রৈখিক বীজগণিত/স্ব-সংযোজন/সমাধান

সমাধান

সমস্যা ১

শূন্য এবং অভেদ রূপান্তরের জন্য রেঞ্জস্পেস এবং নালস্পেসের চেইনগুলো দেখাও।

উত্তর

শূন্য রূপান্তরের ক্ষেত্রে, স্পেস যা-ই হোক না কেন, রেঞ্জস্পেসের চেইনটি হলো $V\supset \{{\vec {0}}\}=\{{\vec {0}}\}=\cdots \,$ এবং নালস্পেসের চেইনটি হলো $\{{\vec {0}}\}\subset V=V=\cdots \,$। অভেদ রূপান্তরের ক্ষেত্রে চেইনগুলো হলো $V=V=V=\cdots$ এবং $\{{\vec {0}}\}=\{{\vec {0}}\}=\cdots \,$।

সমস্যা ২

প্রতিটি ম্যাপের জন্য রেঞ্জস্পেসের ধারা ও নালস্পেসের ধারা এবং সর্বজনীন রেঞ্জস্পেস ও সর্বজনীন নালস্পেস নির্ণয় করো।

1. $t_{0}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$, $a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx^{2}$
2. $t_{1}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$,

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}$

3. $t_{2}:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$, $a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx+ax^{2}$
4. $t_{3}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$,

   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. $t_{0}$-এর দুইবার পুনরাবৃত্তি করলে $a+bx+cx^{2}\mapsto b+cx^{2}\mapsto cx^{2}$ পাওয়া যায়:

   $a+bx+cx^{2}{\stackrel {t_{0}^{2}}{\longmapsto }}cx^{2}$

   এবং এর চেয়ে উচ্চতর যেকোনো ঘাতের জন্য একই ম্যাপ পাওয়া যাবে। সুতরাং, যেখানে ${\mathcal {R}}(t_{0})$ হলো রৈখিক পদবিহীন দ্বিঘাত বহুপদীর স্পেস $\{p+rx^{2}\,{\big |}\,p,r\in \mathbb {C} \}$, এবং ${\mathcal {R}}(t_{0}^{2})$ হলো কেবল-দ্বিঘাত বহুপদীর স্পেস $\{rx^{2}\,{\big |}\,r\in \mathbb {C} \}$, সেখানেই এই ধারাটি স্থিতিশীল হয়: ${\mathcal {R}}_{\infty }(t_{0})=\{rx^{2}\,{\big |}\,n\in \mathbb {C} \}$। নালস্পেসের ক্ষেত্রে, ${\mathcal {N}}(t_{0})$ হলো কেবল-রৈখিক পদের দ্বিঘাত বহুপদীর স্পেস $\{qx\,{\big |}\,q\in \mathbb {C} \}$, এবং ${\mathcal {N}}(t_{0}^{2})$ হলো $x^{2}$ পদবিহীন দ্বিঘাত বহুপদীর স্পেস $\{p+qx\,{\big |}\,p,q\in \mathbb {C} \}$, এবং এখানেই ধারাটি শেষ হয়: ${\mathcal {N}}_{\infty }(t_{0})={\mathcal {N}}(t_{0}^{2})$।
2. দ্বিতীয় ঘাতটি হলো:

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{1}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\a\end{pmatrix}}{\stackrel {t_{1}}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

   যা একটি জিরো ম্যাপ। ফলস্বরূপ, রেঞ্জস্পেসের ধারাটি হবে:

   $\mathbb {R} ^{2}\supset \{{\begin{pmatrix}0\\p\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p\in \mathbb {C} \}\supset \{{\vec {0}}\,\}=\cdots$

   এবং নালস্পেসের ধারাটি হবে:

   $\{{\vec {0}}\,\}\subset \{{\begin{pmatrix}q\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,q\in \mathbb {C} \}\subset \mathbb {R} ^{2}=\cdots$

   যাদের প্রতিটির দৈর্ঘ্য দুই। এখানে সর্বজনীন রেঞ্জস্পেস হলো ট্রাভিয়াল বা তুচ্ছ সাবস্পেস এবং সর্বজনীন নালস্পেস হলো সমগ্র স্পেসটি।
3. এই ম্যাপটির পুনরাবৃত্তিগুলো চক্রাকারে আবর্তিত হয়:

   $a+bx+cx^{2}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}b+cx+ax^{2}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}c+ax+bx^{2}{\stackrel {t_{2}}{\longmapsto }}a+bx+cx^{2}\;\cdots$

   এবং এর রেঞ্জস্পেস ও নালস্পেসের ধারাগুলো তুচ্ছ।

   ${\mathcal {P}}_{2}={\mathcal {P}}_{2}=\cdots \qquad \{{\vec {0}}\,\}\{{\vec {0}}\,\}=\cdots$

   তাই স্পষ্টতই, সর্বজনীন স্পেসগুলো হলো ${\mathcal {R}}_{\infty }(t_{2})={\mathcal {P}}_{2}$ এবং ${\mathcal {N}}_{\infty }(t_{2})=\{{\vec {0}}\,\}$।
4. আমরা পাই:

   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\b\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}}\mapsto \cdots$

   এবং তাই রেঞ্জস্পেসের ধারাটি হবে:

   $\mathbb {R} ^{3}\supset \{{\begin{pmatrix}p\\p\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p,r\in \mathbb {C} \}\supset \{{\begin{pmatrix}p\\p\\p\end{pmatrix}}\,{\big |}\,p\in \mathbb {C} \}=\cdots$

   এবং নালস্পেসের ধারাটি হবে:

   $\{{\vec {0}}\,\}\subset \{{\begin{pmatrix}0\\0\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,r\in \mathbb {C} \}\subset \{{\begin{pmatrix}0\\q\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,q,r\in \mathbb {C} \}=\cdots$

   যাদের প্রতিটির দৈর্ঘ্য দুই। এখানে সর্বজনীন স্পেসগুলো হলো প্রতিটি ধারার শেষে প্রদর্শিত সর্বশেষ রূপগুলো।

সমস্যা ৩

প্রমাণ করো যে ফাংশন কম্পোজিশন বা সংযোজন সংযোগযোগ্য: $(t\circ t)\circ t=t\circ (t\circ t)$ এবং তাই আমরা কোনো গ্রুপিং বা বন্ধনী নির্দিষ্ট না করেই $t^{3}$ লিখতে পারি।

উত্তর

প্রতিটি ম্যাপই $x\mapsto t(t(t(x)))$ নির্দেশ করে।

সমস্যা ৪

যাচাই করো যে, একটি সাবস্পেসের মাত্রা অবশ্যই তার সুপারস্পেসের মাত্রার চেয়ে কম বা সমান হতে হবে। যাচাই করো যে, সাবস্পেসটি যদি প্রোপার বা প্রকৃত সাবস্পেস হয় (অর্থাৎ সাবস্পেসটি যদি সুপারস্পেসের সমান না হয়) তবে তার মাত্রা কঠোরভাবে বা অবশ্যই কম হবে। (এটি লেমা ১.৩-এর প্রমাণে ব্যবহৃত হয়েছে।)

উত্তর

স্মরণ করা যাক যে, যদি $W$ হলো $V$-এর একটি সাবস্পেস হয়, তবে $W$-এর যেকোনো বেসিস $B_{W}$-কে বর্ধিত করে $V$-এর একটি বেসিস $B_{V}$ তৈরি করা সম্ভব। এ থেকে প্রথম বাক্যটি সরাসরি প্রমাণিত হয়। দ্বিতীয় বাক্যটিও কঠিন নয়: $W$ হলো $B_{W}$-এর স্প্যান এবং যদি $W$ একটি প্রকৃত সাবস্পেস হয়, তবে $V$ কিন্তু $B_{W}$-এর স্প্যান নয়; ফলে $B_{V}$-তে অবশ্যই $B_{W}$-এর চেয়ে অন্তত একটি ভেক্টর বেশি থাকতে হবে।

সমস্যা ৫

প্রমাণ করো যে, যদি রূপান্তর $t$ নন-সিঙ্গুলার হয়, তবে সর্বজনীন রেঞ্জস্পেস ${\mathcal {R}}_{\infty }(t)$ হবে সমগ্র স্পেসটি এবং সর্বজনীন নালস্পেস ${\mathcal {N}}_{\infty }(t)$ হবে তুচ্ছ বা ট্রাভিয়াল। এটি কি একটি "কেবল এবং কেবলমাত্র যদি" শর্তও বটে?

