রৈখিক বীজগণিত/সেট, ফাংশন, সম্পর্ক

সেট

গণিতবিদেরা সেট নামক সংগ্রহ নিয়ে কাজ করেন। একটি সেটকে তালিকা আকারে দ্বিতীয় বন্ধনীর মধ্যে দেওয়া যায় যেমন $\{1,4,9,16\}$, অথবা, যদি তা অসুবিধাজনক হয়, তবে সেট-নির্মাতা প্রতীক ব্যবহার করে যেমন $\{x\,{\big |}\,x^{5}-3x^{3}+2=0\}$ (পড়ুন "সকল $x$ এর সেট যেন \এলডটস")। আমরা সেটের নাম বড় রোমান অক্ষরে দিই, যেমন মৌলিক সংখ্যার সেট $P=\{2,3,5,7,11,\ldots \,\}$, কিন্তু কিছু বিশেষ সেট যেমন বাস্তব সংখ্যা $\mathbb {R}$, এবং জটিল সংখ্যা $\mathbb {C}$ এর ক্ষেত্রে তা নয়। কোনো বস্তু যে একটি সেটের উপাদান (বা সদস্য) তা বোঝাতে আমরা "${}\in {}$" চিহ্ন ব্যবহার করি, সুতরাং $7\in \{3,5,7\}$ যেখানে $8\not \in \{3,5,7\}$।

একটি সেটকে অন্য যেকোনো ধরনের সংগ্রহ থেকে যে বিষয়টি আলাদা করে তা হল বিস্তারনীতির নীতি, যেটি বলে যে একই উপাদানযুক্ত দুটি সেট সমান। এই নীতির কারণে, সেটে পুনরাবৃত্তি সংকুচিত হয়ে যায় $\{7,7\}=\{7\}$ এবং ক্রম গুরুত্বপূর্ণ নয় $\{2,\pi \}=\{\pi ,2\}$।

আমরা উপসেট সম্পর্কের জন্য "$\subset$" ব্যবহার করি: $\{2,\pi \}\subset \{2,\pi ,7\}$ এবং উপসেট বা সমতা বোঝাতে "$\subseteq$" (যদি $A$, $B$-এর উপসেট হয় কিন্তু $A\neq B$ তাহলে $A$ হলো $B$ এর প্রকৃত উপসেট)। এই চিহ্নগুলি উল্টানো যেতে পারে, উদাহরণস্বরূপ $\{2,\pi ,5\}\supset \{2,5\}$।

বিস্তারনীতির কারণে, দুটি সেট সমান $A=B$ প্রমাণ করতে, শুধু দেখাতে হবে যে তাদের সদস্য একই। সাধারণত আমরা পারস্পরিক অন্তর্ভুক্তি দেখাই, অর্থাৎ $A\subseteq B$ এবং $A\supseteq B$ উভয়ই।

সেট অপারেশন

ভেনচিত্র এখানে সহায়ক। উদাহরণস্বরূপ, $x\in P$ কে চিত্রিত করা যায়

এবং "$P\subseteq Q$" দেখতে এরকম।

লক্ষ্য করুন যে এটি "যদি\এলডটস তাহলে ..." প্রস্তাবনার চিত্রের পুনরাবৃত্তি। এর কারণ "$P\subseteq Q$" অর্থ "যদি $x\in P$ তাহলে $x\in Q$"।

সাধারণভাবে, প্রতিটি প্রস্তাবনামূলক যুক্তি অপারেটরের জন্য একটি সংশ্লিষ্ট সেট অপারেটর আছে।উদাহরণস্বরূপ, $P$ এর পূরক হলো $P^{\text{comp}}=\{x\,{\big |}\,{\text{not }}(x\in P)\}$

সংযোগ হলো $P\cup Q=\{x\,{\big |}\,(x\in P){\text{ বা }}(x\in Q)\}$

এবং ছেদ হলো $P\cap Q=\{x\,{\big |}\,(x\in P){\text{ এবং }}(x\in Q)\}.$

যখন দুটি সেটের কোনো সাধারণ সদস্য থাকে না তখন তাদের ছেদ হলো ফাঁকা সেট $\{\}$, যাকে $\varnothing$ প্রতীকে প্রকাশ করা হয়। যেকোনো সেটের একটি উপসেট হলো ফাঁকা সেট, যা ইমপ্লিকেশন সংজ্ঞার "শূন্যগর্ভ সত্য" বৈশিষ্ট্যের মাধ্যমে প্রমাণিত।

