রৈখিক বীজগণিত/সেট বর্ণনার তুলনা

এই উপবিভাগটি সম্পূর্ণ ঐচ্ছিক হিসেবে ধরা যেতে পারে। পরবর্তী পাঠ্যক্রমের বিষয়গুলো বোঝার জন্য এখানে আলোচনা করা গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলো সরাসরি জানার কোনো প্রয়োজন নেই।

সেট বর্ণনার তুলনা

গণিতশাস্ত্রে একটি নির্দিষ্ট সেটকে বহুবিধ উপায়ে বর্ণনা বা সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। নিচে একটি মাত্র সেটের দুটি ভিন্নধর্মী গাণিতিক বর্ণনা উপস্থাপন করা হলো:

$\{{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}\quad {\text{এবং}}\quad \{{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}.$

উদাহরণস্বরূপ বলা যেতে পারে যে, আলোচ্য এই সেটটির অভ্যন্তরে নিচের ভেক্টরটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে:

${\begin{pmatrix}5\\10\\15\end{pmatrix}}$

(এক্ষেত্রে যদি আমরা $z=5$ এবং $w=5/2$ হিসেবে গ্রহণ করি তবে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়) তবে এটি নিচের ভেক্টরটিকে কোনোভাবেই ধারণ করে না:

${\begin{pmatrix}4\\8\\11\end{pmatrix}}$

(এখানে প্রথম উপাদানটি বিশ্লেষণ করলে আমরা $z=4$ পাই, কিন্তু এই মানটি তৃতীয় উপাদানের সাথে সরাসরি সাংঘর্ষিক বা অমিল তৈরি করে; একইভাবে প্রথম উপাদান থেকে $w=2$ পাওয়া গেলেও তৃতীয় উপাদানটি সম্পূর্ণ ভিন্ন একটি ফলাফল প্রদান করে)। পাঠকদের সুবিধার্থে একই সেটের একটি তৃতীয় বিকল্প বর্ণনা এখানে প্রদান করা হলো:

$\{{\begin{pmatrix}3\\6\\9\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\-2\\-3\end{pmatrix}}y\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}.$

আমাদের এখন এটি সুনির্দিষ্টভাবে নির্ধারণ করা প্রয়োজন যে, ঠিক কোন পরিস্থিতিতে দুটি ভিন্ন গাণিতিক বর্ণনা প্রকৃতপক্ষে একই সেটকে নির্দেশ করে। বিষয়টিকে যদি আরও ব্যবহারিক বা প্রায়োগিক দৃষ্টিকোণ থেকে ব্যাখ্যা করা হয়, তবে প্রশ্ন জাগে—একজন শিক্ষার্থী কীভাবে নিশ্চিতভাবে বুঝতে পারবেন যে তার সমাধানকৃত বাড়ির কাজের (homework) উত্তরটি পাঠ্যবইয়ের উত্তরপত্রে প্রদত্ত সেটের বর্ণনার সাথে হুবহু মিলে যাচ্ছে কি না?

সেটের সমতা

দুটি সেটকে তখনই এবং কেবল তখনই সমান বলা যাবে, যদি তাদের অন্তর্গত প্রতিটি সদস্য বা উপাদান একে অপরের সাথে হুবহু মিলে যায় অর্থাৎ তারা অভিন্ন হয়। দুটি নির্দিষ্ট সেট, যেমন $S_{1}$ এবং $S_{2}$, যে একে অপরের সমান তা প্রমাণ করার একটি অত্যন্ত সাধারণ ও কার্যকর পদ্ধতি হলো তাদের 'পারস্পরিক অন্তর্ভুক্তি' (mutual inclusion) প্রদর্শন করা: অর্থাৎ, $S_{1}$-এর যেকোনো সদস্য অবশ্যই $S_{2}$-এর অন্তর্ভুক্ত হতে হবে এবং একইভাবে $S_{2}$-এর প্রতিটি সদস্যকেও $S_{1}$-এর অন্তর্ভুক্ত হতে হবে।

উদাহরণ ৪.১

এটি প্রমাণ করার উদ্দেশ্যে যে,

$S_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}c+{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}d\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}$

নিচের সেটের সমান

$S_{2}=\{{\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$

আমাদের প্রমাণের প্রথম ধাপে এটি দেখাতে হবে যে $S_{1}\subseteq S_{2}$ এবং পরবর্তী ধাপে প্রমাণ করতে হবে যে $S_{2}\subseteq S_{1}$।

