রৈখিক বীজগণিত/স্পেকট্রাল উপপাদ্য

একটি হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্স $A$ দেওয়া থাকলে, $A$ সর্বদা তির্যকীকরণযোগ্য। এটিও সত্য যে $A$-এর সকল আইগেনমান বাস্তব এবং সকল আইগেনভেক্টর একে অপরের ওপর লম্ব। একে "স্পেকট্রাল উপপাদ্য" বলা হয়:

স্পেকট্রাল উপপাদ্য

যেকোনো $n\times n$ হার্মিশিয়ান ম্যাট্রিক্স $A$-এর জন্য, একটি $n\times n$ ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স $U$ এবং বাস্তব মানের একটি $n\times n$ ডায়াগনাল ম্যাট্রিক্স $\Lambda$ বিদ্যমান থাকে যেন $A=U\Lambda U^{H}$ হয়।

$U={\begin{pmatrix}{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&\dots &{\vec {u}}_{n}\end{pmatrix}}$-এর কলামগুলো হলো $U$-এর আইগেনভেক্টর, এবং $\Lambda ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}$-এর কর্ণ বরাবর ভুক্তিগুলো হলো সংশ্লিষ্ট আইগেনমান।

মূলত $A$-কে র‍্যাঙ্ক ১ প্রক্ষেপণের একটি "স্পেকট্রাম"-এ বিশ্লেষণ করা যেতে পারে: $A=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}({\vec {u}}_{i}{\vec {u}}_{i}^{H})$

প্রকৃতপক্ষে $A$-এর ক্যারেক্টারিস্টিক পলিনোমিয়াল বা অন্য কোনো ডেরিভেটিভ উপপাদ্যের সাহায্য ছাড়াই স্পেকট্রাল উপপাদ্যটি প্রমাণ করা সম্ভব।

স্পেকট্রাল উপপাদ্যের প্রমাণ

এই প্রমাণটি $n$-এর ওপর আরোহী পদ্ধতি (induction) ব্যবহার করে সম্পন্ন করা হবে।

ভিত্তি ধাপ $n=1$

যখন $A={\begin{pmatrix}a_{1,1}\end{pmatrix}}$, তখন অবশ্যই $a_{1,1}$-কে বাস্তব সংখ্যা হতে হবে, অন্যথায় $A$ হার্মিশিয়ান হবে না। সেক্ষেত্রে স্পেকট্রাল বিশ্লেষণ হবে অত্যন্ত সাধারণ: $A={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a_{1,1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}}^{H}$

আরোহী ধাপ $n\geq 2$

ধরি, ${\vec {e}}_{i}$ হলো $\mathbb {C} ^{n}$-এর $i$-তম আদর্শ ভিত্তি ভেক্টর। ধরি, $\mathbf {0} _{k\times m}$ হলো একটি $k\times m$ মাত্রার শূন্য ম্যাট্রিক্স।

ধরি, ${\vec {u}}_{1}$ একটি একক দৈর্ঘ্যের ভেক্টর যা ${\vec {u}}_{1}^{H}A{\vec {u}}_{1}$-কে সর্বোচ্চ করে (মনে রাখতে হবে যে ${\vec {u}}_{1}^{H}A{\vec {u}}_{1}$ সর্বদা বাস্তব সংখ্যা), এবং ধরি $\lambda _{1}={\vec {u}}_{1}^{H}A{\vec {u}}_{1}$। ধরি $U_{1}$ একটি ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স যার প্রথম কলাম হলো ${\vec {u}}_{1}$: $U_{1}{\vec {e}}_{1}={\vec {u}}_{1}$।

$A=U_{1}A_{1}U_{1}^{H}$ যেখানে $A_{1}=U_{1}^{H}AU_{1}$। এখন দেখানো হবে যে $A_{1}$-এর আকার হবে $A_{1}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\mathbf {0} _{1\times (n-1)}\\\mathbf {0} _{(n-1)\times 1}&A_{\text{reduced}}\end{pmatrix}}$।

${\vec {e}}_{1}^{H}A_{1}{\vec {e}}_{1}={\vec {u}}_{1}^{H}A{\vec {u}}_{1}=\lambda _{1}$ হওয়ায় $A_{1}$-এর (১,১) ভুক্তিটি হলো $\lambda _{1}$। এখন দেখানো হবে যে $A_{1}$-এর প্রথম সারি এবং প্রথম কলামের প্রথম ভুক্তিটি বাদে বাকি সব ভুক্তি শূন্য। যেকোনো $i=2,3,\dots ,n$-এর জন্য, পরামিতিযুক্ত একক ভেক্টর ${\vec {u}}_{t}(t)=(\cos t){\vec {e}}_{1}+(\sin t){\vec {e}}_{i}$ বিবেচনা করি।

