রৈখিক বীজগণিত/সারি সমতুল্যতা

আমরা এই অনুচ্ছেদ এবং এই অধ্যায়টি শেষ করব প্রমাণ করে যে, প্রতিটি ম্যাট্রিক্স একটি এবং কেবলমাত্র একটি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সের সাথে সারি সমতুল্য। এখানে যে ধারণাগুলো উপস্থিত হচ্ছে, পরবর্তী অধ্যায়ে তা পুনরাবির্ভূত হবে এবং আরও বিকশিত হবে।

এখানে অন্তর্নিহিত মূলভাবটি হলো, একটি গাণিতিক পরিস্থিতি বোঝার একটি উপায় হলো ঘটতে পারে এমন বিভিন্ন ক্ষেত্রগুলোকে শ্রেণিবদ্ধ করতে পারা। আমরা ইতিমধ্যে এই মূলভাবটির সাথে কয়েকবার পরিচিত হয়েছি। আমরা রৈখিক সিস্টেমগুলোর সমাধান সেটগুলোকে শূন্য-উপাদান, এক-উপাদান, এবং অসীম-অনেক-উপাদান-এর ক্ষেত্রে শ্রেণিবদ্ধ করেছি। আমরা অজানা সংখ্যার সমান সমীকরণ সংখ্যাবিশিষ্ট রৈখিক সিস্টেমগুলোকে অনাবাচক এবং সাংবাচক ক্ষেত্রে শ্রেণিবদ্ধ করেছি। আমরা এই শ্রেণিবিভাগগুলো গ্রহণ করেছি কারণ এগুলো আমাদের তদন্তাধীন পরিস্থিতিগুলো বোঝার একটি উপায় দেয়। এখানে, যেখানে আমরা সারি সমতুল্যতা তদন্ত করছি, আমরা জানি যে সকল ম্যাট্রিক্সের সেট সারি সমতুল্যতার শ্রেণিগুলোতে বিভক্ত হয়। যখন আমরা এখানে প্রমাণ শেষ করব, তখন আমাদের কাছে এই প্রতিটি শ্রেণি বোঝার একটি উপায় থাকবে— এর ম্যাট্রিক্সগুলোকে সেই শ্রেণির অনন্য সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্স থেকে সারি অপারেশন দ্বারা উৎপন্ন হিসেবে ভাবা যেতে পারে।

সারি অপারেশন কীভাবে একটি ম্যাট্রিক্সকে আরেকটিতে রূপান্তরিত করে তা বোঝার জন্য, আমরা একটি ম্যাট্রিক্সের অংশগুলোর উপর তাদের প্রভাব বিবেচনা করি। গুরুত্বপূর্ণ পর্যবেক্ষণ হলো যে সারি অপারেশনগুলো সারিগুলোকে রৈখিকভাবে সংযুক্ত করে।

সংজ্ঞা ২.১

$x_{1},\ldots ,x_{m}$ এর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হলো $c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\,\cdots \,+c_{m}x_{m}$ আকারের একটি রাশি যেখানে $c$ গুলো স্কেলার।

(আমরা ইতিমধ্যে এই বইতে "রৈখিক সংমিশ্রণ" বাক্যাংশটি ব্যবহার করেছি। অর্থ অপরিবর্তিত, কিন্তু পরবর্তী ফলাফলের বিবৃতিটি যথাযথভাবে আরও আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা তৈরি করে।)

লেমা ২.২ (রৈখিক সংমিশ্রণ লেমা)

রৈখিক সংমিশ্রণগুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।

প্রমাণ

ধরি রৈখিক সংমিশ্রণগুলো হলো $c_{1,1}x_{1}+\dots +c_{1,n}x_{n}$ থেকে $c_{m,1}x_{1}+\dots +c_{m,n}x_{n}$ পর্যন্ত, এগুলোর একটি সংমিশ্রণ বিবেচনা করি

$d_{1}(c_{1,1}x_{1}+\dots +c_{1,n}x_{n})\,+\dots +\,d_{m}(c_{m,1}x_{1}+\dots +c_{m,n}x_{n})$

যেখানে $d$ গুলো $c$ গুলোর সাথে স্কেলার। $d$ গুলো বণ্টন করলে এবং পুনর্বিন্যস্ত করলে পাওয়া যায়