প্রমাণের প্রথম অর্ধাংশের জন্য আমাদের এটি নিবিড়ভাবে যাচাই করতে হবে যে, $S_{1}$ সেট থেকে সংগৃহীত যেকোনো ভেক্টর অবশ্যই $S_{2}$ সেটের মধ্যেও অবস্থান করছে। মূল গাণিতিক যুক্তিতে প্রবেশের আগে আমরা মডেল হিসেবে দুটি প্রাথমিক উদাহরণ বিবেচনা করতে পারি যা আমাদের সাধারণ যুক্তি গঠনে সহায়তা করবে। যদি আমরা $c=1$ এবং $d=1$ মানগুলো গ্রহণ করে $S_{1}$ সেটের একটি সদস্য তৈরি করি, তবে সেটি $S_{2}$-এ বিদ্যমান থাকার জন্য আমাদের এমন $m$ এবং $n$ এর মান খুঁজে পেতে হবে যাতে নিচের সমীকরণটি সিদ্ধ হয়:

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}}$

সহজ কথায়, $m$ এবং $n$ চলক দুটির মধ্যে নিচের গাণিতিক সম্পর্কটি বিদ্যমান থাকে:

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&2\\1m&-&3n&=&0\\&&0&=&0\end{array}}$

একইভাবে, আমরা যদি $c=2$ এবং $d=-1$ মানগুলো বিবেচনা করি, তবে $S_{1}$ সেটের অন্তর্ভুক্ত ফলাফলস্বরূপ প্রাপ্ত সদস্যটি যে $S_{2}$ সেটেরও একটি অংশ হবে, তা প্রমাণ করার জন্য আমাদের এমন $m$ এবং $n$ এর মান খুঁজে বের করতে হবে যাতে নিচের সমীকরণটি সিদ্ধ হয়:

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}3\\-3\\0\end{pmatrix}}$

অর্থাৎ, গাণিতিক ভাষায় এই সম্পর্কটি বজায় থাকে:

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&3\\1m&-&3n&=&-3\\&&0&=&0\end{array}}$

সাধারণ প্রেক্ষাপটে বিবেচনা করলে, $S_{1}$ সেটের যেকোনো ভেক্টর যে $S_{2}$ সেটেরও একজন সদস্য, তা প্রদর্শন করার জন্য আমাদের এটি প্রমাণ করতে হবে যে, $c$ এবং $d$ এর যেকোনো মানের জন্যই উপযুক্ত $m$ এবং $n$ এর মান বিদ্যমান রয়েছে। আমরা পূর্ববর্তী উদাহরণগুলোর ধারা অনুসরণ করে অগ্রসর হব; ধরা যাক, $S_{1}$ এর একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর হলো:

${\begin{pmatrix}c+d\\-c+d\\0\end{pmatrix}}\in S_{1}$

এবং এখন আমাদের এমন $m$ ও $n$ এর মান অনুসন্ধান করতে হবে যাতে নিচের সমীকরণটি সত্য প্রমাণিত হয়:

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n={\begin{pmatrix}c+d\\-c+d\\0\end{pmatrix}}$

সহজ কথায়, নিচের এই গাণিতিক সম্পর্কটি সঠিক হতে হবে:

${\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&c+d\\m&-&3n&=&-c+d\\&&0&=&0\end{array}}$

এখানে গাউসের পদ্ধতি (Gauss' method) প্রয়োগ করার মাধ্যমে আমরা পাই:

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&c+d\\m&-&3n&=&-c+d\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-(1/4)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}4m&-&n&=&c+d\\&&-(11/4)n&=&-(5/4)c+(3/4)d\end{array}}\end{array}}$

এই সমাধান প্রক্রিয়া থেকে $n=(5/11)c-(3/11)d$ এবং $m=(4/11)c+(2/11)d$ মানগুলো পাওয়া যায়। এই ফলাফলটি স্পষ্টভাবে নির্দেশ করে যে, $c$ এবং $d$ এর যেকোনো পছন্দের মানের জন্যই যথাযথ $m$ এবং $n$ এর মান খুঁজে পাওয়া সম্ভব। সুতরাং আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, $S_{1}$ সেটের যেকোনো সদস্যই প্রকৃতপক্ষে $S_{2}$ সেটেরও অন্তর্ভুক্ত, কারণ সেটিকে নিচের গাণিতিক উপায়ে পুনরায় বিন্যস্ত করে লেখা সম্ভব:

${\begin{pmatrix}c+d\\-c+d\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}((4/11)c+(2/11)d)+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}((5/11)c-(3/11)d).$