অনুক্রম

আমরা এমন সংগ্রহও ব্যবহার করব যেখানে ক্রম গুরুত্বপূর্ণ এবং যেখানে পুনরাবৃত্তি সংকুচিত হয় না। এগুলি হলো অনুক্রম, কোণ বন্ধনী দিয়ে নির্দেশিত: $\langle 2,3,7\rangle \neq \langle 2,7,3\rangle$। দৈর্ঘ্য $2$-এর একটি অনুক্রমকে কখনও কখনও ক্রমজোড় বলা হয় এবং বন্ধনী দিয়ে লেখা হয়: $(\pi ,3)$। আমরা কখনও কখনও "ক্রমতিন", "ক্রম $4$-টুপল" ইত্যাদিও বলি। একটি সেট $A$-এর উপাদানগুলির ক্রম $n$-টুপলের সেটকে নির্দেশ করা হয় $A^{n}$ দিয়ে। সুতরাং বাস্তব সংখ্যার জোড়গুলির সেট হলো $\mathbb {R} ^{2}$।

ফাংশন

আমরা প্রথমে প্রাথমিক বীজগণিতে ফাংশন দেখি, যেখানে তাদের সূত্র হিসেবে উপস্থাপন করা হয় (যেমন, $f(x)=16x^{2}-100$), কিন্তু আরও উন্নত গণিতে অগ্রসর হলে আরও সাধারণ ফাংশন দেখা যায়— ত্রিকোণমিতিক, সূচকীয় এবং লগারিদমিক ফাংশন, এমনকি পরম মান-এর মতো গঠন যাতে অংশগুলি জোড়া দেওয়ার বিষয় জড়িত— এবং আমরা দেখি যে ফাংশন সূত্র নয়, বরং মূল ধারণাটি হল একটি ফাংশন তার ইনপুট $x$-এর সাথে একটি একক আউটপুট $f(x)$ সংযুক্ত করে।

অতএব, একটি ফাংশন বা ম্যাপ সংজ্ঞায়িত করা হয় ক্রমজোড়গুলির একটি সেট $(x,f(x)\,)$ হিসেবে যেন $x$, $f(x)$ নির্ধারণের জন্য যথেষ্ট, অর্থাৎ: যদি $x_{1}=x_{2}$ হয় তাহলে $f(x_{1})=f(x_{2})$ (এই প্রয়োজনীয়তাকে ফাংশনের সু-সংজ্ঞায়িত হওয়া বলে উল্লেখ করা হয়)।

প্রতিটি ইনপুট $x$ ফাংশনের আর্গুমেন্টগুলির একটি এবং প্রতিটি আউটপুট $f(x)$ একটি মান। সকল আর্গুমেন্টের সেট হল $f$-এর ডোমেইন এবং আউটপুট মানগুলির সেট হল এর রেঞ্জ। সাধারণত আমাদের রেঞ্জে কী আছে আর কী নেই তা জানার প্রয়োজন হয় না এবং আমরা পরিবর্তে রেঞ্জের একটি সুপারসেট, কোডোমেইন নিয়ে কাজ করি। ডোমেইন $X$ এবং কোডোমেইন $Y$ বিশিষ্ট একটি ফাংশন $f$-এর জন্য প্রতীক হল $f:X\to Y$।

আমরা কখনও কখনও এর পরিবর্তে প্রতীক $x{\stackrel {f}{\longmapsto }}16x^{2}-100$ ব্যবহার করি, পড়ুন "$x$, $f$-এর অধীনে $16x^{2}-100$-এ ম্যাপ হয়", অথবা "$16x^{2}-100$ হল $x$-এর প্রতিচ্ছবি"।

কিছু ম্যাপ, যেমন $x\mapsto \sin(1/x)$, সরল ম্যাপের সংমিশ্রণ হিসেবে ভাবা যেতে পারে, এখানে, $g(y)=\sin(y)$, $f(x)=1/x$-এর প্রতিচ্ছবিতে প্রয়োগ করা হয়েছে। $g:Y\to Z$-এর সাথে $f:X\to Y$-এর সংযোজন হলো সেই ম্যাপ যা $x\in X$ কে $g(\,f(x)\,)\in Z$-এ প্রেরণ করে। একে $g\circ f:X\to Z$ দ্বারা নির্দেশ করা হয়। এই সংজ্ঞাটি কেবল তখনই অর্থবহ যখন $f$-এর রেঞ্জ $g$-এর ডোমেইনের উপসেট হয়।

