সাধারণ বলবিজ্ঞান/কাজ ও ক্ষমতা

কাজ

যখন একটি বস্তুর উপর বল প্রয়োগ করা হয়, তখন সেই বস্তুর মধ্যে শক্তি স্থানান্তরিত হয়। স্থানান্তরিত শক্তির পরিমাণকে ঐ বস্তুর উপর সম্পাদিত কাজ বলা হয়। গাণিতিকভাবে, কাজকে বল এবং সরণের ডট\স্কেলার গুণফল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, ফলে এটি একটি স্কেলার রাশি। তবে, কেবল তখনই শক্তি স্থানান্তরিত হয় যদি বস্তুটি সরে। কাজকে শক্তিকে এক রূপ থেকে অন্য রূপে রূপান্তর করার প্রক্রিয়া হিসেবেও ধরা যেতে পারে। সম্পাদিত কাজ W হল

$W=F\Delta x$

যেখানে বস্তুর সরণ হলো Δx এবং তার উপর প্রয়োগকৃত বল হলো F। লক্ষ্য করুন, কাজ ধনাত্মক বা ঋণাত্মক — উভয়ই হতে পারে। যদি বস্তুটি প্রয়োগকৃত বলের দিকেই সরে, তাহলে কাজটি ধনাত্মক হয়। অন্যদিকে, যদি বস্তুটি বলের বিপরীত দিকে সরে, তাহলে কাজটি ঋণাত্মক হয়।

এই সমীকরণটি ধরে নেয় যে বলটি পুরো সরণ বা দূরত্ব জুড়ে ধ্রুবক থাকে (পরিস্থিতির উপর নির্ভর করে)। যদি বলটি ধ্রুবক না হয়, তবে সরণটিকে অনেকগুলো ছোট ছোট অংশে ভাগ করতে হয়, যার প্রতিটিতে বলটিকে প্রায় ধ্রুবক ধরে নেওয়া যায়। মোট কাজ তখন প্রতিটি ছোট সরণের উপর সম্পাদিত কাজের যোগফল হয়। অসীম ক্ষুদ্র সীমায় এটি একটি অন্তরীকরণ (ইনটিগ্রাল) রূপে প্রকাশ পায়:

$W=\int F(s),ds$

যদি কোনো বস্তুর উপর একাধিক বল কার্যকর হয়, তবে প্রতিটি বলের দ্বারা সম্পাদিত কাজ বস্তুর মধ্যে শক্তি যোগ বা বিয়োগ করে — তা নির্ভর করে কাজটি ধনাত্মক না ঋণাত্মক তার উপর। মোট কাজ হলো এই পৃথক পৃথক কাজগুলোর যোগফল।

দুটি বিশেষ ক্ষেত্রে, একটি বস্তুর উপর সম্পাদিত কাজ অন্যান্য রাশির সঙ্গে সম্পর্কিত হয়। যদি F বস্তুটির উপর কার্যকর মোট বল হয়, তাহলে নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুসারে,

W = FΔx = mΔx·a

এখানে, a = dv/dt, যেখানে v হলো বস্তুর বেগ, এবং Δx ≈ vΔt, যেখানে Δt হলো বস্তুটি Δx দূরত্ব অতিক্রম করতে যে সময় নেয়। যখন Δx এবং Δt খুব ছোট হয়, তখন এই আনুমানিকতা নির্ভুল হয়। এই সমস্ত কিছু একত্রে বসালে পাওয়া যায়:

$W_{total}=m{\frac {dv}{dt}}v\Delta t=\Delta t{\frac {d}{dt}}{\frac {mv^{2}}{2}}$

mv²/2 এই রাশিটিকে বলা হয় গতিশক্তি বা K। এটি বস্তুর গতির মাধ্যমে সঞ্চিত কাজ বা শক্তির পরিমাণ বোঝায়। সেই অনুযায়ী, আমরা লিখতে পারি:

$W_{total}={\frac {dK}{dt}}\Delta t=\Delta K$

অর্থাৎ, যদি F একমাত্র বল হয়, তাহলে বস্তুর উপর সম্পাদিত মোট কাজ তার গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান হবে। এই সম্পর্কটিকে বলা হয় "কাজ-শক্তি উপপাদ্য" (Work-Energy theorem)।

