রৈখিক বীজগণিত/স্ট্রিং

এই উপবিভাগটি ঐচ্ছিক, এবং এর জন্য ঐচ্ছিক ডিরেক্ট সাম উপবিভাগ থেকে উপাদানের প্রয়োজন।

পূর্ববর্তী উপবিভাগে দেখানো হয়েছে যে $j$ বৃদ্ধির সাথে সাথে $ℛ(t^j)$-এর মাত্রা হ্রাস পায় যেখানে $𝒩(t^j)$-এর মাত্রা বৃদ্ধি পায়, এমনভাবে যে এই র‍্যাঙ্ক এবং নালিটি $V$-এর মাত্রাকে বিভক্ত করে। আমরা কি আরও কিছু বলতে পারি; এই দুটি কি একটি ভিত্তিকে বিভক্ত করে— অর্থাৎ $V=ℛ(t^j)\oplus 𝒩(t^j)$ কি?

সবচেয়ে ছোট ঘাত $j=0$-এর জন্য উত্তরটি হলো হ্যাঁ, কারণ $V=ℛ(t^0)\oplus 𝒩(t^0)=V\oplus \{\overrightarrow{0}\}$। অন্য প্রান্তের ক্ষেত্রেও উত্তরটি হ্যাঁ।

লেমা ২.১

যেখানে $t:V\to V$ একটি রৈখিক রূপান্তর, সেখানে স্পেসটি হলো ডিরেক্ট সাম $V={ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)\oplus {𝒩}_{\mathrm{\infty }}(t)$। অর্থাৎ, $\dim (V)=\dim ({ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t))+\dim ({𝒩}_{\mathrm{\infty }}(t))$ এবং ${ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)\cap {𝒩}_{\mathrm{\infty }}(t)=\{\overrightarrow{0}\}$ উভয়ই সত্য।

প্রমাণ

আমরা দ্বিতীয় বাক্যটি যাচাই করব, যা প্রথমটির সমতুল্য। প্রথম শর্তটি, যে $t^n$-এর ডোমেইনের মাত্রা $n$ হলো $t^n$-এর র‍্যাঙ্ক এবং $t^n$-এর নালিটির যোগফলের সমান, তা যেকোনো রূপান্তরের জন্যই সত্য এবং তাই আমাদের কেবল দ্বিতীয় শর্তটি যাচাই করতে হবে।

ধরে নিই যে $\overrightarrow{v}\in {ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)\cap {𝒩}_{\mathrm{\infty }}(t)=ℛ(t^n)\cap 𝒩(t^n)$, আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে $\overrightarrow{v}$ হলো $\overrightarrow{0}$। যেহেতু $\overrightarrow{v}$ নালস্পেসে রয়েছে, তাই $t^n(\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0}$। অন্যদিকে, যেহেতু $ℛ(t^n)=ℛ(t^{n+1})$, তাই $t:{ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)\to {ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)$ ম্যাপটি একটি মাত্রা-সংরক্ষণকারী হোমোমরফিজম এবং তাই এটি এক-এক। এক-এক ম্যাপের সংযোজনও এক-এক হয়, এবং তাই $t^n:{ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)\to {ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)$ এক-এক। কিন্তু এখন— যেহেতু একটি এক-এক রৈখিক ম্যাপ দ্বারা কেবল $\overrightarrow{0}$-কে $\overrightarrow{0}$-তে পাঠানো হয়— এই সত্যটি যে $t^n(\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0}$, তা নির্দেশ করে যে $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$।

টীকা ২.২

কৌশলগতভাবে আমাদের $t:V\to V$ ম্যাপটিকে $t:{ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)\to {ℛ}_{\mathrm{\infty }}(t)$ ম্যাপ থেকে আলাদা করা উচিত কারণ এদের ডোমেইন বা কোডোমেইনগুলো ভিন্ন হতে পারে। দ্বিতীয়টিকে $ℛ(t^k)$-এ $t$-এর রেস্ট্রিকশন বা সীমাবদ্ধতা বলা হয়। আমরা পরবর্তীতে রেস্ট্রিকশন ম্যাপ সম্পর্কে এই প্রমাণের একটি বিষয় ব্যবহার করব, যা হলো এটি ননসিঙ্গুলার।

$j=0$ এবং $j=n$ ক্ষেত্রগুলোর বিপরীতে, মধ্যবর্তী ঘাতগুলোর জন্য $V$ স্পেসটি $ℛ(t^j)$ এবং $𝒩(t^j)$-এর ডিরেক্ট সাম নাও হতে পারে। পরবর্তী উদাহরণটি দেখায় যে এই দুটির একটি ননট্রিভিয়াল ছেদ থাকতে পারে।

উদাহরণ ২.৩

${ℂ}^2$-এর রূপান্তরটি বিবেচনা করুন যা স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তির উপাদানগুলোতে এর ক্রিয়া দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\stackrel{n}{⟼}\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\stackrel{n}{⟼}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)N={\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{{ℰ}_2,{ℰ}_2}(n)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$