লক্ষ্য করুন যে অভেদ ম্যাপ ${\mbox{id}}:Y\to Y$ যা ${\mbox{id}}(y)=y$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত, এর বৈশিষ্ট্য হল যে যেকোনো $f:X\to Y$-এর জন্য, সংযোজন ${\mbox{id}}\circ f$, $f$-এর সমান। সুতরাং ফাংশন সংযোজনের ক্ষেত্রে অভেদ ম্যাপ সেই ভূমিকা পালন করে যা বাস্তব সংখ্যার যোগে $0$ সংখ্যা, অথবা গুণনে $1$ সংখ্যা পালন করে।

সেই সাদৃশ্যের সাথে সামঞ্জস্য রেখে, একটি ম্যাপ $f:X\to Y$-এর বাম বিপরীত সংজ্ঞায়িত করুন একটি ফাংশন $g:{\text{range}}(f)\to X$ হিসেবে যেন $g\circ f$, $X$-এর উপর অভেদ ম্যাপ হয়। অবশ্যই, $f$-এর একটি ডান বিপরীত হল $h:Y\to X$ যেন $f\circ h$ অভেদ হয়।

একটি ম্যাপ যা $f$-এর বাম ও ডান উভয় বিপরীত তাকে কেবল বিপরীত বলা হয়। বিপরীত, যদি থাকে, অনন্য কারণ যদি $g_{1}$ এবং $g_{2}$ উভয়ই $f$-এর বিপরীত হয় তবে $g_{1}(x)=g_{1}\circ (f\circ g_{2})(x)=(g_{1}\circ f)\circ g_{2}(x)=g_{2}(x)$ (মাঝের সমতাটি ফাংশন সংযোজনের সংযোগ বিধি থেকে আসে), তাই আমরা প্রায়ই একে "টি" বিপরীত বলি, লেখা $f^{-1}$। উদাহরণস্বরূপ, $f(x)=2x-3$ দ্বারা প্রদত্ত ফাংশন $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$-এর বিপরীত হলো $f^{-1}(x)=(x+3)/2$ দ্বারা প্রদত্ত ফাংশন $f^{-1}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$।

ফাংশন বিপরীতের জন্য উপরিলিপি "$f^{-1}$" প্রতীক বিভ্রান্তিকর হতে পারে— এর অর্থ $1/f(x)$ নয়। এটি ব্যবহৃত হয় কারণ এটি একটি বৃহত্তর পরিকল্পনার সাথে খাপ খায়। যেসব ফাংশনের কোডোমেইন ডোমেইনের সমান তাদের পুনরাবৃত্তি করা যায়, যাতে যেখানে $f:X\to X$, আমরা $f$-এর সাথে নিজের সংযোজন বিবেচনা করতে পারি: $f\circ f$, এবং $f\circ f\circ f$, ইত্যাদি।

স্বাভাবিকভাবেই, আমরা $f\circ f$ কে $f^{2}$ এবং $f\circ f\circ f$ কে $f^{3}$ হিসাবে লিখি, ইত্যাদি। লক্ষ্য করুন যে বাস্তব সংখ্যার জন্য পরিচিত সূচক নিয়মগুলি স্পষ্টতই খাটে: $f^{i}\circ f^{j}=f^{i+j}$ এবং $(f^{i})^{j}=f^{i\cdot j}$। পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের সাথে সম্পর্ক হল, যেখানে $f$ বিপরীতযোগ্য, সেখানে বিপরীতের জন্য $f^{-1}$ লেখা এবং $f^{2}$-এর বিপরীতের জন্য $f^{-2}$ লেখা, ইত্যাদি, এই পরিচিত সূচক নিয়মগুলি বহাল থাকে, একবার $f^{0}$ কে অভেদ ম্যাপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হলে।

যদি কোডোমেইন $Y$, $f$-এর রেঞ্জের সমান হয় তবে আমরা বলি যে ফাংশনটি অনটু (বা সার্জেক্টিভ)। একটি ফাংশনের ডান বিপরীত থাকে যদি এবং কেবল যদি এটি অনটু হয় (এটি পরীক্ষা করা কঠিন নয়)। যদি কোনো দুটি আর্গুমেন্ট একই প্রতিচ্ছবি ভাগ না করে, যদি $x_{1}\neq x_{2}$ ইঙ্গিত করে যে $f(x_{1})\neq f(x_{2})$, তবে ফাংশনটি এক-থেকে-এক (বা ইনজেক্টিভ)। একটি ফাংশনের বাম বিপরীত থাকে যদি এবং কেবল যদি এটি এক-থেকে-এক হয় (এটিও পরীক্ষা করা কঠিন নয়)।

পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ অনুসারে, একটি ম্যাপের বিপরীত থাকে যদি এবং কেবল যদি এটি অনটু এবং এক-থেকে-এক উভয়ই হয়; এরকম একটি ফাংশন হল একটি একৈক প্রতিচিত্রণ। এটি ডোমেইনের একটি এবং কেবল একটি উপাদানকে রেঞ্জের প্রতিটি উপাদানের সাথে সংযুক্ত করে (উদাহরণস্বরূপ, সসীম সেটগুলির এইভাবে মেলানোর জন্য সমান সংখ্যক উপাদান থাকতে হবে)। কারণ এক-থেকে-এক ম্যাপের সংযোজন এক-থেকে-এক, এবং অনটু ম্যাপের সংযোজন অনটু, তাই একৈক প্রতিচিত্রণের সংযোজন একটি একৈক প্রতিচিত্রণ।

আমরা কখনও কখনও একটি ফাংশনের ডোমেইন সঙ্কুচিত করতে চাই। উদাহরণস্বরূপ, আমরা $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ফাংশনটি নিতে পারি যা $f(x)=x^{2}$ দ্বারা প্রদত্ত এবং, বিপরীত পাওয়ার জন্য, ইনপুট আর্গুমেন্টগুলিকে অঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যায় সীমাবদ্ধ করতে পারি ${\hat {f}}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$। প্রকৃতপক্ষে, ${\hat {f}}$, $f$ থেকে একটি ভিন্ন ফাংশন; আমরা একে $f$-এর ছোট ডোমেইনের উপর সীমাবদ্ধতা বলি।

ফাংশন সম্পর্কে শেষ কথা: $x$ বা $f(x)$ কোনোটিকেই সংখ্যা হতে হবে না। উদাহরণ হিসেবে, আমরা $f(x,y)=x+y$ কে একটি ফাংশন হিসেবে ভাবতে পারি যা ক্রমজোড় $(x,y)$ কে এর আর্গুমেন্ট হিসেবে নেয়।

সম্পর্ক

কিছু পরিচিত অপারেশন স্পষ্টতই ফাংশন: যোগ $(5,3)$ কে $8$-এ ম্যাপ করে। কিন্তু "$<$" বা "$=$"-এর কী? আমরা এখানে "$3<5$" কে "$(3,5)$, $<$ সম্পর্কে আছে" এই রূপ দেওয়ার পদ্ধতি গ্রহণ করি। অর্থাৎ, একটি সেট $A$-এর উপর একটি বাইনারি সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করি $A$-এর উপাদানগুলির ক্রমজোড়গুলির একটি সেট হিসেবে। উদাহরণস্বরূপ, $<$ সম্পর্ক হল সেট $\{(a,b)\,{\big |}\,a<b\}$; এই সেটের কিছু উপাদান হল $(3,5)$, $(3,7)$, এবং $(1,100)$।

স্বাভাবিক সংখ্যার উপর আরেকটি বাইনারি সম্পর্ক হল সমতা; এই সম্পর্কটি আনুষ্ঠানিকভাবে সেট হিসেবে লেখা হয় $\{\ldots ,(-1,-1),(0,0),(1,1),\ldots \}$।

আরও একটি উদাহরণ হল "$10$-এর চেয়ে কাছাকাছি", সেট $\{(x,y)\,{\big |}\,|x-y|<10\}$। এই সম্পর্কের কিছু সদস্য হল $(1,10)$, $(10,1)$, এবং $(42,44)$। $(11,1)$ বা $(1,11)$ কোনোটিই সদস্য নয়।

এই উদাহরণগুলি সংজ্ঞাটির সাধারণতা চিত্রিত করে। সকল ধরনের সম্পর্ক (যেমন, "উভয় সংখ্যা জোড়" বা "প্রথম সংখ্যা, দ্বিতীয় সংখ্যার অঙ্কগুলি উল্টানো") সংজ্ঞাটির আওতাভুক্ত।

সমতুল্যতা সম্পর্ক

আমাদের আনুষ্ঠানিকভাবে বলার প্রয়োজন হবে যে দুটি বস্তু কোনোভাবে একই রকম। যদিও এই একই রকম জিনিসগুলি অভিন্ন নয়, তারা সম্পর্কিত (যেমন, দুটি পূর্ণসংখ্যা যা "$2$ দিয়ে ভাগ করলে একই ভাগশেষ দেয়")।