উত্তর

এটি "যদি" এবং "কেবল এবং কেবলমাত্র যদি" উভয় ক্ষেত্রেই সত্য। আমরা আগেই দেখেছি যে একটি লিনিয়ার ম্যাপ নন-সিঙ্গুলার হয় যদি এবং কেবল যদি এটি মাত্রা সংরক্ষণ করে, অর্থাৎ যদি তার রেঞ্জের মাত্রা তার ডোমেইনের মাত্রার সমান হয়। একটি রূপান্তর $t:V\to V$-এর ক্ষেত্রে এর অর্থ হলো ম্যাপটি নন-সিঙ্গুলার হবে যদি এবং কেবল যদি এটি 'অনটু' (onto) হয়: ${\mathcal {R}}(t)=V$ (এবং ফলস্বরূপ ${\mathcal {R}}(t^{2})=V$, ইত্যাদি)।

সমস্যা ৬

লেমা ১.৩-এর নালস্পেস সংক্রান্ত অর্ধাংশটি যাচাই করো।

উত্তর

নালস্পেসগুলো একটি ধারা গঠন করে কারণ যদি ${\vec {v}}\in {\mathcal {N}}(t^{j})$ হয়, তবে $t^{j}({\vec {v}})={\vec {0}}$

এবং $t^{j+1}({\vec {v}})=t(\,t^{j}({\vec {v}})\,)=t({\vec {0}})={\vec {0}}$; ফলে ${\vec {v}}\in {\mathcal {N}}(t^{j+1})$ হবে।

এখন, নালস্পেসের জন্য "পরবর্তী" বৈশিষ্ট্যটি এই সত্য থেকে আসে যে এটি রেঞ্জস্পেসের জন্যও সত্য, যা পূর্ববর্তী অনুশীলনীতে দেখানো হয়েছে। যেহেতু ${\mathcal {R}}(t^{j})$-এর মাত্রা এবং ${\mathcal {N}}(t^{j})$-এর মাত্রার যোগফল আদি স্পেস $V$-এর মাত্রা $n$-এর সমান, তাই যখন রেঞ্জস্পেসের মাত্রা হ্রাস পাওয়া বন্ধ হয়ে যায়, তখন নালস্পেসের মাত্রার হ্রাস পাওয়াও বন্ধ হয়ে যায়। পূর্ববর্তী অনুশীলনীটি দেখায় যে এই বিন্দু $k$ থেকে শুরু করে, ধারার অন্তর্ভুক্ত থাকা উপাদানগুলো আর প্রকৃত সাবস্পেস থাকে না—অর্থাৎ নালস্পেসগুলো পরস্পর সমান হয়ে যায়।

সমস্যা ৭

একটি ত্রিমাত্রিক জগতের এমন একটি রূপান্তরের উদাহরণ দাও যার রেঞ্জের মাত্রা দুই। এর নালস্পেস কী? তোমার দেওয়া উদাহরণটির পুনরাবৃত্তি করতে থাকো যতক্ষণ না এর রেঞ্জস্পেস এবং নালস্পেস স্থিতিশীল হয়।

উত্তর

(অবশ্যই অনেক ধরনের উদাহরণ সঠিক হতে পারে, তবে এখানে একটি দেওয়া হলো।) একটি উদাহরণ হলো বাস্তব সংখ্যার ট্রিপল-এর ওপর শিফট অপারেটর: $(x,y,z)\mapsto (0,x,y)$। এর নালস্পেস হলো সেই সমস্ত ট্রিপল যা দুটি শূন্য দিয়ে শুরু হয়। তিনবার পুনরাবৃত্তির পর এই ম্যাপটি স্থিতিশীল হয়।

সমস্যা ৮

দেখাও যে কোনো লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশনের রেঞ্জস্পেস এবং নালস্পেস পরস্পর বিচ্ছিন্ন হওয়া আবশ্যক নয়। তারা কি কখনো বিচ্ছিন্ন হয়?

উত্তর

অন্তরীকরণ অপারেটর $d/dx:{\mathcal {P}}_{1}\to {\mathcal {P}}_{1}$-এর রেঞ্জস্পেস এবং নালস্পেস একই। তারা কখন পরস্পর বিচ্ছিন্ন হতে পারে (শূন্য ভেক্টর ব্যতীত)—তার একটি উদাহরণ হিসেবে আইডেন্টিটি ম্যাপ (অথবা যেকোনো নন-সিঙ্গুলার ম্যাপ) বিবেচনা করা যেতে পারে।