ভেক্টরটি

${\overrightarrow{e}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

উভয় রেঞ্জস্পেস এবং নালস্পেসে রয়েছে। এই ম্যাপের ক্রিয়া বর্ণনা করার আরেকটি উপায় হলো একটি স্ট্রিং ব্যবহার করা।

$\begin{array}{ccccc}{\overrightarrow{e}}_1& \mapsto & {\overrightarrow{e}}_2& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$

উদাহরণ ২.৪

একটি ম্যাপ $\hat{n}:{ℂ}^4\to {ℂ}^4$ যার ${ℰ}_4$-এর উপর ক্রিয়া স্ট্রিং দ্বারা দেওয়া হয়েছে

$\begin{array}{ccccccccc}{\overrightarrow{e}}_1& \mapsto & {\overrightarrow{e}}_2& \mapsto & {\overrightarrow{e}}_3& \mapsto & {\overrightarrow{e}}_4& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$

এর $ℛ(\hat{n})\cap 𝒩(\hat{n})$ স্প্যান $[\{{\overrightarrow{e}}_4\}]$-এর সমান, $ℛ({\hat{n}}^2)\cap 𝒩({\hat{n}}^2)=[\{{\overrightarrow{e}}_3,{\overrightarrow{e}}_4\}]$ রয়েছে, এবং $ℛ({\hat{n}}^3)\cap 𝒩({\hat{n}}^3)=[\{{\overrightarrow{e}}_4\}]$ রয়েছে। ম্যাট্রিক্স রূপায়ণে সাবডায়াগোনাল একগুলো বাদে বাকি সবই শূন্য।

$\hat{N}={\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{{ℰ}_4,{ℰ}_4}(\hat{n})=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

উদাহরণ ২.৫

রূপান্তরগুলো একাধিক স্ট্রিংয়ের মাধ্যমে কাজ করতে পারে। একটি রূপান্তর $t$ যা একটি ভিত্তি $B=⟨{\overrightarrow{\beta }}_1,\dots ,{\overrightarrow{\beta }}_5⟩$-এর উপর ক্রিয়া করে

$\begin{array}{ccccccc}{\overrightarrow{\beta }}_1& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_2& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_3& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_4& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_5& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$

এটি এমন একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপন করা হয় যার সাবডায়াগোনাল একগুলোর ব্লকগুলো বাদে বাকি সবই শূন্য

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,B}(t)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

(রেখাগুলো কেবল ব্লকগুলোকে দৃশ্যমানভাবে সংগঠিত করে)।

এই তিনটি উদাহরণে সমস্ত ভেক্টর শেষ পর্যন্ত শূন্যতে রূপান্তরিত হয়।

সংজ্ঞা ২.৬

একটি নিলপোটেন্ট রূপান্তর হলো এমন একটি রূপান্তর যার একটি ঘাত শূন্য ম্যাপ। একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স হলো এমন একটি ম্যাট্রিক্স যার একটি ঘাত শূন্য ম্যাট্রিক্স। উভয় ক্ষেত্রেই, এই ধরনের ক্ষুদ্রতম ঘাতটিকে নিলপোটেন্সি সূচক বলা হয়।

উদাহরণ ২.৭

উদাহরণ ২.৩-এ নিলপোটেন্সি সূচক হলো দুই। উদাহরণ ২.৪-এ এটি চার। উদাহরণ ২.৫-এ এটি তিন।

উদাহরণ ২.৮

অন্তরীকরণ ম্যাপ $d/dx:{𝒫}_2\to {𝒫}_2$ হলো তিন সূচকের নিলপোটেন্ট কারণ যেকোনো দ্বিঘাত বহুপদীর তৃতীয় অন্তরজ শূন্য হয়। এই ম্যাপের ক্রিয়াটি স্ট্রিং $x^2\mapsto 2x\mapsto 2\mapsto 0$ দ্বারা বর্ণনা করা হয়েছে এবং ভিত্তি $B=⟨x^2,2x,2⟩$ নিলে এই রূপায়ণটি পাওয়া যায়।

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,B}(d/dx)=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

সমস্ত নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সই এমন হয় না যে সাবডায়াগোনাল একগুলোর ব্লকগুলো বাদে বাকি সব শূন্য হবে।

উদাহরণ ২.৯

উদাহরণ ২.৪-এর ম্যাট্রিক্স $\hat{N}$ এবং এই চার-ভেক্টর ভিত্তির সাথে

$D=⟨\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)⟩$

ভিত্তি পরিবর্তনের একটি কাজ $D,D$-এর সাপেক্ষে এই রূপায়ণ তৈরি করে।

$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 2& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right){\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 2& 1& 0\\ 1& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}-1& 0& 1& 0\\ -3& -2& 5& 0\\ -2& -1& 3& 0\\ 2& 1& -2& 0\end{array}\right)$

নতুন ম্যাট্রিক্সটি নিলপোটেন্ট; এর চতুর্থ ঘাত হলো শূন্য ম্যাট্রিক্স কারণ

$(P\hat{N}{P}^{-1}{)}^4=P\hat{N}{P}^{-1}\cdot P\hat{N}{P}^{-1}\cdot P\hat{N}{P}^{-1}\cdot P\hat{N}{P}^{-1}=P{\hat{N}}^4{P}^{-1}$