একটি বাইনারি সম্পর্ক $\{(a,b),\ldots \}$ একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক যখন এটি সিদ্ধ করে

1. প্রতিবর্তিতা: যেকোনো বস্তু নিজের সাথে সম্পর্কিত;
2. প্রতিসাম্য: যদি $a$, $b$-এর সাথে সম্পর্কিত হয় তবে $b$, $a$-এর সাথে সম্পর্কিত;
3. সক্রামিতা: যদি $a$, $b$-এর সাথে সম্পর্কিত হয় এবং $b$, $c$-এর সাথে সম্পর্কিত হয় তবে $a$, $c$-এর সাথে সম্পর্কিত।

(এই শর্তগুলি যে একই রকম হওয়াকে আনুষ্ঠানিক রূপ দেয় তা দেখতে, এগুলি আবার পড়ুন, "সম্পর্কিত" এর জায়গায় "মতো" বসিয়ে।)

কিছু উদাহরণ (পূর্ণসংখ্যার উপর): "$=$" একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক, "$<$" প্রতিসাম্য সিদ্ধ করে না, "একই চিহ্ন" একটি সমতুল্যতা, যেখানে "$10$-এর চেয়ে নিকটবর্তী" সক্রামিতায় ব্যর্থ হয়।

পার্টিশন

"একই চিহ্ন" $\{(1,3),(-5,-7),(-1,-1),\ldots \}$-এ দুই ধরনের জোড় আছে, প্রথমটি উভয় সংখ্যা ধনাত্মক এবং দ্বিতীয়টি উভয় ঋণাত্মক। সুতরাং পূর্ণসংখ্যাগুলি ঠিক দুটি শ্রেণির একটিতে পড়ে, ধনাত্মক বা ঋণাত্মক।

একটি সেট $S$-এর একটি পার্টিশন হল উপসেটগুলির একটি সংগ্রহ $\{S_{1},S_{2},\ldots \}$ যেন $S$-এর প্রতিটি উপাদান এক এবং কেবল একটি $S_{i}$-তে থাকে: $S_{1}\cup S_{2}\cup \ldots {}=S$, এবং যদি $i$, $j$-এর সমান না হয় তবে $S_{i}\cap S_{j}=\varnothing$। $S$ কে পৃথক অংশে বিভক্ত হওয়ার চিত্র কল্পনা করুন।

সুতরাং, প্রথম অনুচ্ছেদ বলে "একই চিহ্ন" পূর্ণসংখ্যাগুলিকে ধনাত্মক ও ঋণাত্মকে পার্টিশন করে।

একইভাবে, সমতুল্যতা সম্পর্ক "=" পূর্ণসংখ্যাগুলিকে এক-উপাদানের সেটগুলিতে পার্টিশন করে।

আরেকটি উদাহরণ হল ভগ্নাংশগুলি। অবশ্যই, $2/3$ এবং $4/6$ সমতুল্য ভগ্নাংশ। অর্থাৎ, সেট $S=\{n/d\,{\big |}\,n,d\in \mathbb {Z} {\text{ এবং }}d\neq 0\}$-এর জন্য, আমরা দুটি উপাদান $n_{1}/d_{1}$ এবং $n_{2}/d_{2}$ কে সমতুল্য সংজ্ঞায়িত করি যদি $n_{1}d_{2}=n_{2}d_{1}$ হয়। আমরা পরীক্ষা করতে পারি যে এটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক, অর্থাৎ এটি উপরের তিনটি শর্ত সিদ্ধ করে। এর ফলে, $S$ অংশে বিভক্ত হয়ে যায়।

