রৈখিক বীজগণিত/স্ব-সংযোজন

এই উপ-অনুচ্ছেদটি ঐচ্ছিক, তবে এই অধ্যায়ের এবং পরবর্তী অধ্যায়ের পরের অংশগুলোর জন্য এটি প্রয়োজনীয়।

একটি রৈখিক রূপান্তর $t:V\to V$-এর ডোমেন এবং কোডোমেন একই হওয়ার কারণে এর পুনরাবৃত্তি করা সম্ভব। অর্থাৎ, $t$-এর নিজের সাথেই সংযোজন যেমন $t^2=t\circ t$ এবং $t^3=t\circ t\circ t$ সংজ্ঞায়িত করা যায়।

লক্ষ্য করুন যে, রৈখিক রূপান্তর ফাংশনগুলোর জন্য এই ঘাত বা সূচকীয় পদ্ধতি আমাদের পূর্বে ব্যবহৃত তাদের বর্গাকার ম্যাট্রিক্স প্রকাশের পদ্ধতির সাথে মিলে যায়; কারণ যদি ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,B}(t)=T$ হয়, তবে ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,B}(t^j)=T^j$ হবে।

উদাহরণ ১.১

অন্তরজ ম্যাপ $d/dx:{𝒫}_3\to {𝒫}_3$-এর ক্ষেত্রে, যা—

$a+bx+c{x}^2+d{x}^3\stackrel{d/dx}{⟼}b+2cx+3d{x}^2$

দ্বারা সংজ্ঞায়িত, তার দ্বিতীয় ঘাত হলো দ্বিতীয় অন্তরজ:

$a+bx+c{x}^2+d{x}^3\stackrel{d^2/d{x}^2}{⟼}2c+6dx$

এর তৃতীয় ঘাত হলো তৃতীয় অন্তরজ:

$a+bx+c{x}^2+d{x}^3\stackrel{d^3/d{x}^3}{⟼}6d$

এবং এর চেয়ে উচ্চতর যেকোনো ঘাত হলো একটি শূন্য ম্যাপ।

উদাহরণ ১.২

$2\times 2$ ম্যাট্রিক্সের জগতের এই রূপান্তরটি—

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\stackrel{t}{⟼}\left(\begin{array}{cc}b& a\\ d& 0\end{array}\right)$

এর দ্বিতীয় ঘাত হলো:

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\stackrel{t^2}{⟼}\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 0\end{array}\right)$

এবং এর তৃতীয় ঘাত হলো:

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\stackrel{t^3}{⟼}\left(\begin{array}{cc}b& a\\ 0& 0\end{array}\right)$

এর পর থেকে, $t^4=t^2$ এবং $t^5=t^3$ ইত্যাদি হতে থাকবে।

এই উদাহরণগুলো নির্দেশ করে যে, পুনরাবৃত্তির সাথে সাথে ক্রমশ আরও বেশি শূন্য আসতে থাকে, যতক্ষণ না এটি একটি নির্দিষ্ট অবস্থানে এসে থিতু হয়। পরবর্তী ফলাফলটি এই বিষয়টিকেই সুনির্দিষ্টভাবে তুলে ধরে।

লেমা ১.৩

যেকোনো রূপান্তর $t:V\to V$-এর জন্য, এর ঘাতগুলোর রেঞ্জস্পেস একটি অবরোহী শিকল গঠন করে:

$V\supseteq ℛ(t)\supseteq ℛ(t^2)\supseteq \cdots$

এবং এর নালস্পেস একটি আরোহী শিকল গঠন করে:

