সাধারণ বলবিজ্ঞান/দ্বিমাত্রিক ও ত্রিমাত্রিক গতি

২ ও ৩ মাত্রায় গতি

আগে আমরা একমাত্রিক নিউটোনীয় গতিবিদ্যা নিয়ে আলোচনা করেছি। এখন যেহেতু আমরা ভেক্টর এবং আংশিক ডিফারেনশিয়েশন জানি, তাই এই আলোচনাকে দুই বা তিন মাত্রায় বাড়ানো যায়।

কাজ হয়ে যায় একটি ডট গুণফল:

W=\mathbf{F}\cdot \Delta x

একইভাবে শক্তি (পাওয়ার):

P=\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}

যদি বল চলার দিকের সাথে লম্ব হয়, তাহলে কোনো কাজ হবে না।

এক মাত্রায়, আমরা বলেছিলাম কোনো বল সংরক্ষনশীল (conservative) হলে তা কেবল অবস্থানের উপর নির্ভর করে, বা অন্যভাবে বলা যায়, তা সম্ভাব্য শক্তির ঋণাত্মক ঢাল।

এই দ্বিতীয় সংজ্ঞাটি দুই বা ততোধিক মাত্রায় হয়:

\mathbf{F}=-\nabla V

দুই বা তিন মাত্রায়, এই দুটি ব্যাখ্যা সমান নয়। এটি বোঝার জন্য ধরো:

D_y\mathbf{F}x-D_x\mathbf{F}y=V{xy}-V{yx}

যেহেতু ডিফারেনশিয়েশন-এর ক্রম পরিবর্তনে কোনো পার্থক্য হয় না, তাই উপরের সমীকরণের বাম পাশে থাকা অংশ শূন্য হওয়া উচিত, যদি বলটি সম্ভাব্য শক্তির গ্র্যাডিয়েন্ট আকারে লেখা যায়। কিন্তু এমন একটি বলের জন্য, যা কেবল অবস্থানের উপর নির্ভর করে, যেমন ‘’‘F’’’=(’‘y’’, -’‘x’’, 0), বাম পাশ শূন্য হয় না।

সংরক্ষনশীল বলের সুবিধা হলো — এই বল দ্বারা সম্পন্ন মোট কাজ কেবল শুরু ও শেষ বিন্দুর সম্ভাব্য শক্তির পার্থক্যের উপর নির্ভর করে, পথের উপর নয়। এখান থেকেই শক্তি সংরক্ষণ সূত্র আসে।

এই ক্ষেত্রে, যদি অতি ক্ষুদ্র স্থানচ্যুতি ‘‘d’’’’‘x’’’ হয়, তাহলে সম্পন্ন কাজ হবে:

W=V(\mathbf{x})-V(\mathbf{x}+d\mathbf{x})=-(\nabla V)\cdot d\mathbf{x}

এটি প্রথম সমীকরণের সাথে তুলনা করলে দেখা যায়, যদি সম্ভাব্য শক্তি থাকে তাহলে অবশ্যই:

\mathbf{F}=-\nabla V

এইরকম যেকোনো F-ই সংরক্ষনশীল বল।

বৃত্তাকার গতি

দুই মাত্রায় গতির একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হলো বৃত্তাকার গতি।

ধরুন, একটি ভর, m, এক বৃত্তে চলছে যার ব্যাসার্ধ r।

কোনো কণার কোণীয় বেগ ω হলো সময়ের সাথে কোণের পরিবর্তনের হার। সময় Δt এর মধ্যে কণা একটি কোণ Δθ= ωΔt অতিক্রম করে। কণাটি যে দূরত্ব অতিক্রম করে তা হলো r sin Δθ, কিন্তু ছোট কোণের জন্য এটি প্রায় rΔθ।

তাই, ছোট একটি সময় Δt এ অতিক্রান্ত দূরত্ব হবে rωΔt, আর সেটিকে Δt দিয়ে ভাগ করলে পাওয়া যায় গতি, v।

v = \omega r ,

এটি হলো গতি (speed), বেগ (velocity) নয়, কারণ এটি ভেক্টর নয়। বেগ একটি ভেক্টর, যার মান ωr এবং এটি বৃত্তের স্পর্শক বরাবর নির্দেশ করে।

বেগের মান ধ্রুবক কিন্তু এর দিক পরিবর্তন হচ্ছে, তাই কণাটি ত্বরণ পাচ্ছে।

উপরের অনুরূপ যুক্তি অনুসরণ করে দেখানো যায় যে ত্বরণের মান হয়:

a = \omega v ,

এবং এটি রেডিয়াস ভেক্টরের দিকেই নির্দেশ করে, অর্থাৎ ভেতরের দিকে। এটিকে বলে কেন্দ্রমুখী ত্বরণ (centripetal acceleration)।

এই দুটি সমীকরণ থেকে v বা ω বাদ দিয়ে লেখা যায়:

\mathbf{a}= -\omega^2 \mathbf{r} = -\frac{v^2}{r}\mathbf{ \hat{ r}}