সাধারণ বলবিজ্ঞান/টর্ক ও কৌণিক ভরবেগ

টর্ক

টর্ক হল একটি ভরের উপর একটি বলের ক্রিয়া যা এটিকে উৎপত্তিস্থল নামক একটি বিন্দুর চারপাশে ঘুরতে প্ররোচিত করে। এটিকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

${\vec {\tau }}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$

যেখানে $r$ হল উৎপত্তিস্থলের সাপেক্ষে ভরের অবস্থান।

লক্ষ্য করুন যে বিভিন্ন পরিস্থিতিতে টর্ক 0। যদি বল সরাসরি উৎপত্তিস্থলের দিকে বা তার থেকে দূরে নির্দেশ করে, তাহলে ক্রস গুণফল শূন্য হয়, যার ফলে শূন্য টর্ক তৈরি হয়, যদিও বল শূন্য নয়। একইভাবে, যদি $r=0$ হয়, তাহলে টর্ক 0 হয়। সুতরাং, উৎপত্তিস্থলে কাজ করা বল কোনও টর্ক তৈরি করে না। এই দুটি সীমাই স্বজ্ঞাতভাবে বোধগম্য, কারণ কোনটিই ভরকে উৎপত্তিস্থলের চারপাশে ঘুরতে প্ররোচিত করে না।

কৌণিক ভরবেগ

O বিন্দুর সাপেক্ষে ভরের কৌণিক ভরবেগকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

যেখানে p হল ভরের সাধারণ (যাকে "রৈখিক"ও বলা হয়) ভরবেগ। বস্তুর গতি যদি সরাসরি উৎপত্তিস্থলের দিকে বা দূরে থাকে, অথবা যদি এটি উৎপত্তিস্থলে অবস্থিত থাকে, তাহলে কৌণিক ভরবেগ 0 হয়।

যদি আমরা অবস্থান ভেক্টর এবং নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের ক্রস গুণফল নিই, তাহলে আমরা একটি সমীকরণ পাই যা টর্ক এবং কৌণিক ভরবেগের সাথে সম্পর্কিত:

${\vec {r}}\times {\vec {F}}={\vec {r}}\times {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}({\vec {r}}\times {\vec {p}})-{\frac {d{\vec {r}}}{dt}}\times {\vec {p}}$

যেহেতু সমান্তরাল ভেক্টরের ক্রস গুণফল শূন্য, তাই এটি

${\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {L}}}{dt}}$

এটি নিউটনের দ্বিতীয় সূত্রের ঘূর্ণন সংস্করণ।

টর্ক এবং কৌণিক ভরবেগ উভয়ের জন্যই উৎপত্তিস্থলের অবস্থান ইচ্ছামত, এবং সাধারণত সর্বাধিক সুবিধার জন্য বেছে নেওয়া হয়। তবে, টর্ক এবং কৌণিক ভরবেগ উভয়ের জন্য একই উৎপত্তিস্থল নির্বাচন করা প্রয়োজন।

একটি কেন্দ্রীয় বলের ক্ষেত্রে, অর্থাৎ দুটি বস্তুর (যেমন মাধ্যাকর্ষণ) মধ্যবর্তী কেন্দ্ররেখা বরাবর কাজ করে এমন একটি বলের ক্ষেত্রে, প্রায়শই উৎপত্তিস্থলের একটি বিশেষ সুবিধাজনক পছন্দ থাকে। যদি উৎপত্তিস্থলটি সূর্যের কেন্দ্রে স্থাপন করা হয় (যা ধরে নেওয়া হয় যে গ্রহের মাধ্যাকর্ষণ শক্তির প্রভাবে চলাচল করে না), তাহলে সূর্যের মাধ্যাকর্ষণ শক্তি দ্বারা গ্রহে প্রদত্ত টর্ক 0 হয়, যার অর্থ হল সূর্যের কেন্দ্রের চারপাশে গ্রহের কৌণিক ভরবেগ সময়ের সাথে স্থির থাকে। উৎপত্তিস্থলের অন্য কোনও পছন্দ এই সুবিধাজনক ফলাফল দেবে না।

