রৈখিক বীজগণিত/সেট বর্ণনার তুলনা/সমাধান

সমাধানসমূহ

সমস্যা ১

নিচে প্রদত্ত ভেক্টরটি সংশ্লিষ্ট সেটের সদস্য কি না, তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে নির্ধারণ করুন।

1. ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
2. ${\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
3. ${\begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
4. ${\begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$
5. ${\begin{pmatrix}1\\4\\14\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$
6. ${\begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$

উত্তর

1. না, এটি সেটের সদস্য নয়।
2. হ্যাঁ, এটি সেটের সদস্য।
3. না, এটি সেটের সদস্য নয়।
4. হ্যাঁ, এটি সেটের সদস্য।
5. হ্যাঁ; এক্ষেত্রে গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করে আমরা $k=4$ এবং $m=-3$ মান দুটি পাই।
6. না; গাউসের পদ্ধতি ব্যবহার করলে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়া যায় যে এক্ষেত্রে কোনো গাণিতিক সমাধান নেই।

সমস্যা ২

নিচে প্রদত্ত সেটটির জন্য এমন দুটি ভিন্ন বর্ণনা বা উপস্থাপনা তৈরি করুন যা এখানে উল্লিখিত বর্ণনার থেকে আলাদা।

$\{{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$

উত্তর

এই সমস্যাটি সমাধানের একটি সহজ উপায় হলো মূল ভেক্টরটিকে যথাক্রমে দ্বিগুণ এবং তিনগুণ করা, যার মাধ্যমে আমরা সেটের নতুন বর্ণনা পেতে পারি:

$\{{\begin{pmatrix}4\\-10\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}\quad {\text{এবং}}\quad \{{\begin{pmatrix}6\\-15\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}.$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৩

প্রমাণ করুন যে এই উপ-অনুচ্ছেদের শুরুতে প্রদত্ত তিনটি বর্ণনাই আসলে একটিমাত্র সেটকে নির্দেশ করছে।

উত্তর

তিনটি বর্ণনার সমতা আলাদাভাবে দেখানোর পরিবর্তে, আমরা এটি দেখাতে পারি যে প্রথম বর্ণনাটি দ্বিতীয়টির সমান এবং দ্বিতীয় বর্ণনাটি তৃতীয়টির সমান। এই উপ-অনুচ্ছেদে আলোচিত গাণিতিক পদ্ধতিগুলো ব্যবহার করে উভয় সমতা প্রমাণ করা অত্যন্ত সহজসাধ্য।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৪

প্রমাণ করুন যে নিচে উল্লিখিত সেট দুটি পরস্পর সমান:

$\{{\begin{pmatrix}1\\4\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}\quad {\text{এবং}}\quad \{{\begin{pmatrix}0\\4\\2\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \},$

এবং আরও দেখান যে, এই উভয় সেটই নিচের সমীকরণ ব্যবস্থার সমাধান সেটকে বর্ণনা করে।

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\x&&&+&z&+&2w&=&4\end{array}}$

উত্তর

প্রদত্ত সমীকরণ ব্যবস্থাটিকে গাউসীয় অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান করলে তা নিম্নোক্তভাবে সংকুচিত বা রিডিউস (reduce) হয়:

${\begin{array}{rcl}&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\&&y&&&+&w&=&5\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\&&&&&&2w&=&2\end{array}}\end{array}}$

উপরিউক্ত গাণিতিক ধাপগুলো থেকে এটি স্পষ্টভাবে প্রদর্শিত হচ্ছে যে, চলকগুলোর মান যথাক্রমে $w=1$, $y=4$ এবং $x=2-z$ হিসেবে নির্ধারিত হয়েছে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৫

নিচে প্রদত্ত সেটগুলো পরস্পর সমান কি না, তা গাণিতিক যুক্তির মাধ্যমে নির্ধারণ করুন।

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{{\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{{\begin{pmatrix}4\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-4\\-2\\-10\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
3. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}s+{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,s,t\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
5. $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$

সমাধান

এখানে প্রতিটি উপ-সমস্যার ক্ষেত্রে, আমরা প্রথম সেটটিকে $S_{1}$ এবং দ্বিতীয় সেটটিকে $S_{2}$ হিসেবে অভিহিত করব।

1. এই সেট দুটি প্রকৃতপক্ষে পরস্পর সমান। $S_{1}\subseteq S_{2}$ অর্থাৎ প্রথম সেটটি দ্বিতীয় সেটের উপসেট কি না তা যাচাই করার জন্য আমাদের এটি প্রমাণ করতে হবে যে, প্রথম সেটের অন্তর্ভুক্ত যেকোনো উপাদান অবশ্যই দ্বিতীয় সেটের মধ্যেও বিদ্যমান থাকবে। গাণিতিক পরিভাষায় বলতে গেলে, প্রথম সেটের নিম্নোক্ত আকারের যেকোনো ভেক্টরের জন্য:

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}t$

   আমাদের এমন একটি উপযুক্ত $s$-এর মান খুঁজে বের করতে হবে যাতে করে ভেক্টরটি নিম্নোক্ত রূপ ধারণ করে:

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}s.$

   অন্যভাবে ব্যক্ত করলে, $t$-এর একটি নির্দিষ্ট মান দেওয়া থাকলে আমাদের এমন একটি $s$ খুঁজে বের করতে হবে যাতে এই সমতা বজায় থাকে।

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}1&+&0s&=&1+0t\\8&-&1s&=&2+3t\end{array}}$

   এই সমীকরণ জোটটিকে সরলীকরণ বা রিডিউস করলে আমরা পাই:

   ${\begin{array}{*{1}{rc}r}1&=&1\\s&=&6-3t\end{array}}$

   অর্থাৎ, গাণিতিক সমতা অনুযায়ী আমরা লিখতে পারি:

   ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}t={\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}(6-3t)$

   ফলশ্রুতিতে এটি প্রতীয়মান হয় যে, $S_{1}$ সেটের অন্তর্ভুক্ত যেকোনো ভেক্টরকে এমন একটি গাণিতিক আকারে প্রকাশ করা সম্ভব যা $S_{2}$ সেটের সদস্য হওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় শর্তাবলি পূরণ করে। আবার, $S_{2}\subseteq S_{1}$ এই উপসেট সম্পর্কটি প্রমাণ করার লক্ষ্যে আমাদের এমন একটি চলক $t$-এর মান অনুসন্ধান করতে হবে, যার মাধ্যমে নিচের সমীকরণ জোটটি সিদ্ধ হয়।

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}1&+&0t&=&1+0s\\2&+&3t&=&8-1s\end{array}}$

   উপরিউক্ত সমীকরণগুলোকে গাণিতিক রূপান্তরের মাধ্যমে নিম্নোক্তভাবে পুনরায় লেখা যেতে পারে:

   ${\begin{array}{*{1}{rc}r}1&=&1\\t&=&2-(1/3)s\end{array}}$

   এবং এরই ধারাবাহিকতায় আমরা পাই যে,

   ${\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}s={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}(2-(1/3)s).$

2. গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এটি নিশ্চিত হওয়া যায় যে, এই দুটি রাশি প্রকৃতপক্ষে পরস্পর সমান। $S_{1}\subseteq S_{2}$ এই সম্পর্কটি প্রদর্শনের জন্য আমাদের এটি যাচাই করতে হবে যে, যেকোনো $t,s$ মানের বিপরীতে আমরা এমন উপযুক্ত $m,n$ খুঁজে পেতে পারি কি না, যাতে করে নিচের সমীকরণগুলো সঠিকভাবে কাজ করে।

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&4n&=&1t+2s\\7m&-&2n&=&3t+1s\\7m&-&10n&=&1t+5s\end{array}}$

   এই সমীকরণ জোটটি সমাধান করার জন্য আমরা গাউসের অপনয়ন পদ্ধতি প্রয়োগ করতে পারি:

   ${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}4&-4&1t+2s\\7&-2&3t+1s\\7&-10&1t+5s\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{(-7/4)\rho _{1}+\rho _{3}}]{(-7/4)\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}4&-4&1t+2s\\0&5&(5/4)t-(10/4)s\\0&-3&-(3/4)t+(6/4)s\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{(3/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}4&-4&1t+2s\\0&5&(5/4)t-(10/4)s\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}$

   এই পদ্ধতি প্রয়োগের মাধ্যমে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে,

   ${\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}s={\begin{pmatrix}4\\7\\7\end{pmatrix}}((1/2)t)+{\begin{pmatrix}-4\\-2\\-10\end{pmatrix}}((1/4)t-(1/2)s)$

   এবং এর মাধ্যমেই প্রমাণিত হয় যে $S_{1}$ সেটটি $S_{2}$ সেটের একটি উপসেট বা $S_{1}\subseteq S_{2}$। বিপরীতভাবে, $S_{2}\subseteq S_{1}$ সম্পর্কটি যাচাই করার জন্য আমাদের নিম্নোক্ত সমীকরণ জোটটি সমাধান করতে হবে:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}1t&+&2s&=&4m-4n\\3t&+&1s&=&7m-2n\\1t&+&5s&=&7m-10n\end{array}}$

   গাউসীয় সংক্ষেপণ বা রিডাকশন (Gaussian reduction) পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা পাই:

   ${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&4m-4n\\3&1&7m-2n\\1&5&7m-10n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&4m-4n\\0&-5&-5m+10n\\0&3&3m-6n\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{(3/5)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&4m-4n\\0&-5&-5m+10n\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}$

   যার ফলাফল হিসেবে আমরা নিম্নোক্ত সমীকরণটি লাভ করি:

   ${\begin{pmatrix}4\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-4\\-2\\-10\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}(2m)+{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}(m-2n)$

   এর ফলে এটি স্পষ্ট হয় যে, $S_{2}$ সেটের যেকোনো সদস্যকে $S_{1}$ সেটের জন্য প্রয়োজনীয় গাণিতিক কাঠামোতে উপস্থাপন করা সম্ভব।
3. সুতরাং, এই সেট দুটি যে অভিন্ন বা সমান, তা গাণিতিকভাবে প্রমাণিত হলো। $S_{1}\subseteq S_{2}$ এই গাণিতিক সত্যটি প্রমাণ করার জন্য আমাদের অবশ্যই নিম্নোক্ত সমীকরণ জোটটি সমাধান করতে সক্ষম হতে হবে:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}2m&+&4n&=&1t\\4m&+&8n&=&2t\end{array}}$

   এখানে আমাদের মূল লক্ষ্য হলো $t$-এর সাপেক্ষে $m$ এবং $n$ চলকদ্বয়ের মান নির্ণয় করা। এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমরা গাউসীয় অপনয়ন পদ্ধতি (Gaussian reduction) প্রয়োগ করব:

   $\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&4&1t\\4&8&2t\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}2&4&1t\\0&0&0\end{array}}\right)$

   উপরিউক্ত ম্যাট্রিক্স বিশ্লেষণ থেকে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, $2m+4n=t$ সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে এমন যেকোনো $m,n$ জোড়ই এখানে গ্রহণযোগ্য হবে। উদাহরণস্বরূপ বলা যেতে পারে যে,

   ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}t={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}((1/2)t)+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}(0)$

   অথবা,

   ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}t={\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}((-3/2)t)+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}(t).$

   ফলশ্রুতিতে এটি প্রমাণিত হয় যে, $S_{1}\subseteq S_{2}$। এখন বিপরীতভাবে $S_{2}\subseteq S_{1}$ কি না তা যাচাই করার জন্য আমাদের নিচের সমীকরণটি সমাধান করতে হবে:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}1t&=&2m+4n\\2t&=&4m+8n\end{array}}$

   গাউসের পদ্ধতি ব্যবহার করে আমরা পাই:

   ${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{1}{c}|c}1&2m+4n\\2&4m+8n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{1}{c}|c}1&2m+4n\\0&0\end{array}}\right)\end{array}}$

   এই প্রক্রিয়ার মাধ্যমে আমরা এই যৌক্তিক সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে, $S_{2}$ সেটের অন্তর্ভুক্ত যেকোনো ভেক্টর অবশ্যই $S_{1}$ সেটেরও সদস্য হবে।

   ${\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}(2m+4n)\in S_{1}.$

4. এক্ষেত্রে দেখা যাচ্ছে যে, কোনো সেটই অন্যটির উপসেট বা সাবসেট নয়। যদি $S_{1}\subseteq S_{2}$ শর্তটি সত্য হতে হয়, তবে আমাদের অবশ্যই নিচের সমীকরণ ব্যবস্থাটি সমাধান করতে সক্ষম হতে হবে:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}-1m&+&0n&=&1s-1t\\1m&+&1n&=&0s+1t\\1m&+&3n&=&2s+0t\end{array}}$

   এখানে আমাদের $t$ এবং $s$-এর সাপেক্ষে $m$ এবং $n$-এর মান বের করতে হবে। গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করে দেখা যায়:

   ${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&0&1s-1t\\1&1&0s+1t\\1&3&2s+0t\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{\rho _{1}+\rho _{3}}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&0&1s-1t\\0&1&1s+0t\\0&3&3s-1t\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}-1&0&1s-1t\\0&1&1s+0t\\0&3&0s-1t\end{array}}\right)\end{array}}$

   এই হিসাবটি প্রদর্শন করে যে, আমরা কেবল তখনই একটি উপযুক্ত $m,n$ জোড় খুঁজে পেতে পারি যখন $t=0$ হয়। অর্থাৎ,

   ${\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}$

   ভেক্টরটির নিচের আকারের কোনো গাণিতিক প্রকাশ বা এক্সপ্রেশন নেই:

   ${\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}n.$

   যেহেতু আমরা ইতিমধ্যে দেখিয়েছি যে $S_{1}$ সেটটি $S_{2}$-এর উপসেট নয়, তাই এটি স্পষ্ট যে $S_{1}\neq S_{2}$। তাত্ত্বিকভাবে বলতে গেলে, আমাদের আর অগ্রসর হওয়ার প্রয়োজন নেই। তবে পূর্ণাঙ্গ আলোচনার স্বার্থে আমরা এটিও প্রমাণ করে দেখাব যে, $S_{2}$ সেটটিও $S_{1}$-এর উপসেট নয়। $S_{2}\subseteq S_{1}$ শর্তটি বজায় থাকার জন্য আমাদের অবশ্যই নিচের সমীকরণটি সমাধান করতে পারতে হবে:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}1s&-&1t&=&-1m+0n\\0s&+&1t&=&1m+1n\\2s&+&0t&=&1m+3n\end{array}}$

   এখানে আমাদের $s$ এবং $t$ চলক দুটির মান নির্ণয় করতে হবে। এখন আমরা সারি হ্রাসকরণ বা রো রিডাকশন (row reduction) পদ্ধতি প্রয়োগ করব:

   ${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-1&-1m+0n\\0&1&1m+1n\\2&0&1m+3n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-1&-1m+0n\\0&1&1m+1n\\0&2&3m+3n\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&-1&-1m+0n\\0&1&1m+1n\\0&0&1m+1n\end{array}}\right)\end{array}}$

   উপরিউক্ত গাণিতিক ম্যাট্রিক্স বিশ্লেষণের মাধ্যমে আমরা এই যৌক্তিক সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, $S_{2}$ সেটের অন্তর্ভুক্ত ভেক্টরগুলোর মধ্যে কেবলমাত্র সেই ভেক্টরগুলোই $S_{1}$ সেটেরও সদস্য হবে, যাদের সাধারণ গাণিতিক রূপটি নিম্নরূপ হবে:

   ${\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}(-m).$

   দৃষ্টান্তস্বরূপ বলা যেতে পারে যে, নিম্নোক্ত ভেক্টরটি:

   ${\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}$

   স্পষ্টতই $S_{2}$ সেটের একটি উপাদান হিসেবে গণ্য হলেও এটি কোনোভাবেই $S_{1}$ সেটের অন্তর্ভুক্ত নয়।
5. এই সেট দুটি প্রকৃতপক্ষে পরস্পর সমান। এই সমতা প্রমাণের প্রাথমিক ধাপ হিসেবে আমরা প্রথমেই সংশ্লিষ্ট প্যারামিটার বা চলকগুলোর পরিবর্তন সাধন করব:

   $S_{2}=\{{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}.$

   এখন, $S_{1}\subseteq S_{2}$ এই গাণিতিক সম্পর্কটি সুনিশ্চিতভাবে প্রমাণের লক্ষ্যে আমাদের নিম্নোক্ত সমীকরণ ব্যবস্থাটি সমাধান করতে হবে:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}3m&+&1n&=&1t+2s\\7m&+&3n&=&3t+4s\\7m&+&1n&=&1t+6s\end{array}}$

   গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করে আমরা পাই:

   ${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&1&1t+2s\\7&3&3t+4s\\7&1&1t+6s\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{(-7/3)\rho _{1}+\rho _{3}}]{(-7/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&1&1t+2s\\0&2/3&(2/3)t-(2/3)s\\0&-4/3&(-4/3)t+(4/3)s\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}3&1&1t+2s\\0&2/3&(2/3)t-(2/3)s\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}$

   এই সমাধান থেকে এটি প্রতীয়মান হয় যে:

   ${\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}s={\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}(s)+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}(t-s)$

   এবং এর ফলশ্রুতিতে আমরা বলতে পারি যে, $S_{1}\subseteq S_{2}$। পরবর্তীতে, $S_{2}\subseteq S_{1}$ এই বিপরীত সম্পর্কটি প্রমাণের জন্য আমাদের নিম্নোক্ত সমীকরণটি সমাধান করতে হবে:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}1t&+&2s&=&3m+1n\\3t&+&4s&=&7m+3n\\1t&+&6s&=&7m+1n\end{array}}$

   গাউসীয় রিডাকশন (Gaussian reduction) পদ্ধতি ব্যবহারের মাধ্যমে আমরা পাই:

   ${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&3m+1n\\3&4&7m+3n\\1&6&7m+1n\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&3m+1n\\0&-2&-2m\\0&4&4m\end{array}}\right)\\&{\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{*{2}{c}|c}1&2&3m+1n\\0&-2&-2m\\0&0&0\end{array}}\right)\end{array}}$

   এই গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে আমরা এই উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে:

   ${\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}(m+n)+{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}(m)$

   বস্তুত, এর মাধ্যমে এটি প্রমাণিত হয় যে $S_{2}$ সেটের যেকোনো ভেক্টর অনিবার্যভাবে $S_{1}$ সেটেরও অন্তর্ভুক্ত হবে।