$\{\overrightarrow{0}\}\subseteq 𝒩(t)\subseteq 𝒩(t^2)\subseteq \cdots$

অধিকন্তু, এমন একটি $k$ বিদ্যমান থাকবে যেন $k$-এর চেয়ে ছোট ঘাতের জন্য উপসেটগুলো প্রকৃত উপসেট হয় (অর্থাৎ, যদি $j<k$ হয়, তবে $ℛ(t^j)\supset ℛ(t^{j+1})$ এবং $𝒩(t^j)\subset 𝒩(t^{j+1})$ হবে); অন্যদিকে $k$-এর সমান বা তার চেয়ে বড় ঘাতের জন্য সেটগুলো পরস্পর সমান হয় (অর্থাৎ, যদি $j\ge k$ হয়, তবে $ℛ(t^j)=ℛ(t^{j+1})$ এবং $𝒩(t^j)=𝒩(t^{j+1})$ হবে)।

প্রমাণ

আমরা রেঞ্জস্পেসের অংশটুকু প্রমাণ করব এবং বাকি অংশটুকু সমস্যা ৬এর জন্য রেখে দেব। তবে মনে করে দেখুন যে, যেকোনো ম্যাপের ক্ষেত্রে তার রেঞ্জস্পেসের মাত্রা এবং নালস্পেসের মাত্রার সমষ্টি তার ডোমেনের মাত্রার সমান হয়। কাজেই রেঞ্জস্পেস যদি সংকুচিত বা ছোট হতে থাকে, তবে নালস্পেস অবশ্যই বৃদ্ধি পাবে।

রেঞ্জস্পেসগুলো যে একটি শিকল গঠন করে তা স্পষ্ট, কারণ যদি $\overrightarrow{w}\in ℛ(t^{j+1})$ হয়—যার অর্থ $\overrightarrow{w}=t^{j+1}(\overrightarrow{v})$—তবে আমরা লিখতে পারি $\overrightarrow{w}=t^j(t(\overrightarrow{v}))$ এবং ফলস্বরূপ $\overrightarrow{w}\in ℛ(t^j)$ হয়। "অধিকন্তু" বৈশিষ্ট্যটি যাচাই করার জন্য, প্রথমে লক্ষ্য করুন যে যদি শিকলের যেকোনো এক জোড়া রেঞ্জস্পেস সমান হয়, অর্থাৎ $ℛ(t^k)=ℛ(t^{k+1})$ হয়, তবে পরবর্তী সমস্ত রেঞ্জস্পেসও সমান হবে: $ℛ(t^{k+1})=ℛ(t^{k+2})$, ইত্যাদি। এর কারণ হলো, $t:ℛ(t^{k+1})\to ℛ(t^{k+2})$ ম্যাপটি এবং $t:ℛ(t^k)\to ℛ(t^{k+1})$ ম্যাপটি মূলত একই ডোমেনবিশিষ্ট একই ম্যাপ; আর তাই এদের রেঞ্জও একই হবে: $ℛ(t^{k+1})=ℛ(t^{k+2})$ (এবং গাণিতিক আরোহী পদ্ধতির সাহায্যে দেখানো যায় যে এটি পরবর্তী সমস্ত উচ্চতর ঘাতের জন্যও সত্য)। সুতরাং, রেঞ্জস্পেসের শিকলটি যদি কোনো এক ধাপে এসে কঠোরভাবে হ্রাস পাওয়া বন্ধ করে দেয়, তবে সেটি সেই বিন্দুর পর থেকে স্থিতিশীল বা অপরিবর্তিত থাকে।

তবে এই হ্রাস পাওয়ার শিকলটি অবশ্যই এক সময় থামবে। প্রতিটি রেঞ্জস্পেসই তার পূর্ববর্তী রেঞ্জস্পেসের একটি সাবস্পেস। এটি একটি প্রকৃত সাবস্পেস হতে হলে এর মাত্রা অবশ্যই পূর্বেরটির চেয়ে কঠোরভাবে কম হতে হবে (দেখুন সমস্যা ৪)। এই স্পেস বা জগতগুলো সসীম-মাত্রিক, তাই শিকলটির মাত্রা কেবল সসীম সংখ্যক ধাপ পর্যন্তই কমতে পারে; অর্থাৎ, ঘাত $k$-এর মান সর্বোচ্চ $V$-এর মাত্রার সমান হতে পারে।