বিপরীতমুখী অন্তর্ভুক্তির ক্ষেত্রে, অর্থাৎ $S_{2}\subseteq S_{1}$ প্রমাণ করার জন্য আমাদের ঠিক এর উল্টো প্রক্রিয়াটি অনুসরণ করতে হবে। এক্ষেত্রে আমাদের লক্ষ্য হলো এটি দেখানো যে, $m$ এবং $n$ এর যেকোনো মানের সাপেক্ষে উপযুক্ত $c$ এবং $d$ এর মান বিদ্যমান থাকে। তাই $m$ এবং $n$ কে নির্দিষ্ট ধরে নিয়ে আমরা $c$ এবং $d$ এর মান নির্ণয়ের জন্য সমাধান করি:

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}c&+&d&=&4m-n\\-c&+&d&=&m-3n\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}c&+&d&=&4m-n\\&&2d&=&5m-4n\end{array}}\end{array}}$

এই সমীকরণটি প্রদর্শন করে যে, $d=(5/2)m-2n$ এবং $c=(3/2)m+n$। ফলশ্রুতিতে, $S_{2}$ সেট থেকে নেওয়া যেকোনো ভেক্টর:

${\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-1\\-3\\0\end{pmatrix}}n$

সেটি $S_{1}$ সেটের জন্য নির্ধারিত গাণিতিক কাঠামোর সাথেও সামঞ্জস্যপূর্ণ হয়:

${\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}}((3/2)m+n)+{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}((5/2)m-2n).$

উদাহরণ ৪.২

গাণিতিক আলোচনার ক্ষেত্রে এটি অত্যন্ত স্বাভাবিক যে, সব সময় দুটি সেট পরস্পর সমান হবে না। পূর্ববর্তী উদাহরণে আমরা যে পদ্ধতিটি অনুসরণ করেছি, সেটি আমাদের বর্তমান এই দুটি সেটের মধ্যকার পারস্পরিক সম্পর্ক গভীরভাবে অনুধাবন করতে বিশেষভাবে সহায়তা করবে। নিচে বর্ণিত সেট দুটি লক্ষ্য করা যাক:

$P=\{{\begin{pmatrix}x+y\\2x\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x,y\in \mathbb {R} \}\quad {\text{and}}\quad R=\{{\begin{pmatrix}m+p\\n\\p\end{pmatrix}}\,{\big |}\,m,n,p\in \mathbb {R} \}$

প্রকৃতপক্ষে, এই সেট দুটি পরস্পর সমান নয়। যদিও গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা যায় যে $P$ হলো $R$-এর একটি উপসেট (subset), তবে এটি মূলত $R$-এর একটি প্রকৃত উপসেট (proper subset)। এর কারণ হলো, $R$ সেটটি $P$-এর উপসেট হিসেবে গণ্য হওয়ার শর্ত পূরণ করে না।

এই বিষয়টি স্পষ্টভাবে বোঝার জন্য প্রথমে লক্ষ্য করুন যে, $P$ সেট থেকে নেওয়া যেকোনো একটি ভেক্টরকে আমরা $R$ সেটের সাধারণ আকারে প্রকাশ করতে পারি কি না। যদি আমরা $x$ এবং $y$-এর মান নির্দিষ্ট করে দিই, তবে আমরা উপযুক্ত $m$, $n$, এবং $p$-এর মান নির্ণয় করার জন্য সমীকরণ সমাধান করতে সক্ষম হব:

${\begin{array}{*{3}{rc}r}m&&&+&p&=&x+y\\&&n&&&=&2x\\&&&&p&=&y\end{array}}$

উপরিউক্ত সমীকরণ ব্যবস্থাটি এটিই প্রদর্শন করে যে, যেকোনো ভেক্টর

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}y$

যাকে $m=x$, $n=2x$, এবং $p=y$ ধরে $R$ সেটের একটি সদস্য হিসেবে অনায়াসেই প্রকাশ করা সম্ভব:

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}2x+{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}y.$

ফলশ্রুতিতে, আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, $P\subseteq R$। অর্থাৎ, $P$ সেটটি $R$ সেটের একটি উপসেট হিসেবে প্রমাণিত হয়।

তবে বিপরীত দিক থেকে বিবেচনা করলে বিষয়টি ভিন্ন রূপ ধারণ করে। যখন আমরা $m$, $n$, এবং $p$-এর মান নির্দিষ্ট করে দিয়ে $x$ এবং $y$-এর মান খোঁজার চেষ্টা করি, তখন রো-রিডাকশন (row reduction) বা সারি-হ্রাসকরণ পদ্ধতির মাধ্যমে প্রাপ্ত ফলাফল নিম্নরূপ হয়:

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\2x&&&=&n\\&&y&=&p\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\&&-2y&=&-2m+n-2p\\&&y&=&p\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&m+p\\&&-2y&=&-2m+n-2p\\&&0&=&m+(1/2)n\end{array}}\end{array}}$

এই গাণিতিক বিশ্লেষণটি স্পষ্টভাবে দেখিয়ে দেয় যে, $R$ সেটের অন্তর্ভুক্ত সকল ভেক্টর

${\begin{pmatrix}m+p\\n\\p\end{pmatrix}}\in R$

যাদেরকে

${\begin{pmatrix}x+y\\2x\\y\end{pmatrix}}$

আকারে প্রকাশ করা সম্ভব, তাদের ক্ষেত্রে অবশ্যই $0=m+(1/2)n$ এই শর্তটি পূরণ হতে হবে। উদাহরণস্বরূপ বলা যায় যে,

${\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

ভেক্টরটি $R$ সেটের অন্তর্ভুক্ত হলেও এটি কোনোভাবেই $P$ সেটের সদস্য হতে পারে না, কারণ এটি উল্লিখিত শর্তটি সিদ্ধ করে না।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

নিচে প্রদত্ত প্রতিটি ক্ষেত্রে, নির্দিষ্ট ভেক্টরটি সংশ্লিষ্ট সেটের অন্তর্ভুক্ত বা সদস্য কি না তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে নির্ধারণ করুন।

1. ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
2. ${\begin{pmatrix}-3\\3\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
3. ${\begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
4. ${\begin{pmatrix}-3\\3\\4\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\\2\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$
5. ${\begin{pmatrix}1\\4\\14\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$
6. ${\begin{pmatrix}1\\4\\6\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}2\\2\\5\end{pmatrix}}k+{\begin{pmatrix}-1\\0\\2\end{pmatrix}}m\,{\big |}\,k,m\in \mathbb {R} \}$

সমস্যা ২

নিচে যে সেটটি উল্লেখ করা হয়েছে, সেটির এমন দুটি ভিন্নধর্মী গাণিতিক বর্ণনা বা উপস্থাপনা তৈরি করুন যা বর্তমানে বিদ্যমান বর্ণনাটি থেকে সম্পূর্ণ স্বতন্ত্র।

$\{{\begin{pmatrix}2\\-5\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৩

এই উপ-পরিচ্ছেদের প্রারম্ভে যে তিনটি ভিন্ন বর্ণনা বা সংজ্ঞা প্রদান করা হয়েছে, গাণিতিক যুক্তির মাধ্যমে প্রমাণ করে দেখান যে তারা প্রত্যেকেই আসলে একই সেটকে নির্দেশ করছে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৪

গাণিতিকভাবে প্রদর্শন করুন যে নিচে উল্লিখিত সেট দুটি পরস্পর সমান:

$\{{\begin{pmatrix}1\\4\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}\quad {\text{এবং}}\quad \{{\begin{pmatrix}0\\4\\2\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \},$

এবং আরও প্রমাণ করুন যে, এই উভয় সেটই আসলে সংশ্লিষ্ট সমীকরণ জোট বা সিস্টেমের সমাধান সেটকে (solution set) সঠিকভাবে বর্ণনা করছে।

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&+&w&=&-1\\&&y&&&-&w&=&3\\x&&&+&z&+&2w&=&4\end{array}}$

}}

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৫

নিচে বর্ণিত ভেক্টর সেটগুলো (vector sets) কি প্রকৃতপক্ষে একে অপরের সমান? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে আপনার সিদ্ধান্ত গ্রহণ করুন এবং প্রতিটি ক্ষেত্রে আপনার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি প্রদান করুন।

1. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\3\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{{\begin{pmatrix}1\\8\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
2. $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{{\begin{pmatrix}4\\7\\7\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}-4\\-2\\-10\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
3. $\{{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{{\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}4\\8\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
4. $\{{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}s+{\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}t\,{\big |}\,s,t\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{{\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$
5. $\{{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}2\\4\\6\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{{\begin{pmatrix}3\\7\\7\end{pmatrix}}t+{\begin{pmatrix}1\\3\\1\end{pmatrix}}s\,{\big |}\,t,s\in \mathbb {R} \}$

Solutions