সাধারণ বলবিজ্ঞান/অসম ডাম্বেল

ডাম্বেলের গতিশক্তি এবং কৌণিক ভরবেগ দুটি ভাগে বিভক্ত হতে পারে, একটি ডাম্বেলের ভর কেন্দ্রের গতির সাথে সম্পর্কিত, অন্যটি ডাম্বেলের ভর কেন্দ্রের সাপেক্ষে গতির সাথে সম্পর্কিত।

এটি করার জন্য আমরা প্রথমে অবস্থান ভেক্টরগুলিকে দুটি ভাগে বিভক্ত করি। ভর কেন্দ্র হল at.

$\mathbf {R} ={\frac {M_{1}\mathbf {r} _{1}+M_{2}\mathbf {r} _{2}}{M_{1}+M_{2}}}$

যাতে আমরা নতুন অবস্থান ভেক্টর সংজ্ঞায়িত করতে পারি, ভর কেন্দ্রের সাপেক্ষে ভরের অবস্থান প্রদান করে, যেমন দেখানো হয়েছে।

$\mathbf {r} _{1}^{*}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} \quad \mathbf {r} _{2}^{*}=\mathbf {r} _{2}-\mathbf {R}$

মোট গতিশক্তি হল

${\begin{matrix}K&=&{\frac {1}{2}}M_{1}V_{1}^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{2}V_{2}^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}M_{1}|\mathbf {V} -\mathbf {v} _{1}^{*}|^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{2}|\mathbf {V} -\mathbf {v} _{2}^{*}|^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}(M_{1}+M_{2})V^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{1}{v_{1}^{*}}^{2}+{\frac {1}{2}}M_{2}{v_{2}^{*}}^{2}\\&=&K_{ext}&+&K_{int}\\\end{matrix}}$

যা ডাম্বেলের যে গতিশক্তি থাকত, যদি উভয় ভর ভরের কেন্দ্রে কেন্দ্রীভূত হত, তাহলে তার সমষ্টি হবে অনুবাদমূলক গতিশক্তি এবং যদি ভরের কেন্দ্র স্থির থাকে এমন একটি রেফারেন্স ফ্রেম থেকে পর্যবেক্ষণ করা হত, তাহলে এর যে গতিশক্তি থাকত, ঘূর্ণনশীল গতিশক্তি।

মোট কৌণিক ভরবেগকে একইভাবে ভাগ করা যেতে পারে

${\begin{matrix}\mathbf {L} &=&\mathbf {L} _{orb}&+&\mathbf {L} _{spin}\\&=&(M_{1}+M_{2})\mathbf {R} \times \mathbf {V} &+&(M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*}+M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*})\end{matrix}}$

সমস্ত ভর ভরের কেন্দ্রে, কক্ষীয় কৌণিক ভরবেগ এবং ভরের কেন্দ্রের চারপাশে গতির কৌণিক ভরবেগ, স্পিন কৌণিক ভরবেগ-এ কেন্দ্রীভূত হলে সিস্টেমের কৌণিক ভরবেগের যোগফল হবে।

তাই আমরা ধরে নিতে পারি ভরের কেন্দ্র স্থির।

যেহেতু 'ω' ডাম্বেলের গতি বর্ণনা করার জন্য যথেষ্ট, তাই এটি কৌণিক ভরবেগ এবং অভ্যন্তরীণ গতিশক্তি নির্ধারণের জন্য যথেষ্ট হওয়া উচিত। আমরা এই দুটিকেই ω এর পরিভাষায় লেখার চেষ্টা করব।

প্রথমে আমরা পূর্ববর্তী দুটি ফলাফল ব্যবহার করব।

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} \quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}$

কৌণিক বেগের পরিভাষায় কৌণিক ভরবেগ লেখার জন্য

${\begin{matrix}\mathbf {L} &=&M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*}&+&M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*}\\&=&M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times )\mathbf {r} _{1}^{*})&+&M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{2}^{*})\\&=&M_{1}\left({\boldsymbol {\omega }}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot \mathbf {r} _{1}^{*}\right)-\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)&+&M_{2}\left({\boldsymbol {\omega }}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot \mathbf {r} _{2}^{*}\right)-\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\\&=&M_{1}\left({\boldsymbol {\omega }}d_{1}^{2}-\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)&+&M_{2}\left({\boldsymbol {\omega }}d_{2}^{2}-\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\\&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2}){\boldsymbol {\omega }}&-&\left(M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)+M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\end{matrix}}$

