সাধারণ বলবিজ্ঞান/নিয়ন্ত্রিত গতি

টেমপ্লেট:সাধারণ বলবিদ্যা

এখন পর্যন্ত আমরা নীরবে ধরে নিয়েছি যে আমরা কেবল বলকে অবস্থানের একটি ফাংশন হিসেবে হিসাব করতে পারি, তারপর নিচের ODE (সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ) গঠন করে সমাধান শুরু করতে পারি:

$m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )$

কিন্তু বিষয়টি সবসময় এত সহজ নয়।

প্রায়ই, আমাদের সীমাবদ্ধতার অধীন গতি নিয়ে কাজ করতে হয়; যেমন তারের ওপর দিয়ে একটি মুক্তো গড়িয়ে যাওয়া, একটি বল ঘর্ষণ ছাড়াই গড়ানো, অথবা একটি দড়ির সঙ্গে ঝুলে থাকা ভার।

এই ধরনের অবস্থায় এমন একটি বল থাকা চাই যা মুক্তোটিকে তারের ওপর ধরে রাখে, কিন্তু আমরা জানি না এই বলটি কী — আমরা কেবল জানি এটি কী করে। এটি ODE লেখার জন্য যথেষ্ট তথ্য নয়।

আমাদের এমন একটি পদ্ধতির প্রয়োজন যা অগ্রিম বলগুলি না জেনেও সমস্যাটি সমাধান করতে পারে।

এই সমস্যাটি কতটা সহজে সমাধানযোগ্য, তা নির্ভর করে সীমাবদ্ধতার ধরন অনুযায়ী।

যদি সীমাবদ্ধতা একটি অসমতা হয়, যেমন দড়িতে ঝুলে থাকা ভারের ক্ষেত্রে, তবে কোনো সহজ বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি নেই।

যদি সীমাবদ্ধতা কিছু ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ হিসেবে লেখা যায়, এবং এই সমীকরণগুলি অগ্রিম ইন্টিগ্রেট (সমাকলন) করা না যায়, তবে একটি বিশ্লেষণাত্মক পদ্ধতি আছে, কিন্তু তা এই বইয়ের পরিধির বাইরে। ঘর্ষণ ছাড়াই গড়ানো একটি বল এই শ্রেণিতে পড়ে।

যদি সীমাবদ্ধতা কিছু বীজগাণিতিক সমীকরণ হিসেবে লেখা যায়, এবং ঘর্ষণযোগ্য বল অবহেলাযোগ্য হয়, তবে একটি সরল পদ্ধতিতে সমস্যাটি সমাধান করা যায়।

সাধারণীকৃত স্থানাংক

ধরা যাক, আমাদের n সংখ্যক কণার একটি সিস্টেম আছে, যা নিচের মত k সংখ্যক সীমাবদ্ধতা পূরণ করে:

$f_{k}(\mathbf {r} _{1},\cdots ,\mathbf {r} _{n},t)=0$

তাহলে আমরা এই সীমাবদ্ধতাগুলি ব্যবহার করে কণাগুলোর 3n সংখ্যক স্থানাংকের মধ্যে k সংখ্যক বাদ দিতে পারি, ফলে 3n-k সংখ্যক স্বাধীন সাধারণীকৃত স্থানাংক পাই: q₁, q₂, … q_3n-k।

এই নতুন স্থানাংকগুলি অবস্থান ভেক্টরের উপাদানগুলোর মতো সবসময় দৈর্ঘ্য হবে না, এবং সাধারণত ভেক্টরও গঠন করবে না। এদের অনেক সময় কোণ হতে পারে।

এখন আমাদের দরকার নিউটনের নিয়মগুলিকে এই সাধারণীকৃত স্থানাংকে প্রকাশ করা।

উৎপন্নকরণ

প্রথম ধাপে আমাদের সীমাবদ্ধতার বল বাদ দিতে হবে।

এর জন্য আমাদের ভার্চুয়াল স্থানচ্যুতি বিবেচনা করতে হবে। এটি একটি অতিক্ষুদ্র স্থানচ্যুতি, যেখানে বল ও সীমাবদ্ধতা ধ্রুবক ধরা হয়। এটি সেই অতিক্ষুদ্র স্থানচ্যুতি নয় যা এক অতিক্ষুদ্র সময়ে ঘটে, কারণ সময়ের সাথে বল ও সীমাবদ্ধতা পরিবর্তিত হতে পারে।

কণা i-এর উপর মোট বল লেখা যায়: ::$\mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i}^{a}+\mathbf {F} _{i}^{c}$ :যেখানে প্রথমটি বাহ্যিক বল এবং দ্বিতীয়টি সীমাবদ্ধতার বল।

নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র: ::$\mathbf {F} _{i}^{a}+\mathbf {F} _{i}^{c}=\mathbf {F} _{i}={\dot {\mathbf {p} }}_{i}$

এখন আমরা এই সমীকরণটির উভয় পাশের সাথে ভার্চুয়াল স্থানচ্যুতি δr_i গুণ করি এবং সব কণার উপর সমষ্টি নিই: ::$\sum _{i}\left(\mathbf {F} _{i}^{a}+\mathbf {F} _{i}^{c}-{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

এখন আমরা ধরব যে সীমাবদ্ধতার বল ভার্চুয়াল স্থানচ্যুতির সাথে লম্বভাবে কাজ করে। এই ধারণাটি সাধারণত ঘর্ষণ না থাকলে সত্য, যেমন: একটি বলকে কোনো পৃষ্ঠে রাখার বল পৃষ্ঠের উপর লম্ব হয়।

এই অনুমানটিকে বলা হয় ডালেম্বার্টের নীতি।এর মাধ্যমে আমরা সীমাবদ্ধতার বল বাদ দিতে পারি: ::$\sum _{i}\left(\mathbf {F} _{i}^{a}-{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$ :বা, ::$\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{a}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{i}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}\quad (1)$

এই সমীকরণের বাম পাশে যেটা আছে তাকে বলা হয় ভার্চুয়াল ওয়ার্ক।

এখন আমাদের সাধারণীকৃত স্থানাংক ব্যবস্থায় পরিবর্তন করতে হবে।

আমরা লিখি: ::$\mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} i(q_{1},q_{2},\cdots ,q{3n-k},t)$

চেইন রুল ব্যবহার করে পাই: ::$\mathbf {v} _{i}=\sum _{j}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial t}}$ :এবং, ::$\delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$

এই থেকে আমরা পাই: ::${\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\quad (2)$

ভার্চুয়াল ওয়ার্ক এখন দাঁড়ায়: ::${\begin{matrix}\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} i&=&\sum {i,j}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\ &=&\sum _{j}Q_{j}\delta q_{j}\end{matrix}}$ :যেখানে Q_j হলো সাধারণীকৃত বলের উপাদান।

এখন আমরা (1)-এর ডান পাশকে একই রকম রূপে প্রকাশ করবো।

সমীকরণ (1)-এর ডান পাশে একই রকম রূপে প্রকাশ করতে, :$\sum _{i}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} i=\sum {i,j}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}$

এখন আমরা নিচের পরিচিতিটি ব্যবহার করব:

$\mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v} _{i}$

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{j}}}\left({\frac {1}{2}}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}\right)=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {v} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}$

সাধারণভাবে আমরা জানি না যে দ্বিতীয় পদটি কী হবে, কিন্তু ভার্চুয়াল স্থানচ্যুতির সমীকরণ (1)-এ কেবল ${\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}$ জাতীয় পদগুলোই আছে, যা ডট গুণফল। অতএব আমরা নিরাপদে ধরে নিতে পারি: ::${\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{j}}}\left({\frac {1}{2}}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}\right)\right)$

এখন আমরা দুটি পক্ষকেই যোগফলের মধ্যে যুক্ত করি:

$\sum _{i}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial }{\partial {\dot {q}}_{j}}}\left({\frac {1}{2}}m_{i}\mathbf {v} _{i}\cdot \mathbf {v} _{i}\right)\right)$

এবং যদি আমরা সম্ভাব্য বলের ক্ষেত্রে কাজ করি (যেমন মহাকর্ষ বল), তাহলে বাহ্যিক বল $\mathbf {F} _{i}$ কে প্রকাশ করা যায়:

$\mathbf {F} _{i}=-\nabla _{i}V$

সেখানে $\nabla _{i}$ নির্দেশ করে কণা $i$ এর অবস্থানের উপর ডেল অপারেটর। এইভাবে আমরা পেতে পারি:

$Q_{j}=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}=-\sum _{i}\nabla _{i}V\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}$

এই সবকে একত্র করে আমরা পাই ল্যাগরাঞ্জিয়ান:

$L=T-V$

এবং ল্যাগরেঞ্জের সমীকরণ:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right){\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0$

যা সাধারণীকৃত স্থানাংকের মাধ্যমে গতিশীলতা বিশ্লেষণের একটি শক্তিশালী পদ্ধতি সরবরাহ করে, সীমাবদ্ধতা উপেক্ষা করে।

আরও দেখুন

ল্যাগরেঞ্জের যান্ত্রিক তত্ত্ব

হ্যামিলটনের যান্ত্রিক তত্ত্ব

ভার্চুয়াল কাজের নীতি

ডালেম্বার্টের নীতি