এবং ${\hat{N}}^4$ হলো শূন্য ম্যাট্রিক্স।

এই উপবিভাগের লক্ষ্য হলো উপপাদ্য ২.১৩, যা দেখায় যে পূর্ববর্তী উদাহরণটি প্রোটোটাইপিক্যাল, এই অর্থে যে প্রতিটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স এমন একটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ যার সাবডায়াগোনাল একগুলোর ব্লকগুলো বাদে বাকি সবই শূন্য।

সংজ্ঞা ২.১০

ধরি $V$-এর উপর $t$ একটি নিলপোটেন্ট রূপান্তর। $\overrightarrow{v}\in V$ দ্বারা উৎপাদিত একটি $t$-স্ট্রিং হলো একটি অনুক্রম $⟨\overrightarrow{v},t(\overrightarrow{v}),\dots ,t^{k-1}(\overrightarrow{v})⟩$। এই অনুক্রমের দৈর্ঘ্য হলো $k$। একটি $t$-স্ট্রিং ভিত্তি হলো এমন একটি ভিত্তি যা $t$-স্ট্রিংগুলোর একটি সংযোজন।

উদাহরণ ২.১১

উদাহরণ ২.৫-এ, তিন এবং দুই দৈর্ঘ্যের $t$-স্ট্রিং $⟨{\overrightarrow{\beta }}_1,{\overrightarrow{\beta }}_2,{\overrightarrow{\beta }}_3⟩$ এবং $⟨{\overrightarrow{\beta }}_4,{\overrightarrow{\beta }}_5⟩$-কে সংযোজন করে $t$-এর ডোমেইনের জন্য একটি ভিত্তি তৈরি করা যেতে পারে।

লেমা ২.১২

যদি একটি স্পেসের একটি $t$-স্ট্রিং ভিত্তি থাকে তবে এর সবচেয়ে দীর্ঘ স্ট্রিংটির দৈর্ঘ্য $t$-এর নিলপোটেন্সি সূচকের সমান হবে।

প্রমাণ

ধরি, তা নয়। ঐ স্ট্রিংগুলো এর চেয়ে দীর্ঘ হতে পারে না; যদি সূচক $k$ হয় তবে $t^k$ যেকোনো ভেক্টরকে— স্ট্রিং শুরু করা ভেক্টরগুলো সহ— $\overrightarrow{0}$-তে পাঠায়। তাই এর পরিবর্তে ধরে নিই যে, কোনো স্পেসে $k$ সূচকের একটি রূপান্তর $t$ রয়েছে, যেখানে স্পেসটির একটি $t$-স্ট্রিং ভিত্তি রয়েছে এবং তার সমস্ত স্ট্রিং $k$ দৈর্ঘ্যের চেয়ে ছোট। যেহেতু $t$-এর সূচক $k$, এমন একটি ভেক্টর $\overrightarrow{v}$ রয়েছে যার জন্য $t^{k-1}(\overrightarrow{v})\ne \overrightarrow{0}$। $\overrightarrow{v}$-কে ভিত্তি উপাদানগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ হিসেবে উপস্থাপন করি এবং $t^{k-1}$ প্রয়োগ করি। আমরা ধরে নিচ্ছি যে $t^{k-1}$ প্রতিটি ভিত্তি উপাদানকে $\overrightarrow{0}$-তে পাঠায় কিন্তু এটি $\overrightarrow{v}$-কে $\overrightarrow{0}$-তে পাঠায় না। এটি অসম্ভব।

আমরা দেখাব যে প্রতিটি নিলপোটেন্ট ম্যাপের সাথে একটি স্ট্রিং ভিত্তি যুক্ত থাকে। তাহলে আমাদের লক্ষ্য উপপাদ্যটি, যে প্রতিটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স এমন একটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ যার সাবডায়াগোনাল একগুলোর ব্লকগুলো বাদে বাকি সবই শূন্য, তা সরাসরি প্রমাণিত হয়, যেমনটি উদাহরণ ২.৫-এ দেখা গেছে।

একটি বিপরীত উদাহরণ খোঁজার চেষ্টা করলে, যেমন একটি নিলপোটেন্ট ম্যাপ যার সাথে যুক্ত স্ট্রিং ভিত্তিটি নিশ্ছেদ নয়, তা প্রমাণের ধারণা দেবে। এই ক্রিয়ার সাথে যুক্ত ম্যাপ $t:{ℂ}^5\to {ℂ}^5$ বিবেচনা করি।

                 ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{{ℰ}_5,{ℰ}_5}(t)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

এমনকি শূন্য ভেক্টরটিকে বাদ দেওয়ার পরেও, এই তিনটি স্ট্রিং নিশ্ছেদ নয়, তবে এটি একটি $t$-স্ট্রিং ভিত্তি খুঁজে পাওয়ার আশাকে শেষ করে দেয় না। এর অর্থ কেবল এই যে ${ℰ}_5$ স্ট্রিং ভিত্তির জন্য কাজ করবে না।