আরেকটি বিশেষ ক্ষেত্র ঘটে যখন বলটি শুধুমাত্র অবস্থানের উপর নির্ভর করে, যদিও এটি বস্তুর উপর প্রয়োগকৃত মোট বল নাও হতে পারে। এই পরিস্থিতিতে, আমরা একটি ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$U(x)=-\int ^{x}F(s),ds$

এই ক্ষেত্রে, বস্তুটি x₁ থেকে x₂ পর্যন্ত স্থানান্তরিত হলে বল দ্বারা সম্পাদিত কাজ হবে: U(x₁) – U(x₂), এটি নির্ভর করে না বস্তুটি কত দ্রুত বা ধীরে চলেছে।

যদি কোনো বল এই ধরনের হয়, তখন তাকে বলা হয় সংরক্ষণশীল বল (conservative force), এবং U কে বলা হয় স্থিতিশক্তি (potential energy)। এই সংজ্ঞাটিকে অন্তরকলন (differentiation) করলে পাওয়া যায়:

$F=-{\frac {dU}{dx}}$

এই সমীকরণে ঋণচিহ্নটি কেবল একটি প্রচলিত নিয়ম — এটি একটি রীতিগত চিহ্নমাত্র।

যদি একটি বল সংরক্ষণশীল হয় (অর্থাৎ, বলটির প্রভাব তার পথে নির্ভর করে না), তবে আমরা তার দ্বারা সম্পাদিত কাজ লিখতে পারি:

$W=-{\frac {dU}{dx}}\Delta x=-\Delta U$

এখানে, এটি হল বস্তুর স্থিতিশক্তির পরিবর্তন, যা ঐ নির্দিষ্ট বলের সঙ্গে সম্পর্কিত।

শক্তি

স্থিতিশক্তি (অর্থাৎ, অবস্থান দ্বারা সৃষ্ট শক্তি) এবং গতিশক্তি (অর্থাৎ, গতি দ্বারা সৃষ্ট শক্তি) energies এর সমষ্টি ধ্রুবক থাকে। আমরা এই ধ্রুবকটিকে মোট শক্তি E বলে ডাকি:

$E=K+U$

যদি সমস্ত বল সংরক্ষণশীল হয়, তবে আমরা এটি পূর্বের কাজের সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করে কাজ, গতিশক্তি এবং স্থিতিশক্তির মধ্যে নিম্নলিখিত সম্পর্ক প্রাপ্ত করি:

$\Delta K=W=-\Delta U$

এর পর, আমরা একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সূত্র পাই, যেটি শক্তির সংরক্ষণ (Conservation of Energy) নামে পরিচিত:

$\Delta (K+U)=0$

এই উপপাদ্যটি বলে যে একটি সিস্টেমে মোট শক্তির পরিমাণ ধ্রুবক থাকে, এবং শক্তি তৈরি বা ধ্বংস করা যায় না।

ক্ষমতা

একটি বলের সঙ্গে সম্পর্কিত ক্ষমতা হল সেই কাজের পরিমাণ, যা বলটি সম্পাদন করে এবং যা নির্দিষ্ট সময়ের মধ্যে সম্পন্ন হয়। সুতরাং, এটি হলো প্রতি একক সময়ে শক্তি, যা ঐ বলটির মাধ্যমে বস্তুতে স্থানান্তরিত হয়। উপরের সূত্র থেকে আমরা দেখতে পাই যে ক্ষমতা হল:

$P={\frac {F\Delta x}{\Delta t}}=Fv$

এখানে $v$ হলো বস্তুর চলন্ত বেগ। মোট ক্ষমতা হল প্রতিটি বলের সঙ্গে সম্পর্কিত ক্ষমতার যোগফল এবং এটি বস্তুর গতিশক্তির সময়গত পরিবর্তনের সমান:

$P_{total}={\frac {W_{total}}{\Delta t}}={\frac {dK}{dt}}$