে, এবং বিস্তারও ভিন্ন হয়। একে বলে in antiphase।

এই ধরনের আচরণ দুটি সংযুক্ত হারমোনিক দোলকের মধ্যে সাধারণত দেখা যায়।

একই বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করে দুইয়ের বেশি কণার সংযুক্ত সিস্টেমও বিশ্লেষণ করা সম্ভব।