${\vec {u}}_{t}(t)^{H}A_{1}{\vec {u}}_{t}(t)=((\cos t){\vec {e}}_{1}+(\sin t){\vec {e}}_{i})^{H}A_{1}((\cos t){\vec {e}}_{1}+(\sin t){\vec {e}}_{i})$ $=\lambda _{1}\cos ^{2}t+(a_{(i,1)}+a_{(1,i)})\cos t\sin t+a_{(i,i)}\sin ^{2}t$ $=\lambda _{1}\cos ^{2}t+2\Re (a_{(i,1)})\cos t\sin t+a_{(i,i)}\sin ^{2}t$ যেখানে $a_{(i,j)}$ হলো $A_{1}$-এর $(i,j)$ ভুক্তি ($\Re$ এবং $\Im$ যথাক্রমে বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ নির্দেশ করে)।

${\frac {d}{dt}}({\vec {u}}_{t}(t)^{H}A_{1}{\vec {u}}_{t}(t)){\bigg |}_{t=0}=2\Re (a_{(i,1)})$। একক ভেক্টর ${\vec {u}}={\vec {u}}_{1}$ যেহেতু ${\vec {u}}^{H}A{\vec {u}}$-কে সর্বোচ্চ করে, এর অর্থ হলো ${\vec {u}}={\vec {u}}_{t}(0)={\vec {e}}_{1}$ ভেক্টরটি ${\vec {u}}^{H}A_{1}{\vec {u}}$-কে সর্বোচ্চ করবে। সুতরাং, ${\frac {d}{dt}}({\vec {u}}_{t}(t)^{H}A_{1}{\vec {u}}_{t}(t)){\bigg |}_{t=0}=0$, যা থেকে পাওয়া যায় $\Re (a_{(i,1)})=0$।

এখন পরামিতিযুক্ত একক ভেক্টর ${\vec {u}}_{t}(t)=(\cos t){\vec {e}}_{1}+i(\sin t){\vec {e}}_{i}$ বিবেচনা করি।

${\vec {u}}_{t}(t)^{H}A_{1}{\vec {u}}_{t}(t)=((\cos t){\vec {e}}_{1}+i(\sin t){\vec {e}}_{i})^{H}A_{1}((\cos t){\vec {e}}_{1}+i(\sin t){\vec {e}}_{i})$ $=\lambda _{1}\cos ^{2}t+(-ia_{(i,1)}+ia_{(1,i)})\cos t\sin t+a_{(i,i)}\sin ^{2}t$ $=\lambda _{1}\cos ^{2}t+2\Im (a_{(i,1)})\cos t\sin t+a_{(i,i)}\sin ^{2}t$

${\frac {d}{dt}}({\vec {u}}_{t}(t)^{H}A_{1}{\vec {u}}_{t}(t)){\bigg |}_{t=0}=2\Im (a_{(i,1)})$, সুতরাং ${\frac {d}{dt}}({\vec {u}}_{t}(t)^{H}A_{1}{\vec {u}}_{t}(t)){\bigg |}_{t=0}=0\implies \Im (a_{(i,1)})=0$। অর্থাৎ, $a_{(i,1)}=a_{(1,i)}=0$। এটি প্রমাণিত হলো যে প্রথম সারি এবং প্রথম কলামের প্রথম ভুক্তি বাদে বাকি সব ভুক্তি শূন্য।

$A_{1}$-এর আকার হলো $A_{1}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\mathbf {0} _{1\times (n-1)}\\\mathbf {0} _{(n-1)\times 1}&A_{\text{reduced}}\end{pmatrix}}$, এবং আরোহী যুক্তি অনুযায়ী, $A_{\text{reduced}}$-এর স্পেকট্রাল বিশ্লেষণ হবে $U_{r}\Lambda _{r}U_{r}^{H}$।

অতএব $A=U\Lambda U^{H}$ যেখানে $U=U_{1}{\begin{pmatrix}1&\mathbf {0} _{1\times (n-1)}\\\mathbf {0} _{(n-1)\times 1}&U_{r}\end{pmatrix}}$ এবং $\Lambda ={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&\mathbf {0} _{1\times (n-1)}\\\mathbf {0} _{(n-1)\times 1}&\Lambda _{r}\end{pmatrix}}$