সাধারণ বলবিজ্ঞান/বেগ নির্ভর বল

আমরা দেখেছি যে একটি হ্যামিলটোনিয়ান এর রূপ:

$H={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+V(\mathbf {r} )$

সংরক্ষণশীল বলের অধীনে গতির বর্ণনা দেয়, তবে এটি সর্বোচ্চ সাধারণ হ্যামিলটোনিয়ান নয়।

অনেক তরঙ্গ আরেকটি সাধারণ রূপ দ্বারা বর্ণিত হয়, যা জ্যামিতিক অপটিক্সের সীমায় পাওয়া যায়:

$H=f(|\mathbf {p} |)$

তাহলে যদি আমরা হ্যামিলটোনিয়ানের অন্যান্য রূপ বিবেচনা করি, তাহলে কী হবে?

ধরা যাক, আমাদের কাছে:

$H={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}+\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )$

এই ডট গুণফল অংশটি হলো সবচেয়ে সহজ স্কেলার যা আমরা গতিশক্তির সাথে যোগ করতে পারি, এবং এটি বলের উপর নির্ভরশীল। আমরা দেখতে পাব যে এটি স্থিতিশক্তির মতো কাজ করে।

হ্যামিলটোনিয়ানের সমীকরণগুলি ব্যবহার করে আমরা সরাসরি গতির সমীকরণ লিখে ফেলতে পারি।

${\begin{matrix}{\dot {x}}_{i}&=&{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}&=&{\frac {p_{i}}{m}}+A_{i}\\{\dot {p}}_{i}&=&-{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}&=&-p_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\end{matrix}}$

এখানে আমরা সামীকরণ চুক্তি ব্যবহার করছি।

এখন যে আমাদের গতির সমীকরণগুলি রয়েছে, আমাদের বুঝতে হবে তারা কী বোঝাচ্ছে।

প্রথম যে জিনিসটি আমরা লক্ষ্য করি তা হল যে গতি আর mv নয়। এখানে একটি অতিরিক্ত অবদান রয়েছে পটেনশিয়াল ক্ষেত্র A থেকে। আমরা একে পটেনশিয়াল মোমেন্টাম হিসেবে ভাবতে পারি, যা পটেনশিয়াল শক্তির মতো।

কণার উপর বল হল:

$F_{i}=m{\ddot {x}}_{i}={\dot {p}}_{i}+m{\frac {d}{dt}}A_{i}(\mathbf {r} )$

চেইন রুল ব্যবহার করে এবং দ্বিতীয় গতির সমীকরণে dp/dt এর জন্য প্রতিস্থাপন করলে, আমরা পাই:

$F_{i}=-p_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}+m{\dot {x}}_{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}$

প্রথম সমীকরণ ব্যবহার করলে, এটি হবে:

$F_{i}=m{\dot {x}}_{j}\left({\frac {\partial A_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\right)+mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}$

ব্র্যাকেটের অংশটি আমরা ক্রস গুণফলের মতো দেখতে পাই। কিছু পরিবর্তন করে, ক্রোনেকার ডেলটা এবং পরিবর্তনশীল চিহ্ন ব্যবহার করে, আমরা লিখতে পারি:

${\begin{matrix}F_{i}&=&{\dot {x}}_{j}\left(\delta _{il}\delta _{jk}-\delta _{ik}\delta _{jl}\right){\frac {\partial A_{l}}{\partial x_{k}}}&+&mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\\&=&{\dot {x}}_{j}\epsilon _{nij}\epsilon _{nlk}{\frac {\partial A_{l}}{\partial x_{k}}}&+&mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\\&=&-\epsilon _{ijn}{\dot {x}}_{j}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{n}&+&mA_{j}{\frac {\partial A_{j}}{\partial x_{i}}}\\&=&-\epsilon _{ijn}{\dot {x}}_{j}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)_{n}&+&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}A_{j}A_{j}\end{matrix}}$

অতএব, শেষ লাইনটি একটি ভেক্টর সমীকরণ হিসেবে লেখা যাবে:

