সাধারণ বলবিজ্ঞান/বাধ্য দোলক

উপরের চিত্রে যদি আমরা স্প্রিংয়ের বাম প্রান্তকে স্থির না রেখে, পরিমাণ d = d₀ sin ω_Ft অনুযায়ী নাড়াই, তাহলে এটি একটি বাধ্যতামূলক হারমোনিক দোলক (forced harmonic oscillator) হয়ে ওঠে।

এখানে d₀ হল সেই নাড়াচড়ার (wiggling) গতির প্রশস্ততা (amplitude)। আর ω_F হল বাহ্যিক বলের কম্পনের কম্পাঙ্ক (forcing frequency), যা স্প্রিং-ম্যাস সিস্টেমের প্রকৃতিক বা অনুরণন কম্পাঙ্ক (resonant frequency, ω) এর সমান নাও হতে পারে। যদি ω_F প্রকৃত কম্পাঙ্কর (ω) থেকে কম, সমান বা বেশি হয়, তাহলে সিস্টেমটি ভিন্নভাবে আচরণ করবে।

এই নাড়াচড়ার কারণে স্প্রিং দ্বারা ম্যাসের উপর যে বল কার্যকর হবে তা হবে:

$F=-k(x-d)=-k(x-d_{0}\sin \omega _{F}t)\,$

কারণ স্প্রিংয়ের দৈর্ঘ্য হল এর ডান এবং বাম প্রান্তের মধ্যে অবস্থানের পার্থক্য। অবাধ (unforced) স্প্রিং-ম্যাস সিস্টেমের মতো করেই আমরা নিচের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে পৌঁছাই:

$-\omega _{F}^{2}x_{0}\sin \omega _{F}t+{\frac {k}{M}}x_{0}\sin \omega _{F}t={\frac {k}{M}}d_{0}\sin \omega _{F}t$

এই সমীকরণের সমাধান হবে দুটি অংশের যোগফল: একটিতে x ∝ sin ω_Ft, এবং আরেকটিতে অবাধ সমীকরণের সমাধান। আমরা মূলত বাধ্যতামূলক অংশে আগ্রহী, তাই আমরা ধরবো x = d₀ sin ω_Ft এবং এটিকে গতির সমীকরণে প্রতিস্থাপন করবো, যা দেবে:

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {k}{M}}x={\frac {k}{M}}d_{0}\sin \omega _{F}t$

সাইন ফ্যাক্টরটি বাতিল হয়ে যাবে এবং আমাদের কাছে একটি বীজগণিত সমীকরণ থাকবে, যা ম্যাসের দোলনের প্রশস্ততার জন্য হবে।

ম্যাসের দোলনের প্রশস্ততা এবং নাড়াচড়ার প্রশস্ততার অনুপাত বের করতে আমরা পাই:

$-\omega _{F}^{2}x_{0}\sin \omega _{F}t+{\frac {k}{M}}x_{0}\sin \omega _{F}t={\frac {k}{M}}d_{0}\sin \omega _{F}t$

এখানে আমরা স্বীকার করেছি যে k/M = ω², যা মুক্ত দোলনের কম্পাঙ্কর বর্গ।

মনে রাখবেন যে, যদি ω_F < ω হয়, তাহলে ম্যাসের গতি নাড়াচড়ার সাথে এককালে (in phase) চলে এবং ম্যাসের দোলনের প্রশস্ততা নাড়াচড়ার প্রশস্ততার চেয়ে বড় হয়। যখন বাহ্যিক কম্পাঙ্ক প্রকৃতিক কম্পাঙ্কর কাছাকাছি চলে আসে, ম্যাসের প্রতিক্রিয়া প্রশস্ততায় বৃদ্ধি পায়।

যখন বাহ্যিক কম্পাঙ্ক অনুরণন কম্পাঙ্কর সমান হয়, তখন প্রতিক্রিয়া আনুষ্ঠানিকভাবে অসীম হয়ে যায়, তবে বাস্তবিক সীমাবদ্ধতা প্রতিক্রিয়ার প্রশস্ততা সীমাবদ্ধ করে -- যেমন, স্প্রিং অনন্ত পরিমাণে প্রসারিত বা সংকুচিত হতে পারে না। অনেক ক্ষেত্রে ঘর্ষণ (friction) অনুরণন কম্পাঙ্কর কাছাকাছি বাহ্যিক বলের প্রতিক্রিয়াকে সীমাবদ্ধ করে।

যখন বাহ্যিক কম্পাঙ্ক প্রকৃতিক কম্পাঙ্কর চেয়ে বড় হয়, তখন ম্যাস আসলে নাড়াচড়ার বিপরীত দিকে চলে -- অর্থাৎ, প্রতিক্রিয়া বাহ্যিক বলের সাথে এককালে চলে না (out of phase)। বাহ্যিক কম্পাঙ্ক অনুরণন কম্পাঙ্কর উপরে বাড়ানোর সাথে সাথে প্রতিক্রিয়ার প্রশস্ততা কমে যায়।

বাধ্যতামূলক এবং মুক্ত হারমোনিক দোলক অনেক শারীরিক সিস্টেমের গুরুত্বপূর্ণ অংশ গঠন করে। উদাহরণস্বরূপ, যে কোনো স্থিতিস্থাপক উপাদান যেমন সেতু বা বিমানের ডানা হারমোনিক দোলনের মোডে থাকে। একটি সাধারণ প্রকৌশল সমস্যা হল যে এই ধরনের মোডগুলো ঘর্ষণ বা অন্য কোনো শারীরিক মেকানিজম দ্বারা দমন করা উচিত, যখন এই মোডগুলোর উত্তেজনা (excitation) স্বাভাবিকভাবে ঘটে। অনেক বিপর্যয় এমন ভুলের কারণে ঘটে, যখন প্রকৌশল কাঠামোগুলোর মধ্যে দোলনের বাহ্যিক বল যথাযথভাবে বিবেচনা করা হয়নি।