যে ভিত্তিটি কাজ করবে তা খুঁজে পেতে, আমরা প্রথমে এর স্ট্রিংগুলোর সংখ্যা এবং দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি। যেহেতু $t$-এর নিলপোটেন্সি সূচক দুই, লেমা ২.১২ বলে যে ভিত্তির অন্তত একটি স্ট্রিংয়ের দৈর্ঘ্য দুই। সুতরাং ম্যাপটিকে একটি স্ট্রিং ভিত্তির উপর এই দুটি উপায়ের যেকোনো একটিতে কাজ করতে হবে।

$\begin{array}{ccccc}{\overrightarrow{\beta }}_1& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_2& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_3& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_4& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_5& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$                $\begin{array}{ccccc}{\overrightarrow{\beta }}_1& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_2& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_3& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_4& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_5& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$

এখন, মূল বিষয়টি হলো। বাম-দিকের ক্রিয়াসহ একটি রূপান্তরের নালস্পেসের মাত্রা তিন, কারণ ঠিক এই সংখ্যক ভিত্তি ভেক্টরকে শূন্যতে পাঠানো হয়। ডান-দিকের ক্রিয়াসহ একটি রূপান্তরের নালস্পেসের মাত্রা চার। উপরের ম্যাট্রিক্স রূপায়ণটি ব্যবহার করে, $t$-এর নালস্পেসের গণনা

$𝒩(t)=\{\left(\begin{array}{c}x\\ -x\\ z\\ 0\\ r\end{array}\right)|x,z,r\in ℂ\}$

দেখায় যে এটি ত্রিমাত্রিক, অর্থাৎ আমরা বাম-দিকের ক্রিয়াটি চাই।

একটি স্ট্রিং ভিত্তি তৈরি করতে, প্রথমে $ℛ(t)\cap 𝒩(t)$ থেকে ${\overrightarrow{\beta }}_2$ এবং ${\overrightarrow{\beta }}_4$ বেছে নিই

${\overrightarrow{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{\beta }}_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

(অন্যান্য পছন্দও সম্ভব, শুধু নিশ্চিত করতে হবে যে $\{{\overrightarrow{\beta }}_2,{\overrightarrow{\beta }}_4\}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন)। ${\overrightarrow{\beta }}_5$-এর জন্য $𝒩(t)$ থেকে এমন একটি ভেক্টর বেছে নিই যা $\{{\overrightarrow{\beta }}_2,{\overrightarrow{\beta }}_4\}$-এর স্প্যানের অন্তর্ভুক্ত নয়।

${\overrightarrow{\beta }}_5=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

সবশেষে, ${\overrightarrow{\beta }}_1$ এবং ${\overrightarrow{\beta }}_3$ এমনভাবে নিই যাতে $t({\overrightarrow{\beta }}_1)={\overrightarrow{\beta }}_2$ এবং $t({\overrightarrow{\beta }}_3)={\overrightarrow{\beta }}_4$ হয়।

${\overrightarrow{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{\beta }}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

এখন, $B=⟨{\overrightarrow{\beta }}_1,\dots ,{\overrightarrow{\beta }}_5⟩$-এর সাপেক্ষে, $t$-এর ম্যাট্রিক্সটি আশানুরূপ।

${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,B}(t)=\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

উপপাদ্য ২.১৩

যেকোনো নিলপোটেন্ট রূপান্তর $t$ একটি $t$-স্ট্রিং ভিত্তির সাথে যুক্ত থাকে। যদিও ভিত্তিটি অদ্বিতীয় নয়, স্ট্রিংগুলোর সংখ্যা এবং দৈর্ঘ্য $t$ দ্বারা নির্ধারিত হয়।

এটি প্রমাণটিকে ব্যাখ্যা করে। ভিত্তি ভেক্টরগুলোকে ধরন $1$, ধরন $2$ এবং ধরন $3$-এ শ্রেণীবদ্ধ করা হয়েছে। এগুলোকে বর্গক্ষেত্র বা বৃত্ত হিসেবেও দেখানো হয়েছে, নির্ভর করে সেগুলো নালস্পেসে আছে কি না তার উপর।

প্রমাণ

একটি ভেক্টর স্পেস $V$ নির্দিষ্ট করি; আমরা $t:V\to V$-এর নিলপোটেন্সি সূচকের উপর আরোহ পদ্ধতির (induction) মাধ্যমে যুক্তি দেব। যদি সেই সূচক $1$ হয় তবে $t$ হলো শূন্য ম্যাপ এবং যেকোনো ভিত্তি হলো একটি স্ট্রিং ভিত্তি ${\overrightarrow{\beta }}_1\mapsto \overrightarrow{0}$, ..., ${\overrightarrow{\beta }}_n\mapsto \overrightarrow{0}$। আরোহ ধাপের জন্য, ধরে নিই যে উপপাদ্যটি $1$ থেকে $k-1$-এর মধ্যে নিলপোটেন্সি সূচক বিশিষ্ট যেকোনো রূপান্তরের জন্য সত্য এবং সূচক $k$-এর ক্ষেত্রটি বিবেচনা করি।