উদাহরণ ১.৪

উদাহরণ ১.১-এর অন্তরজ ম্যাপ $a+bx+c{x}^2+d{x}^3\stackrel{d/dx}{⟼}b+2cx+3d{x}^2$-এর রেঞ্জস্পেসের শিকলটি নিম্নরূপ:

${𝒫}_3\supset {𝒫}_2\supset {𝒫}_1\supset {𝒫}_0\supset \{\overrightarrow{0}\}=\{\overrightarrow{0}\}=\cdots$

এবং এর নালস্পেসের শিকলটি নিম্নরূপ:

$\{\overrightarrow{0}\}\subset {𝒫}_0\subset {𝒫}_1\subset {𝒫}_2\subset {𝒫}_3={𝒫}_3=\cdots$

উদাহরণ ১.৫

প্রথম দুটি স্থানাঙ্ক বা কোঅর্ডিনেটের ওপর প্রক্ষেপণকারী রূপান্তর $\pi :{ℂ}^3\to {ℂ}^3$ , যা—

$\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right)\stackrel{\pi }{⟼}\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ 0\end{array}\right)$

এর ক্ষেত্রে ${ℂ}^3\supset ℛ(\pi )=ℛ({\pi }^2)=\cdots$ এবং $\{\overrightarrow{0}\}\subset 𝒩(\pi )=𝒩({\pi }^2)=\cdots$ হয়।

উদাহরণ ১.৬

ধরা যাক, $t:{𝒫}_2\to {𝒫}_2$ হলো একটি ম্যাপ যা $c_0+c_{1}x+c_2{x}^2\mapsto 2c_0+c_{2}x$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

লেমার বর্ণনা অনুযায়ী, পুনরাবৃত্তির ফলে এর রেঞ্জস্পেস সংকুচিত হয়:

$ℛ(t^0)={𝒫}_2ℛ(t)=\{a+bx|a,b\in ℂ\}ℛ(t^2)=\{a|a\in ℂ\}$

এবং এরপর তা স্থিতিশীল হয় $ℛ(t^2)=ℛ(t^3)=\cdots$; অন্যদিকে এর নালস্পেস বৃদ্ধি পায়:

$𝒩(t^0)=\{0\}𝒩(t)=\{cx|c\in ℂ\}𝒩(t^2)=\{cx+d|c,d\in ℂ\}$

এবং এরপর তা স্থিতিশীল হয় $𝒩(t^2)=𝒩(t^3)=\cdots$।

এই গ্রাফটি লেমা ১.৩-কে চিত্রিত করে। অনুভূমিক অক্ষ রূপান্তরের ঘাত বা পাওয়ার $j$-কে নির্দেশ করে। উল্লম্ব অক্ষ শূন্য থেকে উপরের দিকে $t^j$-এর রেঞ্জস্পেসের মাত্রা প্রকাশ করে—এবং একই সাথে ধূসর অনুভূমিক রেখার নিচের অংশটি নালস্পেসের মাত্রা নির্দেশ করে, কারণ এই দুটির সমষ্টি ডোমেনের মাত্রা $n$-এর সমান।

চিত্রের রেখাচিত্র অনুযায়ী, পুনরাবৃত্তির ফলে র‍্যাংক হ্রাস পায় এবং সেই সাথে নালিটি বৃদ্ধি পায়, যতক্ষণ না উভয়ই একটি স্থির অবস্থায় পৌঁছায়। এই স্থির অবস্থাটি অবশ্যই $n$-তম পুনরাবৃত্তির মধ্যে অর্জিত হতে হবে। স্থির অবস্থায় শূন্য থেকে উপরের দিকের দূরত্বটি হলো সার্বিকীকৃত রেঞ্জস্পেসের মাত্রা এবং $n$ থেকে নিচের দিকের দূরত্বটি হলো সার্বিকীকৃত নালস্পেসের মাত্রা।

