সাধারণ বলবিজ্ঞান/নিউটনের নিয়ম ব্যবহার করে বিশ্লেষণ

নিউটনের নিয়ম ব্যবহার করে বিশ্লেষণ

যেকোনো সময়ে ভরের ত্বরণ নিউটনের দ্বিতীয় নিয়ম দ্বারা দেওয়া হয়

$a={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {F}{m}}=-{\frac {kx}{m}}$

এই ধরনের সমীকরণকে ব্যবকলনীয় সমীকরণ বলা হয়, কারণ এটি নির্ভরশীল চলকের একটি ডেরিভেটিভ অন্তর্ভুক্ত করে। এই ধরনের সমীকরণ সাধারণত বীজগাণিতিক সমীকরণের তুলনায় সমাধান করা কঠিন, কারণ এমন কোনো সার্বজনীন পদ্ধতি নেই যা সব ধরনের ব্যবকলনীয় সমীকরণের সমাধান দিতে পারে। প্রকৃতপক্ষে বলা যেতে পারে, অধিকাংশ ব্যবকলনীয় সমীকরণের সমাধান মূলত অনুমান করেই পাওয়া গিয়েছিল!

এমন কিছু সহজ ব্যবকলনীয় সমীকরণ রয়েছে যেগুলির জন্য পদ্ধতিগত সমাধান পাওয়া যায়, যেমন এই একটি। তবে আপাতত আমরা পদার্থবিজ্ঞানের সমস্যাটির জ্ঞান ব্যবহার করে একটি বুদ্ধিমান অনুমান করব।

আমরা জানি যে ভরটি পিছনে-সামনে দুলতে থাকে একটি নির্দিষ্ট দোলনকাল (পিরিয়ড) নিয়ে, যা দোলনের বিস্তৃতির উপর নির্ভর করে না। একটি সম্ভাব্য কার্য হল সাইন ফাংশন। আসুন আমরা এই অনুমান ব্যবহার করে দেখি,

$x=A\sin(\omega t)$

এখানে ω একটি ধ্রুবক, এই সমীকরণে বসানো হয়েছে।

আমরা পাই

$-\omega ^{2}A\sin(\omega t)=-A{\frac {k}{m}}\sin(\omega t)$

দেখুন যে সাইন ফাংশনটি উভয় পাশে কেটে যায়, ফলে আমরা পাই $\omega ^{2}={\frac {k}{m}}$ । সুতরাং, অনুমানটি কার্যকর হয় যদি আমরা নেই

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

এই ধ্রুবকটি হল দোলকের কৌণিক দোলন কম্পাঙ্ক, যা থেকে আমরা পাই দোলনের দোলনকাল

$T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}$

এটি মাত্রাগত বিশ্লেষণের ফলাফলের সঙ্গে মেলে। যেহেতু এটি $A$ এর উপর নির্ভর করে না, তাই আমরা দেখতে পাচ্ছি যে দোলনকাল বিস্তৃতির উপর নির্ভরশীল নয়।

সহজেই দেখানো যায় যে কোসাইন ফাংশনও একটি বৈধ সমাধান,

$x=B\cos(\omega t)$

একই $\omega$ এর জন্য।

আসলে, সবচেয়ে সাধারণ সমাধানটি এই দুইটির একটি সংমিশ্রণ, অর্থাৎ

$x=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t)$

$A,B$ এর মান নির্ভর করে $t=0$ সময়ে ভরের অবস্থান ও বেগের উপর।