প্রথমে লক্ষ্য করি যে রেঞ্জস্পেস $t:ℛ(t)\to ℛ(t)$-এ রেস্ট্রিকশনটিও নিলপোটেন্ট, যার সূচক $k-1$। $ℛ(t)$-এর জন্য একটি স্ট্রিং ভিত্তি পেতে আরোহ অনুকল্প প্রয়োগ করি, যেখানে স্ট্রিংগুলোর সংখ্যা এবং দৈর্ঘ্য $t$ দ্বারা নির্ধারিত হয়।

$B=⟨{\overrightarrow{\beta }}_1,t({\overrightarrow{\beta }}_1),\dots ,t^{h_1}({\overrightarrow{\beta }}_1)⟩{}^{⌢}⟨{\overrightarrow{\beta }}_2,\dots ,t^{h_2}({\overrightarrow{\beta }}_2)⟩{}^{⌢}\cdots {}^{⌢}⟨{\overrightarrow{\beta }}_i,\dots ,t^{h_i}({\overrightarrow{\beta }}_i)⟩$

(চিত্রণে এগুলো ধরন $1$-এর ভিত্তি ভেক্টর, তাই এই ধরনের ভিত্তি ভেক্টরের সাথে $i$ সংখ্যক স্ট্রিং দেখানো হয়েছে।)

দ্বিতীয়ত, লক্ষ্য করি যে প্রতিটি স্ট্রিংয়ের চূড়ান্ত অশূন্য ভেক্টরটি নিলে তা একটি ভিত্তি $C=⟨t^{h_1}({\overrightarrow{\beta }}_1),\dots ,t^{h_i}({\overrightarrow{\beta }}_i)⟩$ দেয় যা $ℛ(t)\cap 𝒩(t)$-এর জন্য কাজ করে। (এগুলোকে বর্গক্ষেত্রের মধ্যে $1$ দিয়ে চিত্রিত করা হয়েছে।) কারণ, $ℛ(t)$-এর একটি সদস্যকে শূন্যতে ম্যাপ করা হবে যদি এবং কেবল যদি এটি সেই ভিত্তি ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ হয় যেগুলোকে শূন্যতে ম্যাপ করা হয়েছে। $C$-কে সম্পূর্ণ $𝒩(t)$-এর একটি ভিত্তিতে প্রসারিত করি।

$\hat{C}=C{}^{⌢}⟨{\overrightarrow{\xi }}_1,\dots ,{\overrightarrow{\xi }}_p⟩$

($\overrightarrow{\xi }$ গুলো হলো ধরন $2$-এর ভেক্টর ফলে $\hat{C}$ হলো বর্গক্ষেত্রগুলোর সেট।) যদিও $\overrightarrow{\xi }$ গুলোর জন্য অনেক পছন্দ সম্ভব, তাদের সংখ্যা $p$ ম্যাপ $t$ দ্বারা নির্ধারিত হয় কারণ এটি হলো $𝒩(t)$-এর মাত্রা বিয়োগ $ℛ(t)\cap 𝒩(t)$-এর মাত্রা।

অবশেষে, $B{}^{⌢}\hat{C}$ হলো $ℛ(t)+𝒩(t)$-এর জন্য একটি ভিত্তি কারণ রেঞ্জস্পেসের কিছুর সাথে নালস্পেসের কিছুর যেকোনো যোগফলকে রেঞ্জস্পেস অংশের জন্য $B$-এর উপাদানগুলো এবং নালস্পেস থেকে আসা অংশের জন্য $\hat{C}$-এর উপাদানগুলো ব্যবহার করে উপস্থাপন করা যেতে পারে। লক্ষ্য করুন যে

$\begin{array}{cc}\dim (ℛ(t)+𝒩(t))& =\dim (ℛ(t))+\dim (𝒩(t))-\dim (ℛ(t)\cap 𝒩(t))\\ & =\text{rank}(t)+\text{nullity}(t)-i\\ & =\dim (V)-i\end{array}$

এবং তাই $B{}^{⌢}\hat{C}$-কে আরও $i$ সংখ্যক ভেক্টর যুক্ত করে সম্পূর্ণ $V$-এর একটি ভিত্তিতে প্রসারিত করা যেতে পারে। নির্দিষ্টভাবে, মনে রাখবেন যে ${\overrightarrow{\beta }}_1,\dots ,{\overrightarrow{\beta }}_i$-এর প্রতিটি $ℛ(t)$-এ রয়েছে, এবং $B{}^{⌢}\hat{C}$-কে ${\overrightarrow{v}}_1,\dots ,{\overrightarrow{v}}_i$ ভেক্টরগুলো দিয়ে প্রসারিত করুন যাতে $t({\overrightarrow{v}}_1)={\overrightarrow{\beta }}_1,\dots ,t({\overrightarrow{v}}_i)={\overrightarrow{\beta }}_i$ হয়। (চিত্রণে, এগুলো হলো $3$।) এই প্রসারণের দ্বারা যে রৈখিক স্বাধীনতা সংরক্ষিত থাকে তা যাচাই করা হলো সমস্যা ১৩।