আমরা ইতিমধ্যে দুটি মৌলিক সংরক্ষণ সূত্র সম্পর্কে জানি - শক্তি এবং রৈখিক ভরবেগ। আমরা বিশ্বাস করি যে বিচ্ছিন্ন সিস্টেমগুলিতে কৌণিক ভরবেগ একইভাবে সংরক্ষিত হয়। অন্য কথায়, কণাগুলি নিজেদের মধ্যে কৌণিক ভরবেগ বিনিময় করতে পারে, তবে বাইরের প্রভাব থেকে বিচ্ছিন্ন একটি সিস্টেমে সমস্ত কণার কৌণিক ভরবেগের ভেক্টর যোগফল অবশ্যই ধ্রুবক থাকবে।

আধুনিক দৃষ্টিতে, কৌণিক ভরবেগ সংরক্ষণ স্থানের আইসোট্রপির ফলাফল - অর্থাৎ স্থানের বৈশিষ্ট্যগুলি দিকের উপর নির্ভর করে না। এটি সাধারণ ভরবেগ সংরক্ষণের সাথে সরাসরি সাদৃশ্যপূর্ণ, যা আমরা মনে করি স্থানের একজাততার ফলাফল।

কৌণিক বেগ এবং কেন্দ্রাতিগ বল

যদি কোন বস্তু একটি অক্ষের চারপাশে ঘুরতে থাকে, তাহলে $n$ একটি একক ভেক্টর হলে, ফ্রিকোয়েন্সিতে আমরা বলি এর কৌণিক বেগ আছে ${\vec {\omega }}$। নাম সত্ত্বেও, এটি একটি কোণের পরিবর্তনের হার নয়, এমনকি একটি ভেক্টরেরও নয়।

যদি একটি ধ্রুবক ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর কাছাকাছি কৌণিক বেগে ঘূর্ণায়মান হয়, তাহলে

${\frac {d{\vec {r}}}{dt}}={\vec {\omega }}\times {\vec {r}}$

এর অর্থ হল ত্বরণ সর্বদা বেগ এবং ঘূর্ণনের অক্ষ উভয়ের সমকোণে থাকে।

যখন অক্ষটি পরিবর্তিত হয় তখন ভেক্টর হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে যা এটিকে সত্য করে তোলে।

উল্লেখ্য যে এই সমীকরণের বাম দিকে ${\vec {r}}$ হল একটি স্থির স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় একটি ভেক্টর যার পরিবর্তনশীল উপাদান রয়েছে কিন্তু ডান দিকে এর উপাদানগুলি একটি চলমান স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দেওয়া আছে, যেখানে সেগুলি স্থির থাকে।

আমরা সাবস্ক্রিপ্ট ব্যবহার করে তাদের আরও স্পষ্টভাবে আলাদা করতে পারি, ঘূর্ণনের জন্য $r$ এবং স্থিরের জন্য $f$, তারপর এটিকে ইচ্ছামত ভেক্টরগুলিতে প্রসারিত করুন

${\frac {d{\vec {g}}_{f}}{dt}}={\frac {d{\vec {g}}_{r}}{dt}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {g}}_{f}$

যেকোনো ভেক্টরের জন্য ${\vec {g}}$

এটি ব্যবহার করে, আমরা ঘূর্ণনকারী ফ্রেমে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র লিখতে পারি।

${\begin{aligned}{\vec {F}}_{f}&=m{\dfrac {d{\vec {v}}_{f}}{dt}}\\&=m{\dfrac {d{\vec {v}}_{r}}{dt}}+m{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{f}\\&=m{\ddot {\mathbf {r} }}_{r}+m{\boldsymbol {\omega }}\times \left(2{\dfrac {d_{2}{\vec {r}}_{r}}{dt_{2}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}_{f}\right)\end{aligned}}$

অথবা, পুনর্বিন্যাস

$m{\vec {a}}_{r}={\vec {F}}-2m({\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{r})-m{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})$

ভর এমন আচরণ করে যেন এর উপর দুটি অতিরিক্ত বল কাজ করছে। প্রথম পদ, ${\vec {\omega }}\times {\vec {v}}$ কে "কোরিওলিস" বল বলা হয়। দ্বিতীয় পদটি পরিচিত কেন্দ্রাতিগ বল হিসাবে স্বীকৃত।