সাধারণ বলবিজ্ঞান/আংশিক উৎপন্ন

আমরা এখন পদার্থবিজ্ঞান থেকে কিছুটা বিরতি নিয়ে আংশিক অবকলন বিষয়টি আলোচনা করব। এই বিষয়ে আরও তথ্য পাওয়া যাবে আংশিক ডিফারেনশিয়াল অধ্যায়ে Calculus বইয়ের মধ্যে।

আংশিক অবকলন

এক মাত্রায়, একটি ফাংশনের ঢাল, f(x), একটি একক সংখ্যা দ্বারা বর্ণিত হয়, যেমন df/dx।

উচ্চ মাত্রায়, ঢালটি দিকের উপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ, যদি f = x + 2y হয়, তবে এক একক x-দিক বরাবর সরলে f এর মান ১ বাড়ে, তাই x-দিকের ঢাল ১। অন্যদিকে, এক একক y-দিক বরাবর সরলে f এর মান ২ বাড়ে, তাই y-দিকের ঢাল ২।

এটি প্রমাণিত হয়েছে যে, n মাত্রার মধ্যে ঢাল f-এর আংশিক অবকলনের মাধ্যমে মাত্র n সংখ্যার দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

এসব নির্ণয় করতে হলে, আমরা একটি কোঅর্ডিনেট অনুযায়ী ডিফারেনশিয়েশন করি এবং বাকি সব কোঅর্ডিনেট স্থির রাখি। এগুলো লিখতে d-এর পরিবর্তে ∂ (partial symbol) ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ:

$f(x+dx,y,z)=f(x,y,z)+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx\quad (1)$

লক্ষ্য করুন, এটি সাধারণ ডেরিভেটিভের সংজ্ঞার মতোই।

যদি আমরা প্রতিটি দিকেই সামান্য সরি, তবে তিনটি সমীকরণ একত্র করে লেখা যায়:

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz$

একটি সামান্য স্হান পরিবর্তনের ফলে f এর পরিবর্তন হচ্ছে স্থানচ্যুতির সঙ্গে একটি বিশেষ ভেক্টরের ডট প্রোডাক্ট:

$\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)\cdot \left(dx,dy,dz\right)=\operatorname {grad} f=\nabla f$

এই ভেক্টরটিকে f-এর গ্র্যাডিয়েন্ট (gradient) বলা হয়। এটি সর্বাধিক ঢালের দিক নির্দেশ করে। আমরা এই ভেক্টরটি বারবার ব্যবহার করব।

আংশিক অবকলন #২

বহু চলকের ফাংশনের ডিফারেনশিয়েশন নিয়ে আরেকটি পদ্ধতি পাওয়া যায় Feynman Lectures on Physics vol. 2-তে। এটি এমন:

ডিফারেনশিয়েশন অপারেটর এভাবে সংজ্ঞায়িত:

$df=f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z)\,\!$

যেখানে $\Delta x,\Delta y,\Delta z\to 0$ সীমার মধ্যে। কিছু পদ যোগ ও বিয়োগ করলে আমরা পাই:

$df=(f(x+\Delta x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y+\Delta y,z+\Delta z))+(f(x,y+\Delta y,z+\Delta z)-f(x,y,z+\Delta z))+(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))\,\!$

এবং এটি লেখা যায়:

$df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy+{\frac {\partial f}{\partial z}}dz$

বিকল্প সংকেতরীতি

সহজতার জন্য, আমরা প্রায়ই বিভিন্ন প্রচলিত সংক্ষিপ্ত রীতি ব্যবহার করব, যাতে বেশিরভাগ ফর্মুলা এক লাইনে লেখা যায়। এতে গুরুত্বপূর্ণ তথ্যগুলো সহজে বোঝা যায়।

আংশিক ডিফারেনশিয়াল সংক্ষিপ্তভাবে সাবস্ক্রিপ্ট দিয়ে লেখা যায়, যেমন:

$D_{x}h(x,y)={\frac {\partial h}{\partial x}}\quad D_{x}D_{y}h=D_{y}D_{x}h$

অথবা

$\partial _{x}h={\frac {\partial h}{\partial x}}$

অধিকাংশ ক্ষেত্রে, ফাংশনের ওপরই সাবস্ক্রিপ্ট বসানো হবে যাতে ফর্মুলা আরও সংক্ষিপ্ত হয়:

$D_{x}h=h_{x}\quad h_{xy}=h_{yx}$

আরও তথ্য

আরও বিস্তারিত জানতে দেখুন আংশিক ডিফারেনশিয়াল অধ্যায়, ক্যালকুলাস বইয়ে।