সাধারণ বলবিজ্ঞান/ক্রস গুণফল

দুইটি দিশাসূচক রাশির গুণ করার দুটি পদ্ধতি আছে — বিন্দুগুণফল এবং ক্রসগুণফল। আমরা ইতিমধ্যে দুটি দিশাসূচক রাশির বিন্দুগুণফল শিখেছি, যার ফলে একটি পাত্রসংখ্যা বা একক সংখ্যা পাওয়া যায়।

দুটি দিশাসূচক রাশির ক্রসগুণফলের ফলে একটি তৃতীয় দিশাসূচক রাশি পাওয়া যায়, এবং এটি প্রতীকীভাবে নিচের মতো লেখা হয়:

${\vec {A}}\times {\vec {B}}$

দুটি দিশাসূচক রাশির ক্রসগুণফল এমন একটি দিশাসূচক রাশি যা ঐ দুই দিশাসূচক রাশির দ্বারা নির্ধারিত সমতলের লম্ব। তবে, এটি আমাদের বলে না যে ফলাফলের দিশাসূচক রাশিটি সমতলের ওপর দিকে নির্দেশ করে নাকি নিচের দিকে। এই অস্পষ্টতা দূর করতে ব্যবহৃত হয় ডান হাত নিয়ম:

1. আপনার ডান হাতের আঙ্গুলগুলি প্রথম দিশাসূচক রাশি ${\vec {A}}$-এর দিকে নির্দেশ করুন।
2. আপনার হাত ঘুরিয়ে এমনভাবে রাখুন যাতে আঙ্গুলগুলি দ্বিতীয় দিশাসূচক রাশি ${\vec {B}}$-এর দিকে বাঁকানো যায়।
3. আপনার টানাটানা বৃদ্ধাঙ্গুলি এখন ${\vec {A}}\times {\vec {B}}$ ক্রসগুণফল দিশাসূচক রাশির দিকে নির্দেশ করবে।

ক্রসগুণফলের মান (পরিমাণ) নিচের সূত্রে নির্ধারিত হয়:

$|{\vec {A}}\times {\vec {B}}|=|{\vec {A}}||{\vec {B}}|\cdot \sin(\theta )$

যেখানে $|{\vec {A}}|$ এবং $|{\vec {B}}|$ হলো দিশাসূচক রাশি ${\vec {A}}$ ও ${\vec {B}}$ এর পরিমাণ এবং $\theta$ হলো তাদের মধ্যকার কোণ। লক্ষ্য করুন, যখন দুটি দিশাসূচক রাশি সমান্তরাল বা বিপরীতমুখী থাকে তখন ক্রসগুণফলের মান শূন্য হয়, এবং যখন তারা পরস্পর লম্ব থাকে তখন এটি সর্বোচ্চ হয়। এটি বিন্দুগুণফলের বিপরীত — যেখানে বিন্দুগুণফল সর্বোচ্চ হয় সমান্তরাল দিশাসূচক রাশির জন্য এবং শূন্য হয় লম্ব দিশাসূচক রাশির জন্য।

লক্ষ্য করুন, ক্রসগুণফল পরিবর্তনযোগ্য নয় (অর্থাৎ ক্রম পরিবর্তন করলে চিহ্ন বদলে যায়), অর্থাৎ দিশাসূচক রাশির ক্রম গুরুত্বপূর্ণ। ডান হাত নিয়ম ব্যবহার করে সহজেই দেখানো যায় যে:

${\vec {A}}\times {\vec {B}}=-{\vec {B}}\times {\vec {A}}$

যখন দুটি দিশাসূচক রাশি উপাদানের (উপাংশ) মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়, তখন ক্রসগুণফল নির্ণয়ের একটি বিকল্প পদ্ধতি অত্যন্ত কার্যকর:

${\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\A_{x}&A_{y}&A_{z}\\B_{x}&B_{y}&B_{z}\end{vmatrix}}$

যেখানে ডিটারমিন্যান্টটি সংখ্যার মত করে সম্প্রসারিত করলে আমরা পাই:

${\begin{aligned}C_{x}&=A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}\\C_{y}&=A_{z}B_{x}-A_{x}B_{z}\\C_{z}&=A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}\end{aligned}}$

দেখুন, ধনাত্মক পদগুলির বর্ণানুক্রমিক ক্রম xyzxyzx... অনুযায়ী চলছে (যেখানে x আসে z-এর পর)।

ক্রসগুণফল ব্যবহার করে আমরা তিনটি দিশাসূচক রাশি একত্রে গুণ করতে পারি, দুটি ভিন্নভাবে:

প্রথমত, আমরা একটি দিশাসূচক রাশির সাথে একটি ক্রসগুণফলের বিন্দুগুণফল নিতে পারি — যাকে বলা হয় ত্রৈমাসিক পাত্রসংখ্যা গুণফল:

${\vec {A}}\cdot ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {A}}\times {\vec {B}})\cdot {\vec {C}}$

এই গুণফলের পরম মান ${\vec {A}},{\vec {B}},{\vec {C}}$ দ্বারা নির্ধারিত প্যারালেলোপাইপেডের আয়তন প্রকাশ করে।

অন্যদিকে, আমরা একটি দিশাসূচক রাশির সাথে একটি ক্রসগুণফলের ক্রসগুণফল নিতে পারি — যাকে বলা হয় ত্রৈমাসিক দিশাসূচক রাশি গুণফল এবং এটি বিন্দুগুণফলের সমন্বয়ে সহজভাবে প্রকাশ করা যায়:

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})=({\vec {A}}\cdot {\vec {C}}){\vec {B}}-({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}){\vec {C}}$

এই রূপটি গণনার জন্য অধিকতর সুবিধাজনক।

ত্রৈমাসিক দিশাসূচক রাশি গুণফল বন্ধগুণ নয় (অর্থাৎ অ্যাসোসিয়েটিভ নয়):

${\vec {A}}\times ({\vec {B}}\times {\vec {C}})\neq ({\vec {A}}\times {\vec {B}})\times {\vec {C}}$

ক্রসগুণফল প্রকাশ করার একটি সুন্দর এবং কার্যকর উপায় হলো সূচক সংকেত ব্যবহার:

${\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}=\epsilon ^{ijk}\,A_{j}\,B_{k}\,{\hat {e}}_{i}$

এখানে $\epsilon ^{ijk}$ হলো লেভি-চিভিতা প্রতীক এবং ${\hat {e}}_{i}$ হলো একক দিশাসূচক রাশি ${\vec {\imath }},{\vec {\jmath }},{\vec {k}}$ এর যেকোনো একটি। (নিজেকে বোঝানোর জন্য একটি ভালো অনুশীলন হবে — এই রূপ ব্যবহার করে আগের মত ${\vec {C}}={\vec {A}}\times {\vec {B}}$ বের করার চেষ্টা করুন।)