অনুসিদ্ধান্ত ২.১৪

প্রতিটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স এমন একটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ যার সাবডায়াগোনাল একগুলোর ব্লকগুলো বাদে বাকি সবই শূন্য। অর্থাৎ, প্রতিটি নিলপোটেন্ট ম্যাপকে কোনো ভিত্তির সাপেক্ষে এমন একটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপন করা যায়।

এই রূপটি এই অর্থে অদ্বিতীয় যে, যদি একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স এমন দুটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ হয় তবে সেই দুটির ব্লকগুলো কেবল ভিন্নভাবে সাজানো থাকে। সুতরাং নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সগুলোর সাদৃশ্য শ্রেণীর জন্য এটি একটি ক্যানোনিকাল ফর্ম, যদি আমরা ব্লকগুলোকে, ধরা যাক, সবচেয়ে দীর্ঘ থেকে সবচেয়ে ছোট অনুসারে সাজাই।

উদাহরণ ২.১৫

ম্যাট্রিক্স

$M=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)$

এর নিলপোটেন্সি সূচক দুই, যেমনটি এই গণনা দেখায়।

$\begin{array}{ccc}p& M^p& 𝒩(M^p)\\ 1& M=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)& \{\left(\begin{array}{c}x\\ x\end{array}\right)|x\in ℂ\}\\ 2& M^2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)& {ℂ}^2\end{array}$

গণনাটি আরও বর্ণনা করে যে কীভাবে $M$ দ্বারা উপস্থাপিত একটি ম্যাপ $m$ যেকোনো স্ট্রিং ভিত্তির উপর কাজ করবে। ম্যাপটির একবার প্রয়োগের সাথে নালস্পেসের মাত্রা হয় এক এবং তাই ভিত্তির একটি ভেক্টর শূন্যতে পাঠানো হয়। দ্বিতীয়বার প্রয়োগের ক্ষেত্রে, নালস্পেসের মাত্রা হয় দুই এবং তাই অন্যান্য ভিত্তি ভেক্টরটিকে শূন্যতে পাঠানো হয়। এইভাবে, ম্যাপের ক্রিয়াটি হলো ${\overrightarrow{\beta }}_1\mapsto {\overrightarrow{\beta }}_2\mapsto \overrightarrow{0}$ এবং ম্যাট্রিক্সটির ক্যানোনিকাল ফর্ম হলো এটি।

$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$

আমরা এমন একটি $m$-স্ট্রিং ভিত্তি এবং ভিত্তি ম্যাট্রিক্সের পরিবর্তনের উদাহরণ দেখাতে পারি যা ম্যাট্রিক্সের সাদৃশ্য প্রমাণ করে। ভিত্তির জন্য, স্ট্যান্ডার্ড ভিত্তির সাপেক্ষে $m$-কে উপস্থাপন করতে $M$ নিই, একটি ${\overrightarrow{\beta }}_2\in 𝒩(m)$ বেছে নিই এবং এমন একটি ${\overrightarrow{\beta }}_1$ বেছে নিই যাতে $m({\overrightarrow{\beta }}_1)={\overrightarrow{\beta }}_2$ হয়।

${\overrightarrow{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right){\overrightarrow{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

(যদি আমরা $M$-কে কোনো ননস্ট্যান্ডার্ড ভিত্তির সাপেক্ষে একটি প্রতিনিধি হিসেবে নিই তবে এই বেছে নেওয়ার ধাপটি আরও জটিল হবে।) সাদৃশ্য ডায়াগ্রামটি মনে করুন।

ক্যানোনিকাল ফর্মটি ${\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,B}(m)=PM{P}^{-1}$-এর সমান, যেখানে

$P^{-1}={\mathrm{R}\mathrm{e}\mathrm{p}}_{B,{ℰ}_2}(\text{id})=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)P=(P^{-1}{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)$

এবং ম্যাট্রিক্স গণনার যাচাইকরণটি খুব সাধারণ।

$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$

উদাহরণ ২.১৬

ম্যাট্রিক্স

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ -1& 1& 1& -1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& -1& 1& -1\end{array}\right)$

একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স। এই গণনাগুলো নালস্পেসের বৃদ্ধি দেখায়।

$\begin{array}{ccc}p& N^p& 𝒩(N^p)\\ 1& \left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ -1& 1& 1& -1& 1\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& -1& 1& -1\end{array}\right)& \{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ u-v\\ u\\ v\end{array}\right)|u,v\in ℂ\}\\ 2& \left(\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)& \{\left(\begin{array}{c}0\\ y\\ z\\ u\\ v\end{array}\right)|y,z,u,v\in ℂ\}\\ 3& \mathit{\text{--𝑧𝑒𝑟𝑜𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑥--}}& {ℂ}^5\end{array}$