$\mathbf {F} =-m\mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {A} )+{\frac {1}{2}}m\nabla A^{2}$

এই পটেনশিয়াল থেকে প্রাপ্ত বলের একটি অংশ এর কৃতিকার এবং গতির প্রতি আনুগত্য থাকে, এবং আরেকটি অংশ থাকে যা একটি স্কেলার গ্র্যাডিয়েন্ট।

যদি আমরা হ্যামিলটোনিয়ানে একটি সাবধানে নির্বাচন করা পটেনশিয়াল শক্তি যোগ করি, তাহলে আমরা এই দ্বিতীয় অংশটি বাতিল করতে পারি।

$H={\frac {p^{2}}{2m}}+\mathbf {p} \cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2}}mA^{2}\qquad \mathbf {F} =-m\mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)$

এই হ্যামিলটোনিয়ানটি সরলীকৃত হতে পারে:

$H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} +m\mathbf {A} \right)^{2}$

এখানে ব্র্যাকেটের অংশটি হল mv, যা মোমেন্টামের ফাংশন হিসেবে লেখা হয়েছে।

এই সাধারণ পরিবর্তনটি হ্যামিল্টোনিয়ানে আমাদের একটি বল দেয় যা বেগের সাথে লম্বভাবে থাকে, ঠিক চুম্বকত্বের মতো। কারণ বল এবং বেগ পরস্পর লম্ব, তাই বল দ্বারা সম্পাদিত কাজ সবসময় শূন্য হয়।

“আমরা সম্ভাব্য ক্ষেত্র (potential field) ব্যবহার করে বেগ-নির্ভর বলগুলো বর্ণনা করতে পারি, যদি এগুলো কোনো কাজ না করে।”

এই সমীকরণগুলিতে A-এর সহগটি ইচ্ছামতো নির্ধারণযোগ্য। এটিকে পরিবর্তন করার মানে হলো শুধু A-কে বিভিন্ন এককে মাপা, তাই আমরা সমানভাবে এভাবে লিখতে পারি:

$H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} +\alpha \mathbf {A} \right)^{2}\qquad \mathbf {F} =-\alpha \mathbf {v} \times \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)$

যদি α = m ধরা হয়, তাহলে A-কে বেগের এককে মাপা হয়, যা অনেক সময় সুবিধাজনক হতে পারে। তবে আমরা α-এর যেকোনো ধ্রুবমান মান ব্যবহার করতে পারি যেটা আমাদের প্রয়োজনে উপযোগী হয়। আপেক্ষিকতা (relativity) নিয়ে পড়াশোনা করার সময়, আমরা α = –1 ব্যবহার করব।

লক্ষ্য করুন, বলটি নির্ভর করে শুধুমাত্র A-এর কার্ল (curl)-এর উপর, A-এর উপর নয়। এর মানে, আমরা A-এর সাথে যেকোনো শূন্য কার্লযুক্ত ফাংশন যোগ করতে পারি, যাতে কিছুই পরিবর্তন হয় না — ঠিক যেমনভাবে আমরা সম্ভাব্য শক্তির সাথে একটি ধ্রুবক যোগ করতে পারি।

তদুপরি, ভেক্টর ক্যালকুলাসের একটি আদর্শ ফলাফল হলো, যেকোনো ভেক্টর ক্ষেত্রকে দুইটি উপাদানের সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা যায় — একটি যার কার্ল শূন্য, অপরটি যার ডাইভারজেন্স শূন্য। যেহেতু শূন্য কার্ল উপাদানটি মোট বলকে প্রভাবিত করে না, আমরা চাইলে এটিকে শূন্য বলে ধরতে পারি; অর্থাৎ আমরা A-এর ডাইভারজেন্স শূন্য রাখতে পারি।

$\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

এটিকে একটি গেজ শর্ত (gauge condition) বলা হয়। আপাতত, এটিকে ধরা যেতে পারে একটি স্বাভাবিক সংহরণ ধ্রুবকের মান নির্ধারণের একটি পদ্ধতি হিসেবে।