সাধারণ বলবিজ্ঞান/অবিচ্ছিন্ন সীমা
পরিচিতি
[সম্পাদনা]সিদ্ধান্তমূলকভাবে, আমরা যে পদ্ধতিগুলি এখন পর্যন্ত বর্ণনা করেছি তা ব্যবহার করে কেবল প্রতিটি পরমাণুর গতিপথ অনুসরণ করে পদার্থের আচরণ পূর্বানুমান করতে পারি।
আসলে, এটি একটি কার্যকর পদ্ধতি নয়। এর পরিবর্তে, আমরা পদার্থকে একটি চলমান মাধ্যম হিসেবে বিবেচনা করি।
এই অংশে আমরা দেখব কীভাবে এটি করা হয়, এবং এটি কীভাবে আমাদের আবার তরঙ্গের দিকে নিয়ে যায়।
একটি উদাহরণ হিসেবে, আমরা এন প্লাস এক সংখ্যক অভিন্ন স্প্রিং এবং ভরের একটি সেট বিবেচনা করব, যা আগের অংশের মতো সাজানো হয়েছে, যেখানে শূন্য নম্বর স্প্রিং দেয়ালের সাথে সংযুক্ত এবং এন নম্বর ভর মুক্ত।
আমরা আগ্রহী যে বড় এন-এর জন্য কী ঘটবে, অর্থাৎ চলমান মাধ্যমের সীমা।
এই ব্যবস্থার তিনটি অন্যান্য পরিমাপ রয়েছে; স্প্রিং ধ্রুবক, কণার ভর, এবং স্প্রিংয়ের বিশ্রাম দৈর্ঘ্য, যেখানে ভেরিয়েবল নামগুলি ভবিষ্যতের সুবিধার জন্য নির্ধারিত হয়েছে। এগুলি এন-এর সাথে মিলিয়ে ব্যবস্থার জন্য একটি অনুরূপ পরিমাপের সেট তৈরি করতে পারে।
ধরা যাক সমস্ত ভরগুলি বিশ্রাম অবস্থান থেকে একটি পরিমাণ স্থানান্তরিত হয়েছে, যেখানে ব্যবস্থার মোট স্থানান্তর ডি, তখন মোট সম্ভাব্য শক্তি হবে একাংশ, সুতরাং
- ব্যবস্থার স্প্রিং ধ্রুবক হবে
- ব্যবস্থার ভর হবে
- ব্যবস্থার বিশ্রাম দৈর্ঘ্য হবে
যদি আমরা এন বাড়িয়ে নিই এবং অন্যান্য তিনটি পরিমাপ পরিবর্তন করি যাতে স্প্রিং ধ্রুবক, ভর, এবং দৈর্ঘ্য অপরিবর্তিত থাকে, তবে বড় এন সীমায় এই বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থাটি দেখতে হবে একটি স্প্রিংয়ের মতো, যার ভর অবিরামভাবে তার দৈর্ঘ্যের বরাবর বিতরণ করা হয়েছে।
স্থানাঙ্ক হিসেবে, আমরা প্রতিটি ভরের স্থানান্তর ব্যবহার করব। বড় এন-এর জন্য স্থানান্তরটি প্রায় অবিরামভাবে দূরত্বের সাথে পরিবর্তিত হবে। আমরা এটিকে একটি অবিরাম ফাংশন হিসেবে বিবেচনা করতে পারি, যার
স্থানাঙ্কের মান
ব্যবস্থার গতি শক্তি তখন সহজেই হবে
মোট সম্ভাব্য শক্তি এভাবে হবে
এ থেকে আমরা ভিন্ন দুটি পদ্ধতিতে গতির সমীকরণ নির্ণয় করতে পারি।
গতির সমীকরণ: প্রথম পদ্ধতি
[সম্পাদনা]যদি আমরা প্রথমে বড় এন সীমা গ্রহণ করি, তবে এই যোগফলগুলো ইন্টিগ্রালে পরিণত হবে।
যেখানে দেয়াল থেকে দূরত্ব, এবং
স্প্রিংগুলো সর্বদা দেয়ালের সাথে সংযুক্ত থাকে, তাই স্থানাঙ্ক শূন্য।