আমরা দেখানোর আগে যে সমতুল্যতা সম্পর্ক সর্বদা পার্টিশনের জন্ম দেয়, আমরা প্রথমে যুক্তিটি চিত্রিত করি। দুটি পূর্ণসংখ্যার মধ্যে "একই প্যারিটি"র সম্পর্ক বিবেচনা করুন, সেট $\{(-1,3),(2,4),(0,0),\ldots \}$ (অর্থাৎ, "$2$ দিয়ে ভাগ করলে একই ভাগশেষ দেয়")। আমরা বলতে চাই যে স্বাভাবিক সংখ্যাগুলি দুটি টুকরোয় বিভক্ত, জোড়গুলি এবং বিজোড়গুলি, এবং একটি টুকরোর ভিতরে প্রতিটি সদস্যের একে অপরের সাথে একই প্যারিটি আছে। সুতরাং প্রতিটি $x$-এর জন্য আমরা এর সাথে সম্পর্কিত সংখ্যার সেট সংজ্ঞায়িত করি: $S_{x}=\{y\,{\big |}\,(x,y)\in {\text{একই প্যারিটি}}\}$। কিছু উদাহরণ হল $S_{1}=\{\ldots ,-3,-1,1,3,\ldots \}$, এবং $S_{4}=\{\ldots ,-2,0,2,4,\ldots \}$, এবং $S_{-1}=\{\ldots ,-3,-1,1,3,\ldots \}$। এইগুলি হল অংশ, যেমন, $S_{1}$ হল বিজোড়গুলি।

উপপাদ্য একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক অধীনস্থ সেটের উপর একটি পার্টিশন আরোপ করে।

প্রমাণ

সেটটিকে $S$ এবং সম্পর্কটিকে $R$ বলি। উপরের অনুচ্ছেদের চিত্রণের সাথে সামঞ্জস্য রেখে, প্রতিটি $x\in S$-এর জন্য সংজ্ঞায়িত করি $S_{x}=\{y\,{\big |}\,(x,y)\in R\}$।

লক্ষ্য করুন যে, যেহেতু $x$, $S_{x}$-এর সদস্য, এই সকল সেটের সংযোগ হল $S$। সুতরাং আমরা শেষ করতে পারব যদি আমরা দেখাই যে ভিন্ন অংশগুলি বিচ্ছিন্ন: যদি $S_{x}\neq S_{y}$ হয় তবে $S_{x}\cap S_{y}=\varnothing$। আমরা এটি বৈপরীতের মাধ্যমে যাচাই করব, অর্থাৎ, আমরা ধরে নেব যে $S_{x}\cap S_{y}\neq \varnothing$ যাতে অনুমান করতে পারি যে $S_{x}=S_{y}$।

মনে করি $p$ ছেদটির একটি উপাদান। তাহলে $S_{x}$ এবং $S_{y}$-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী, দুটি $(x,p)$ এবং $(y,p)$, $R$-এর সদস্য, এবং এই সম্পর্কের প্রতিসাম্য দ্বারা $(p,x)$ এবং $(p,y)$ ও $R$-এর সদস্য। $S_{x}=S_{y}$ দেখাতে আমরা দেখাব যে প্রতিটি অপরটির উপসেট।

ধরুন $q\in S_{x}$ যাতে $(q,x)\in R$ হয়। সক্রামিতা ব্যবহার করে সাথে $(x,p)\in R$ নিয়ে সিদ্ধান্ত নিই যে $(q,p)$-ও $R$-এর একটি উপাদান। কিন্তু $(p,y)\in R$ তাই সক্রামিতার আরেকটি প্রয়োগ দেয় যে $(q,y)\in R$। সুতরাং $q\in S_{y}$। অতএব $q\in S_{x}$ ইঙ্গিত করে $q\in S_{y}$, এবং তাই $S_{x}\subseteq S_{y}$।

অন্য দিকে একই যুক্তি অন্য অন্তর্ভুক্তি দেয়, এবং তাই দুটি সেট সমান, বৈপরীত যুক্তিটি সম্পূর্ণ হয়।

আমরা একটি পার্টিশনের প্রতিটি অংশকে সমতুল্যতা শ্রেণি বলি (বা অনানুষ্ঠানিকভাবে, "অংশ")।

আমরা কখনও কখনও প্রতিটি সমতুল্যতা শ্রেণির একটি একক উপাদানকে শ্রেণি প্রতিনিধি হিসেবে বেছে নিই।

সাধারণত যখন আমরা প্রতিনিধি নির্বাচন করি তখন আমাদের মনে কিছু স্বাভাবিক পরিকল্পনা থাকে। সেক্ষেত্রে আমরা তাদের আদর্শ প্রতিনিধি বলি।

একটি উদাহরণ হল ভগ্নাংশের সরলতম রূপ। আমরা $3/5$ এবং $9/15$ কে সমতুল্য ভগ্নাংশ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছি। দৈনন্দিন কাজে আমরা প্রায়শই "সরলতম রূপ" বা "লঘুকৃত রূপ" ভগ্নাংশকে শ্রেণি প্রতিনিধি হিসেবে ব্যবহার করি।