সাধারণ বলবিজ্ঞান/নিউটনের নিয়মের বিকল্প রূপ

নিউটনের নতুন রূপায়ণ

পূর্ববর্তী অধ্যায়ে আমরা দেখেছি, কীভাবে নিউটনের গতিসূত্রগুলোকে যেকোনো কো-অর্ডিনেট ব্যবস্থায় রূপান্তর করে দ্বিতীয় সর্দি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে প্রকাশ করা যায়:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0$

অনেক সময় সমস্যা সমাধানে সরাসরি নিউটনের সূত্র ব্যবহারের চেয়ে ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান পদ্ধতি ব্যবহার করা সহজ হয়। তাত্ত্বিক বিশ্লেষণের জন্যও এটি বেশি উপযোগী।

তবে, ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান পদ্ধতি নিউটনের সূত্রের একমাত্র রূপ নয়। আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ এবং বিশ্লেষণের জন্য সুবিধাজনক পদ্ধতি হলো, গতিসমীকরণগুলোকে প্রথম সর্দি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণে রূপান্তর করা। এভাবে একটি স্বাভাবিকভাবে নির্ধারিত রূপ পাওয়া যায়।

এই উদ্দেশ্যে আমরা ক্যালকুলাসে পরিচিত একটি মানক কৌশল ব্যবহার করব।

উৎপন্নকরণ

ধরা যাক, আমরা নিচের ফাংশনটি নিচ্ছি:

$H(q,p,t)={\dot {q}}_{i}p_{i}-L(q,{\dot {q}},t)$

এখানে $q_{i}$ হলো সাধারণায়িত কো-অর্ডিনেট, $p_{i}$ হলো কিছু নতুন চলক যাদের তাৎপর্য আমরা শীঘ্রই দেখব, এবং $H$ শুধুমাত্র $q$ ও $p$ এর উপর নির্ভরশীল। এখানে সামেশন কনভেনশন ব্যবহৃত হয়েছে।

তখন আমরা পাই:

$dH={\dot {q}}_{i}dp_{i}+p_{i}d{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\quad (1)$

কিন্তু যেহেতু H কেবল p ও q এর উপর নির্ভরশীল, তাই:

$dH={\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}dq_{i}+{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}dp_{i}+{\frac {\partial H}{\partial t}}dt\quad (2)$

এই দুটি সমীকরণ একসাথে সত্য হতে হলে, প্রত্যেকটি ডিফারেনশিয়াল সদস্যের সহগ সমান হতে হবে।

সমীকরণ (2)-এ $d{\dot {q}}_{i}$ এর কোনো পদ নেই। ফলে সমীকরণ (1)-এ এর সহগ শূন্য হওয়া উচিত:

$p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

এটি p_i এর সংজ্ঞা দেয়। এটি ল্যাগ্রেঞ্জ সমীকরণে বসালে পাওয়া যায়:

${\dot {p}}_{i}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}$

এবং সমীকরণ (1) সরল হয়ে যায়:

$dH={\dot {q}}_{i}dp_{i}-{\dot {p}}_{i}dq_{i}-{\frac {\partial L}{\partial t}}dt$

এখন, সমীকরণ (2)-এর সঙ্গে তুলনা করে প্রথম সর্দি গতিসমীকরণ পাই:

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

এই সমীকরণগুলো হ্যামিলটনের সমীকরণ নামে পরিচিত এবং H কে বলা হয় হ্যামিলটনিয়ান।

H এবং p-এর ভৌত ব্যাখ্যা

H এবং p_i এর অর্থ বুঝতে আমরা কয়েকটি সহজ উদাহরণ দেখি।

প্রথমত, ধরা যাক একটি মুক্ত কণা, যার উপর কোনো বাহ্যিক বল নেই। এ ক্ষেত্রে p_i গুলোর অর্থ বোঝা যাবে।

কার্টেসিয়ান কো-অর্ডিনেট ব্যবহারে ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান হবে:

$L=T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$

তখন,

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}\quad p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=m{\dot {y}}\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}$

এগুলো কণাটির ভরবেগের উপাদান।

সিলিন্ড্রিক্যাল কো-অর্ডিনেট ব্যবহারে:

$L=T={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)$

এবং,

$p_{r}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}\quad p_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}$

এখানে p_z z-অক্ষ বরাবর ভরবেগ, p_r রেডিয়াল ভরবেগ, এবং p_θ হলো কোণীয় ভরবেগ।

এই উদাহরণগুলো দেখায়, p_i গুলো আসলে ভরবেগ—এদের বলা হয় "কনজুগেটেড মোমেনটা"।

হ্যামিলটনের সমীকরণ অনুযায়ী, যদি H কোনো নির্দিষ্ট কো-অর্ডিনেট $q$ থেকে স্বাধীন হয়, তাহলে:

