রৈখিক বীজগণিত/n-মাত্রিক জগতের রৈখিক জ্যামিতি

যেসকল পাঠক ক্যালকুলাস বা পদার্থবিজ্ঞানে আগে ভেক্টরের প্রাথমিক ধারণা পেয়েছেন, তাদের জন্য এই বিভাগটি একটি ঐচ্ছিক পর্যালোচনা। তবে, পরবর্তী কাজগুলোতে এই বিষয়গুলোর উল্লেখ থাকবে, তাই যদি এটি আপনার জন্য পর্যালোচনা না হয় তবে এটি এড়িয়ে যাওয়া উচিত নয়।

প্রথম বিভাগে, সমাধান সেট যে কেবল তিন ধরনের হতে পারে— একক, শূন্য এবং অসীম তা দেখানোর জন্য আমাদের কিছুটা কাজ করতে হয়েছিল। কিন্তু দুই চলক বিশিষ্ট দুটি সমীকরণের সিস্টেমের ক্ষেত্রে এটি বোঝা খুবই সহজ। দুই চলক বিশিষ্ট প্রতিটি সমীকরণকে সমতলে একটি সরলরেখা হিসেবে আঁকলে দেখা যাবে যে, রেখা দুটি হয় একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে ছেদ করবে অথবা সমান্তরাল হবে অথবা তারা একই রেখা হবে।

অনন্য সমাধান	কোনো সমাধান নেই	অসংখ্য সমাধান
${\begin{array}{*{2}{rc}r}\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 7\\[-5pt]\scriptstyle x&\scriptstyle -&\scriptstyle y&\scriptstyle =&\scriptstyle -1\end{array}}$	${\begin{array}{*{2}{rc}r}\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 7\\[-5pt]\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 4\end{array}}$	$\scriptstyle {\begin{array}{*{2}{rc}r}\scriptstyle 3x&\scriptstyle +&\scriptstyle 2y&\scriptstyle =&\scriptstyle 7\\[-5pt]\scriptstyle 6x&\scriptstyle +&\scriptstyle 4y&\scriptstyle =&\scriptstyle 14\end{array}}$

এই ছবিগুলো আগের বিভাগের ফলাফলগুলো (যা যেকোনো সংখ্যক রৈখিক সমীকরণ এবং যেকোনো সংখ্যক চলকের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য) প্রমাণ করে না, তবে সেগুলো আমাদের ওই ফলাফলগুলো বুঝতে সাহায্য করে। এই বিভাগটি এমন কিছু ধারণা তৈরি করে যা আমাদের আগের এবং ভবিষ্যতের কিছু বিভাগের ফলাফলগুলোকে জ্যামিতিকভাবে প্রকাশ করতে সাহায্য করবে। বিশেষ করে, দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্রটি আমাদের কাছে পরিচিত হলেও দুইয়ের অধিক চলক বিশিষ্ট সিস্টেমগুলোকে প্রসারিত করতে আমাদের উচ্চ-মাত্রিক জ্যামিতির প্রয়োজন হবে।