সংজ্ঞা ১.৭

ধরা যাক, $t$ একটি $n$-মাত্রিক জগতের রূপান্তর। এর সার্বিকীকৃত রেঞ্জস্পেস (বা রেঞ্জস্পেসের সমাপ্তি) হলো ${ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)=ℛ(t^n)$ এবং এর সার্বিকীকৃত নালস্পেস (বা নালস্পেসের সমাপ্তি) হলো ${𝒩}_{\mathrm{\infty }}(t)=𝒩(t^n)$।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

শূন্য এবং অভেদ রূপান্তরের জন্য রেঞ্জস্পেস এবং নালস্পেসের শিকলগুলো দেখান।

সমস্যা ২

নিচের প্রতিটি ম্যাপের জন্য রেঞ্জস্পেসের শিকল ও নালস্পেসের শিকল এবং সার্বিকীকৃত রেঞ্জস্পেস ও সার্বিকীকৃত নালস্পেস নির্ণয় করুন।

1. $t_0:{𝒫}_2\to {𝒫}_2$, $a+bx+c{x}^2\mapsto b+c{x}^2$
2. $t_1:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$,

   $\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}0\\ a\end{array}\right)$

3. $t_2:{𝒫}_2\to {𝒫}_2$, $a+bx+c{x}^2\mapsto b+cx+a{x}^2$
4. $t_3:{ℝ}^3\to {ℝ}^3$,

   $\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}a\\ a\\ b\end{array}\right)$

সমস্যা ৩

প্রমাণ করুন যে ফাংশনের সংযোজন সংযোগ বিধি মেনে চলে: $(t\circ t)\circ t=t\circ (t\circ t)$ এবং তাই আমরা কোনো বন্ধনী নির্দিষ্ট না করেই সরাসরি $t^3$ লিখতে পারি।

সমস্যা ৪

যাচাই করুন যে, একটি সাবস্পেসের মাত্রা অবশ্যই তার সুপারস্পেসের মাত্রার চেয়ে কম বা সমান হতে হবে।

আরও যাচাই করুন যে, সাবস্পেসটি যদি প্রকৃত হয় (অর্থাৎ সাবস্পেসটি সুপারস্পেসের সমান না হয়), তবে এর মাত্রা কঠোরভাবে কম হবে। (এটি লেমা ১.৩-এর প্রমাণে ব্যবহৃত হয়েছে।)

সমস্যা ৫

প্রমাণ করুন যে, রূপান্তর বা ট্রান্সফরমেশন $t$ যদি ইনভার্টিবল বা নন-সিঙ্গুলার হয়, তবে এর সার্বিকীকৃত রেঞ্জস্পেস ${ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)$ হবে সম্পূর্ণ জগতটি এবং সার্বিকীকৃত নালস্পেস ${𝒩}_{\mathrm{\infty }}(t)$ হবে কেবল একটি শূন্য বা ট্রিভিয়াল সেট। এটি কি দ্বিমুখী শর্ত হিসেবেও সত্য?

সমস্যা ৬

লেমা ১.৩-এর নালস্পেসের অংশটুকু যাচাই বা প্রমাণ করুন।

সমস্যা ৭

একটি ত্রিমাত্রিক জগতের এমন একটি রূপান্তরের উদাহরণ দিন যার রেঞ্জের মাত্রা দুই। এর নালস্পেসটি কী? আপনার দেওয়া উদাহরণটির রেঞ্জস্পেস এবং নালস্পেস স্থিতিশীল বা স্থির না হওয়া পর্যন্ত এর পুনরাবৃত্তি করতে থাকুন।

সমস্যা ৮

দেখাও যে, একটি রৈখিক রূপান্তরের রেঞ্জস্পেস এবং নালস্পেস পরস্পর নিচ্ছেদ বা বিচ্ছিন্ন হওয়ার প্রয়োজন নেই। এরা কি কখনো বিচ্ছিন্ন হতে পারে?

সমাধানসমূহ