কৌণিক ভরবেগের প্রথম পদটি কৌণিক বেগের সমানুপাতিক, যেমনটি আশা করা যেতে পারে, কিন্তু দ্বিতীয় পদটি তা নয়।

L এর উপাদানগুলি দেখলে এর অর্থ কী তা আরও স্পষ্ট হয়ে ওঠে।

সংকেতগত সুবিধার জন্য আমরা লিখব

$\mathbf {r} _{1}^{*}=(x_{1},y_{1},z_{1})\quad \mathbf {r} _{2}^{*}=(x_{2},y_{2},z_{2})$

এই ছয়টি সংখ্যা ধ্রুবক, যা ডাম্বেলের জ্যামিতি প্রতিফলিত করে।

${\begin{matrix}L_{x}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{x}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{x}\\&&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})\omega _{y}-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\omega _{z}\\L_{y}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{y}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{y}\\&&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})\omega _{x}-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\omega _{z}\\L_{z}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{z}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{z}\\&&-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\omega _{x}-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\omega _{y}\\\end{matrix}}$

এটিকে আমরা একটি ম্যাট্রিক্স গুণ হিসেবে স্বীকৃতি দিচ্ছি।

${\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}$

যেখানে

${\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{1}(d_{1}^{2}-x_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-x_{2}^{2})&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})&-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\\-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})&M_{1}(d_{1}^{2}-y_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-y_{2}^{2})&-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\\-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})&-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})M_{1}(d_{1}^{2}-z_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-z_{2}^{2})\end{pmatrix}}$

ম্যাট্রিক্স I এর নয়টি সহগকে জড়তার মুহূর্ত বলা হয়।

আমাদের অক্ষ সাবধানে নির্বাচন করে আমরা এই ম্যাট্রিক্সকে তির্যক করতে পারি। যেমন যদি

$\mathbf {r} _{1}^{*}=(d_{1},0,0)\quad \mathbf {r} _{2}^{*}=(-d_{2},0,0)$

তাহলে

${\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2}&0\\0&0&M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2}\end{pmatrix}}$

কারণ ডাম্বেলটি 'x-অক্ষ বরাবর সারিবদ্ধ, এটিকে ঘুরিয়ে দেয় ঐ অক্ষের কোন প্রভাব নেই।

গতিশক্তি, T এবং −omega; এর মধ্যে সম্পর্ক দ্রুত দেখা দেয়।

${\begin{matrix}2T&=&M_{1}{v_{1}^{*}}^{2}&+&M_{2}{v_{2}^{*}}^{2}\\&=&M_{1}\mathbf {v} _{1}^{*}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{1}^{*})&+&M_{1}\mathbf {v} _{2}^{*}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{2}^{*})\\&=&M_{1}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*})&+&M_{2}{\boldsymbol {\omega }}\cdot (\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*})\end{matrix}}$

ডান দিকে আমরা কৌণিক ভরবেগের সংজ্ঞা অবিলম্বে বুঝতে পারি।

$T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L}$

'L এর পরিবর্তে দিলে পাওয়া যাবে

$T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }}$

সংজ্ঞাটি ব্যবহার করলে

${\boldsymbol {\omega }}=\omega \mathbf {n} \quad \mathbf {n} \cdot \mathbf {n} =1$

এটি হ্রাস পায়

$T={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

যেখানে n অক্ষের চারপাশে জড়তার মুহূর্ত হয়

$I=\mathbf {n} \mathbf {I} \mathbf {n}$

একটি ধ্রুবক।

যদি ডাম্বেলটি আগের মতো x-অক্ষ বরাবর সারিবদ্ধ করা হয় তবে আমরা পাব

$T={\frac {1}{2}}(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})(\omega _{y}^{2}+\omega _{z}^{2})$

ঘূর্ণন গতিবিদ্যার এই সমীকরণগুলি রৈখিক গতিবিদ্যার সমীকরণগুলির অনুরূপ, তবে I'' একটি স্কেলারের পরিবর্তে একটি ম্যাট্রিক্স।

আরও পড়ুন

• আধুনিক পদার্থবিদ্যা/অসম ডাম্বেল