এই সারণীটি দেখায় যে যেকোনো স্ট্রিং ভিত্তিকে অবশ্যই সন্তুষ্ট করতে হবে: একবার ম্যাপ প্রয়োগের পর নালস্পেসের মাত্রা দুই হয় তাই দুটি ভিত্তি ভেক্টর সরাসরি শূন্যতে পাঠানো হয়, দ্বিতীয় প্রয়োগের পর নালস্পেসের মাত্রা চার হয় তাই দ্বিতীয় পুনরাবৃত্তিতে আরও দুটি ভিত্তি ভেক্টর শূন্যতে পাঠানো হয়, এবং তিনবার প্রয়োগের পর নালস্পেসের মাত্রা পাঁচ হয় তাই চূড়ান্ত ভিত্তি ভেক্টরটি তিন ধাপে শূন্যতে পাঠানো হয়।

$\begin{array}{ccccccc}{\overrightarrow{\beta }}_1& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_2& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_3& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_4& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_5& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$

এমন একটি ভিত্তি তৈরি করতে, প্রথমে $𝒩(n)$ থেকে দুটি স্বাধীন ভেক্টর বেছে নিই

${\overrightarrow{\beta }}_3=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{\beta }}_5=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 1\\ 1\end{array}\right)$

তারপর ${\overrightarrow{\beta }}_2,{\overrightarrow{\beta }}_4\in 𝒩(n^2)$ যুক্ত করি যাতে $n({\overrightarrow{\beta }}_2)={\overrightarrow{\beta }}_3$ এবং $n({\overrightarrow{\beta }}_4)={\overrightarrow{\beta }}_5$ হয়

${\overrightarrow{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right){\overrightarrow{\beta }}_4=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

এবং সবশেষে ${\overrightarrow{\beta }}_1\in 𝒩(n^3)={ℂ}^5$ যুক্ত করে শেষ করি যাতে $n({\overrightarrow{\beta }}_1)={\overrightarrow{\beta }}_2$ হয়।

${\overrightarrow{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

এখানে বাস্তব সংখ্যার ট্রিপলগুলোর স্পেসে কাজ করা লেফট-শিফট অপারেটরের নিলপোটেন্সি সূচক কত?

$(x,y,z)\mapsto (0,x,y)$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

প্রতিটি স্ট্রিং ভিত্তির জন্য নিলপোটেন্সি সূচক উল্লেখ করুন এবং নিলপোটেন্ট ম্যাপের প্রতিটি পুনরাবৃত্তির রেঞ্জস্পেস এবং নালস্পেসের মাত্রা দিন।

1. $\begin{array}{ccccc}{\overrightarrow{\beta }}_1& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_2& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_3& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_4& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$
2. $\begin{array}{ccccccc}{\overrightarrow{\beta }}_1& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_2& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_3& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_4& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_5& \mapsto & \overrightarrow{0}\\ {\overrightarrow{\beta }}_6& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$
3. $\begin{array}{ccccccc}{\overrightarrow{\beta }}_1& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_2& \mapsto & {\overrightarrow{\beta }}_3& \mapsto & \overrightarrow{0}\end{array}$

এছাড়াও ম্যাট্রিক্সের ক্যানোনিকাল ফর্ম দিন।

সমস্যা ৩

এই ম্যাট্রিক্সগুলোর মধ্যে কোনটি নিলপোটেন্ট তা নির্ধারণ করুন।

1. $\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ -1& 2\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& 1\\ -3& 2& 1\\ -3& 2& 1\end{array}\right)$
4. $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 4\\ 3& 0& -1\\ 5& 2& 7\end{array}\right)$
5. $\left(\begin{array}{ccc}45& -22& -19\\ 33& -16& -14\\ 69& -34& -29\end{array}\right)$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৪

এই ম্যাট্রিক্সের ক্যানোনিকাল ফর্ম খুঁজুন।

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 1& 0& 1\\ 0& 0& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৫

উদাহরণ ২.১৬-এর ম্যাট্রিক্সটি বিবেচনা করুন।

1. ক্যানোনিকাল ফর্মটি দিতে স্ট্রিং ভিত্তির উপর ম্যাপের ক্রিয়া ব্যবহার করুন।
2. ভিত্তি ম্যাট্রিক্সের পরিবর্তনগুলো খুঁজুন যা ম্যাট্রিক্সটিকে ক্যানোনিকাল ফর্মে নিয়ে আসে।
3. প্রথম আইটেমের উত্তরটি পরীক্ষা করতে পূর্ববর্তী আইটেমের উত্তরটি ব্যবহার করুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

এই ম্যাট্রিক্সগুলোর প্রতিটিই নিলপোটেন্ট।

1. $\left(\begin{array}{cc}1/2& -1/2\\ 1/2& -1/2\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& -1& 1\\ 0& -1& 1\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 1& 0& 1\\ 1& -1& 1\end{array}\right)$

