সাধারণ বলবিজ্ঞান/কঠিন বস্তু

যদি পূর্ববর্তী অধ্যায়ে আলোচিত কণাগুলির সমষ্টি একটি কঠিন বস্তু গঠন করে, যা এর ভরের কেন্দ্রের চারপাশে কৌণিক বেগ ω সহ আবর্তিত হয়, তাহলে গত অধ্যায়ে ব্যবহৃত জড়তার ভ্রামকের সম্পর্কগুলো সম্প্রসারিত করা যায়।

আমরা পাই:

$I_{ij}=\sum _{n}m_{n}(r_{n}^{2}\delta _{ij}-{r_{n}}_{i}{r_{n}}_{j})$

যেখানে (r_n1, r_n2, r_n3) হলো n^তম ভরের অবস্থান।

একটি স্নায়ুবদ্ধ (continuum) বস্তুর সীমায় এটি হয়ে যায়:

$I_{ij}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})\,dV$

এখানে ρ হলো ঘনত্ব।

যে কোনো ক্ষেত্রেই আমরা পাই, L-কে কক্ষীয় এবং অভ্যন্তরীণ ঘূর্ণন ভরবেগে বিভক্ত করে,

$L_{i}=M\epsilon _{ijk}R_{j}V_{k}+I_{ij}\omega _{j}$

এবং T-কে ঘূর্ণন ও স্থানান্তরগত গতিশক্তিতে বিভক্ত করে,

$T={\frac {1}{2}}MV_{i}V_{i}+{\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}$

উপযুক্ত অক্ষ নির্বাচন করে I ম্যাট্রিক্সকে সবসময় একটি কর্ণীয় ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা সম্ভব।

সাধারণ জ্যামিতিক আকৃতির ভরের জড়তার ভ্রামক

সমঘনত্ববিশিষ্ট সহজ জ্যামিতিক আকৃতির জড়তার ভ্রামকগুলো সুপরিচিত।

গোলাকার খোলস

ভর M, ব্যাসার্ধ a

$I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}={\frac {2}{3}}Ma^{2}$

কঠিন গোলক

ভর M, ব্যাসার্ধ a

$I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}={\frac {2}{5}}Ma^{2}$

পাতলা দণ্ড

ভর M, দৈর্ঘ্য a, z-অক্ষ বরাবর অবস্থান

$I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{12}}Ma^{2}\quad I_{zz}=0$

চাকতি (ডিস্ক)

ভর M, ব্যাসার্ধ a, x-y তলে

$I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}Ma^{2}\quad I_{zz}={\frac {1}{2}}Ma^{2}$

নলাকার বস্তু (সিলিন্ডার)

ভর M, ব্যাসার্ধ a, দৈর্ঘ্য h, z-অক্ষ বরাবর

$I_{xx}=I_{yy}=M\left({\frac {a^{2}}{4}}+{\frac {h^{2}}{12}}\right)\quad I_{zz}={\frac {1}{2}}Ma^{2}$

পাতলা আয়তাকার পাত

ভর M, পাশে a x-অক্ষ বরাবর, পাশে b y-অক্ষ বরাবর

$I_{xx}=M{\frac {b^{2}}{12}}\quad I_{yy}=M{\frac {a^{2}}{12}}\quad I_{zz}=M\left({\frac {a^{2}}{12}}+{\frac {b^{2}}{12}}\right)$

আরও পড়ুন

• স্থিরবিজ্ঞান/জড়তার ভ্রামক (বিষয়বস্তু)
• স্থিরবিজ্ঞান/ঘন বস্তুর জ্যামিতিক বৈশিষ্ট্য