গতি শক্তির জন্য ইন্টিগ্র্যান্ড হল ঘনত্ব এবং বেগের বর্গের গুণফল, যেমনটি আমরা সহজেই আশা করতে পারি। একইভাবে, সম্ভাব্য শক্তি হল অবিরাম স্প্রিংয়ের পোটেনশিয়াল শক্তির ইন্টিগ্রাল যা ব্যবস্থার দৈর্ঘ্যের বরাবর।
ল্যাগ্রাঞ্জিয়ান ব্যবহার করে আমরা এই ইন্টিগ্রাল থেকে গতির সমীকরণ পেতে পারি।
এটি হবে
সিস্টেমের কর্ম হবে
এখানে আমরা স্থান এবং সময় উভয়ের উপরে ইন্টিগ্রেশন করছি, শুধুমাত্র স্থান নয়; এটি এখনও একক কণার জন্য কর্মের ফর্মের সাথে খুব সাদৃশ্যপূর্ণ।
আমরা আশা করতে পারি যে ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের ন্যূনতম কর্মের নীতি আমাদের এই কর্মের জন্য ল্যাগ্রাঞ্জ সমীকরণের প্রাকৃতিক বিস্তার আনবে,
এই সমীকরণটি প্রমাণ করা যায়, পরিবর্তনশীল গণিত ব্যবহার করে। এটি এই বিশেষ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের জন্য প্রয়োগ করলে আমরা পাব
এটি একটি আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ। আমরা এর সমাধান বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব না, তবে দেখতে পাবো এটি তরঙ্গকে বর্ণনা করে।
প্রথমে, তবে, আমরা নিশ্চিত করব যে এই সমীকরণগুলো সমান, যদি আমরা প্রথমে গতির সমীকরণগুলি নির্ণয় করি, তারপর বড় এন সীমা গ্রহণ করি।
গতির সমীকরণ: দ্বিতীয় পদ্ধতি
[সম্পাদনা]প্রথমে, আমরা সম্ভাব্য শক্তি দেখব, যা স্থানান্তরের উপর নির্ভর করে।
মনে রাখতে হবে যে প্রথম এবং শেষ ভরের স্থানান্তরের জন্য আমাদের আলাদাভাবে কাজ করতে হবে, কারণ ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানে তাদের উপর নির্ভরশীলতা আলাদা।
গতি শক্তি স্থানাঙ্কের মধ্যে সাদৃশ্যপূর্ণ,
ল্যাগ্রাঞ্জিয়ানের সমীকরণ ব্যবহার করে, আমরা পেয়েছি,
প্রত্যেক ভরের জন্য গতির সমীকরণ হলো,
আমরা ধ্রুবক এবং কণার ভরকে সীমান্ত মান দ্বারা প্রতিস্থাপন করতে পারি,
এবং এভাবেই আমরা পাব
সাধারণভাবে দেখা যায় যে ডানপাশের ক্ষেত্রে কাছাকাছি পয়েন্টগুলির স্থানান্তরের মধ্যে পার্থক্য ভাগ করা হয়েছে, তাই আশা করা যায় যে সীমা গ্রহণে আমরা দেয়াল থেকে দূরত্বের সাথে সম্পর্কিত ডিফারেনশিয়াল পাব।
যেহেতু এন অসীমের দিকে যাচ্ছে, শূন্য এবং এক নম্বর স্থানান্তর উভয়ই শূন্যতে চলে যাবে, যা সর্বদা শূন্য, তাই শূন্য নম্বর স্থানান্তরের জন্য গতির সমীকরণ সর্বদা সত্য।
চলমান মাধ্যমের সীমায়, শেষ নম্বরের জন্য সমীকরণ হয়ে যাবে
যেহেতু দৈর্ঘ্য শূন্যের দিকে যাচ্ছে, এটি সত্য হতে, আমাদের থাকতে হবে স্থানাঙ্কের প্রথম ডেরিভেটিভ শূন্য শেষ বিন্দুতে।