প্রতিটিকে ক্যানোনিকাল ফর্মে রাখুন।

সমস্যা ৭

নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সগুলোর জন্য ক্যানোনিকাল ফর্মে থাকা ম্যাট্রিক্স দ্বারা বাম বা ডান গুণের প্রভাব বর্ণনা করুন।

সমস্যা ৮

নিলপোটেন্স কি সাদৃশ্যের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে? অর্থাৎ, একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ একটি ম্যাট্রিক্সকেও কি নিলপোটেন্ট হতে হবে? যদি তাই হয়, তবে কি একই সূচকের সাথে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৯

দেখান যে একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সের একমাত্র আইগেনভ্যালু (eigenvalue) হলো শূন্য।

সমস্যা ১০

দ্বিমাত্রিক স্পেসে কি সূচক তিন-এর কোনো নিলপোটেন্ট রূপান্তর আছে?

সমস্যা ১১

উপপাদ্য ২.১৩-এর প্রমাণে, কেন প্রমাণের ভিত্তি ক্ষেত্রটি (base case) এমন হয় না যে নিলপোটেন্সি সূচক শূন্য?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১২

ধরি $t:V\to V$ একটি রৈখিক রূপান্তর এবং ধরি $\overrightarrow{v}\in V$ এমন যে $t^k(\overrightarrow{v})=\overrightarrow{0}$ কিন্তু $t^{k-1}(\overrightarrow{v})\ne \overrightarrow{0}$। $t$-স্ট্রিং $⟨\overrightarrow{v},t(\overrightarrow{v}),\dots ,t^{k-1}(\overrightarrow{v})⟩$ বিবেচনা করি।

1. প্রমাণ করুন যে $t$ হলো স্ট্রিংয়ের ভেক্টরগুলোর সেটের স্প্যানের উপর একটি রূপান্তর, অর্থাৎ প্রমাণ করুন যে স্প্যানের উপর সীমাবদ্ধ $t$-এর একটি রেঞ্জ রয়েছে যা স্প্যানের একটি উপসেট। আমরা বলি যে স্প্যানটি একটি $t$-ইনভ্যারিয়েন্ট ($t$-invariant) সাবস্পেস।
2. প্রমাণ করুন যে রেস্ট্রিকশনটি নিলপোটেন্ট।
3. প্রমাণ করুন যে $t$-স্ট্রিংটি রৈখিকভাবে স্বাধীন এবং তাই এটি তার স্প্যানের জন্য একটি ভিত্তি।
4. $t$-স্ট্রিং ভিত্তির সাপেক্ষে রেস্ট্রিকশন ম্যাপটি উপস্থাপন করুন।

সমস্যা ১৩

উপপাদ্য ২.১৩-এর প্রমাণটি শেষ করুন।

সমস্যা ১৪

দেখান যে সংজ্ঞা ২.৬-এ দেওয়া "নিলপোটেন্ট রূপান্তর" এবং "নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স" শব্দগুলো একে অপরের সাথে খাপ খায়: একটি ম্যাপ নিলপোটেন্ট হয় যদি এবং কেবল যদি এটি একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপন করা হয়। (এটি কি এমন যে একটি রূপান্তর নিলপোটেন্ট হয় যদি এবং কেবল যদি এমন একটি ভিত্তি থাকে যে সেই ভিত্তির সাপেক্ষে ম্যাপটির রূপায়ণ একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স হয়, অথবা যেকোনো রূপায়ণই একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স?)

সমস্যা ১৫

ধরি $T$ সূচক চার-এর একটি নিলপোটেন্ট। $T^3$-এর রেঞ্জস্পেস কতটা বড় হতে পারে?

সমস্যা ১৬

মনে করুন যে অনুরূপ ম্যাট্রিক্সগুলোর আইগেনভ্যালু একই থাকে। দেখান যে এর বিপরীতটি সত্য নয়।

সমস্যা ১৭

প্রমাণ করুন যে একটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স এমন একটি ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ যার সুপার-ডায়াগোনাল একগুলোর ব্লকগুলো বাদে বাকি সবই শূন্য।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৮

প্রমাণ করুন যে যদি একটি রূপান্তরের রেঞ্জস্পেস এবং নালস্পেস একই হয়, তবে এর ডোমেইনের মাত্রা জোড় হবে।

সমস্যা ১৯

প্রমাণ করুন যে যদি দুটি নিলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্স কমিউট করে তবে তাদের গুণফল এবং যোগফলও নিলপোটেন্ট হবে।

সমস্যা ২০

$S$ একটি $n\times n$ ম্যাট্রিক্স হলে $t_S(T)=ST-TS$ দ্বারা প্রদত্ত ${ℳ}_{n\times n}$-এর রূপান্তরটি বিবেচনা করুন। প্রমাণ করুন যে $S$ নিলপোটেন্ট হলে $t_S$-ও নিলপোটেন্ট হবে।

সমস্যা ২১

দেখান যে $N$ নিলপোটেন্ট হলে $I-N$ ইনভার্টেবল। এটি কি "কেবল যদি" (only if)-এর ক্ষেত্রেও সত্য?

সমাধান