${\dot {p}}_{q}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=0$

অর্থাৎ, সেই কো-অর্ডিনেটের সাথে সংশ্লিষ্ট ভরবেগ সংরক্ষিত থাকে। এটি সংরক্ষণ সূত্র এবং কো-অর্ডিনেট স্বাধীনতার মধ্যে গভীর সম্পর্ক নির্দেশ করে।

দ্বিতীয়ত, H এর অর্থ বুঝতে হলে ধরা যাক একটি কণা বিভব V এর মধ্যে চলছে এবং কো-অর্ডিনেট কার্টেসিয়ান।

তখন ল্যাগ্রেঞ্জিয়ান হবে:

$L=T-V={\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)-V(x,y,z)$

ভরবেগ হবে:

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}\quad p_{y}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=m{\dot {y}}\quad p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}$

এগুলো আবারো ভরবেগ।

এখন H হিসাব করি:

${\begin{matrix}H&=&{\dot {x}}p_{x}+{\dot {y}}p_{y}+{\dot {z}}p_{z}&-&L&&\\&=&m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)&-&{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)&+&V\\&=&{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)&&&+&V\\&=&T&&&+&V\end{matrix}}$

অর্থাৎ H হলো মোট শক্তি, যা অবস্থান ও ভরবেগের উপর নির্ভর করে।

যদিও সবক্ষেত্রে এটা প্রযোজ্য নয়, তবুও সাধারণ শক্তি সংরক্ষণকারী সিস্টেমে এটি সত্য।

সাধারণভাবে, যদি শক্তি কীভাবে অবস্থান ও বেগের উপর নির্ভর করে তা জানা থাকে, তাহলে সিস্টেমের সমস্ত গতি নির্ধারণ করা যায়।

অনেক সময় পদার্থবিজ্ঞানীরা H অথবা L দিয়েই বিশ্লেষণ শুরু করেন এবং বাহ্যিক বল হিসাব করেন না।

গভীরতর অর্থ

হ্যামিলটনের সমীকরণ:

${\dot {q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}$

তুলনা করলে জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞানের সমীকরণ পাওয়া যায়:

${\dot {x}}_{i}={\frac {\partial \omega }{\partial k_{i}}}\quad {\dot {k}}_{i}=-{\frac {\partial \omega }{\partial x_{i}}}$

এই দুটি সমীকরণ এক রকমের।

যদি রূপান্তর করি:

$H=\alpha \omega \quad p=\alpha k$

তাহলে দুটি সেট একে অপরের সমতুল্য হয়ে যায়।

জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞান হলো তরঙ্গ সমীকরণের একটি প্রায়োগিক রূপ, যেখানে তরঙ্গ দৈর্ঘ্য খুব ছোট।

সুতরাং, ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সকেও একটি ছোট তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের প্রায়োগিক তরঙ্গ তত্ত্ব হিসাবে দেখা যেতে পারে।

এটি কোনো প্রমাণ নয়, তবে একটি সামঞ্জস্য নির্দেশ করে। আমরা পরে দেখব এটি কাকতালীয় নয়—ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স সত্যিই কোয়ান্টাম মেকানিক্সের একটি ছোট তরঙ্গ দৈর্ঘ্যের রূপ।

হ্যামিলটনের সমীকরণ থেকে পয়সঁ ব্র্যাকেট নামে একটি গাণিতিক কৌশল উদ্ভূত হয়, যা ক্লাসিক্যাল মেকানিক্সকে এমনভাবে উপস্থাপন করে যা কোয়ান্টাম মেকানিক্সের সাথে সরাসরি সম্পর্কিত। তবে এই আলোচনা বইয়ের সীমার বাইরে।

যেহেতু ক্লাসিক্যাল মেকানিক্স জ্যামিতিক আলোকবিজ্ঞানের মতো, তাই এখানে ফার্মার সূত্রের মতো একটি নীতি থাকা উচিত—যেমন আলো সর্বদ্রুত পথ অনুসরণ করে। বাস্তবে সেটাই ঘটে।

আলো যেখানে a থেকে b সর্বদ্রুত পথ অনুসরণ করে, পদার্থ সেখানে সর্বনিম্ন ক্রিয়া পথ অনুসরণ করে। ক্রিয়া সংজ্ঞায়িত:

$\int _{a}^{b}L(x,{\dot {x}},t)\,dt$

এই ইন্টিগ্রালটি তখনই চরম মান গ্রহণ করে, যখন সিস্টেম ল্যাগ্রেঞ্জ সমীকরণ মেনে চলে। অর্থাৎ, পদার্থ সর্বনিম্ন ক্রিয়া পথ অনুসরণ করে মানেই, সে নিউটনের সূত্র বা ল্যাগ্রেঞ্জ সমীকরণ মেনে চলে।

আরও গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, সাধারণ আপেক্ষিকতায় দেখা যায় যে ক্রিয়া সময়ের সাথে আনুপাতিক—ফলে পদার্থ আসলে সর্বদ্রুত পথই অনুসরণ করে।