অন্যান্য স্থানান্তরের জন্য,
তাহলে আমরা পাব সমীকরণ
ঠিক যেমন অন্য পদ্ধতিতে।
তরঙ্গ
[সম্পাদনা]এটি স্বাভাবিক যে যদি আমরা এই ব্যবস্থার একটি ভর টানব, তখন স্প্রিংগুলোর মাধ্যমে কম্পন ছড়িয়ে পড়বে, যেমন তরঙ্গ। তাই আমরা এমন ধরনের সমাধানগুলি খুঁজে বের করব।
একটি সাধারণ ভ্রমণ তরঙ্গ হবে
এই ধারণা পূরণ করতে সমীকরণে এটি প্রতিস্থাপন করলে
অতএব, এই তরঙ্গটি একটি সমাধান হবে যদি ফ্রিকোয়েন্সি ও তরঙ্গসংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক থাকে
এই তরঙ্গগুলোর গতিবেগ হবে
অতএব, আমরা নিউটনের নিয়ম থেকে তরঙ্গের দিকে পৌঁছেছি।
আমরা একই কাজ করতে পারি যদি একটি তিন-মাত্রিক কণার অ্যারে থেকে শুরু করি এবং কঠিন পদার্থে স্থানাঙ্ক তরঙ্গ ও অনুদৈর্ঘ্য তরঙ্গের সমীকরণ উদ্ভাবন করি। তরঙ্গ নিয়ে যা কিছু বলা হয়েছে, তা এই ব্যবস্থার জন্যও প্রযোজ্য।
এই বিশেষ ব্যবস্থার দুটি সীমানা শর্ত রয়েছে: স্থানান্তর দেয়ালে শূন্য, এবং মুক্ত প্রান্তে স্থানীয় সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন। এটি সমস্ত এরকম সমস্যার জন্য সাধারণ।
যখন আমরা সীমানা শর্তগুলো গ্রহণ করি, তখন দেখতে পাই সঠিক সমাধান হলো স্থায়ী তরঙ্গের একটি সংমিশ্রণ, যার রূপ হলো
এখানে ব-টি যেকোনো পূর্ণসংখ্যা।
যদি আমরা শুরুতে স্থানান্তর জানতাম, তবে ফুরিয়ে সিরিজ ব্যবহার করে সমস্ত সময়ের জন্য সঠিক সমাধান পেতাম।
প্রকৃতপক্ষে, এন সাধারণত বড় কিন্তু সীমিত থাকে, তাই চলমান মাধ্যমের সীমা শুধু আনুমানিক সত্য। এর জন্য স্থানান্তর সংশোধনের জন্য আমরা এন এর বিপরীতে একটি শক্তি সিরিজ তৈরি করতে পারি। এই সংশোধনগুলি আকর্ষণীয় প্রভাব ফেলতে পারে, তবে এখানে আমরা সেগুলো বিবেচনা করব না।
চলমান মাধ্যমের সীমা ছোট তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রেও ব্যর্থ, যা কণার স্থানান্তরের সাথে তুলনীয়।
ক্ষেত্র
[সম্পাদনা]চলমান মাধ্যমের সীমায়, স্প্রিংটি এমন একটি ভেরিয়েবল দ্বারা বর্ণিত হয় যা স্থান ও সময় উভয়ের উপর নির্ভরশীল। এই ধরনের ভেরিয়েবলকে সাধারণত ক্ষেত্র বলা হয়।
প্রথমত, ক্লাসিক্যাল ক্ষেত্রগুলো ক্লাসিক্যাল কণার মতো বর্ণিত, তবে স্থান ও সময় উভয়ের উপর নির্ভর করে। ক্ষেত্র কণা গঠন ছাড়াই চলে এবং তার সংকেত স্থানান্তরিত হতে পারে, বিভিন্ন দূরত্বে বিভিন্ন শক্তি নিয়ে।
এই কারণেই ক্ষেত্রগুলি কোয়ান্টাম যান্ত্রিকতায় অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।