$=(d_{1}c_{1,1}+\dots +d_{m}c_{m,1})x_{1}\,+\dots +\,(d_{1}c_{1,n}+\dots +d_{m}c_{m,n})x_{n}$

যা $x$ গুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।

এই উপ-অনুচ্ছেদে আমরা সেই রীতি ব্যবহার করব যে, যখন কোনো ম্যাট্রিক্সের নাম বড় হাতের রোমান অক্ষরে দেওয়া হয়, তখন সংশ্লিষ্ট ছোট হাতের গ্রিক অক্ষরটি সারিগুলোর নামকরণ করে।

$A={\begin{pmatrix}\cdots \alpha _{1}\cdots \\\cdots \alpha _{2}\cdots \\\vdots \\\cdots \alpha _{m}\cdots \end{pmatrix}}\qquad B={\begin{pmatrix}\cdots \beta _{1}\cdots \\\cdots \beta _{2}\cdots \\\vdots \\\cdots \beta _{m}\cdots \end{pmatrix}}$

অনুসিদ্ধান্ত ২.৩

যখন একটি ম্যাট্রিক্স অপর একটিতে রূপান্তরিত হয়, দ্বিতীয়টির প্রতিটি সারি প্রথমটির সারিগুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।

নিচের প্রমাণটি একটি ম্যাট্রিক্স থেকে অপরটিতে রূপান্তরের জন্য ব্যবহৃত সারি অপারেশনের সংখ্যার উপর আরোহণ ব্যবহার করে। শুরু করার আগে, এখানে যুক্তিটির একটি রূপরেখা দেওয়া হলো (আরোহণের সাথে অপরিচিত পাঠকরা এই যুক্তিটিকে "${\text{General}}={\text{Particular}}+{\text{Homogeneous}}$" প্রমাণে ব্যবহৃত যুক্তিটির সাথে তুলনা করতে পারেন)। প্রথমে, যুক্তিটির ভিত্তি ধাপের জন্য, আমরা যাচাই করব যে যখন শূন্য সারি অপারেশনে রূপান্তর করা যায় তখন প্রস্তাবটি সত্য। দ্বিতীয়ত, আরোহ ধাপের জন্য, আমরা যুক্তি দিব যে যদি প্রথম ম্যাট্রিক্সটিকে $t\geq 0$ সংখ্যক অপারেশনে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা যায় তাহলে বোঝায় যে দ্বিতীয়টির প্রতিটি সারি প্রথমটির সারিগুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ, তাহলে প্রথমটিকে $t+1$ অপারেশনে দ্বিতীয়টিতে রূপান্তর করা গেলেও একই কথা প্রযোজ্য। একত্রে, এই ভিত্তি ধাপ ও আরোহ ধাপ এই ফলাফলটি প্রমাণ করে কারণ ভিত্তি ধাপ অনুসারে শূন্য অপারেশনের ক্ষেত্রে প্রস্তাবটি সত্য, এবং আরোহ ধাপ অনুযায়ী শূন্য অপারেশনের ক্ষেত্রে এটি সত্য হওয়ার অর্থ এই যে এটি এক অপারেশনের ক্ষেত্রেও সত্য, এবং আরোহ ধাপটি আবার প্রয়োগ করলে পাওয়া যায় যে এটি দুই অপারেশনের ক্ষেত্রেও সত্য, ইত্যাদি।

প্রমাণ

আমরা প্রথম ম্যাট্রিক্স $A$ থেকে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্স $B$-এ নেওয়ার জন্য প্রয়োজনীয় সর্বনিম্ন সংখ্যক সারি অপারেশনের উপর আরোহণ করে এগোই।

ভিত্তি ধাপে, শূন্য রূপান্তর অপারেশন যথেষ্ট হলে, দুটি ম্যাট্রিক্স সমান এবং $B$-এর প্রতিটি সারি স্পষ্টতই $A$-এর সারিগুলোর একটি সংমিশ্রণ: ${\vec {\beta }}_{i}=0\cdot {\vec {\alpha }}_{1}+\dots +1\cdot {\vec {\alpha }}_{i}+\dots +0\cdot {\vec {\alpha }}_{m}$।

আরোহ ধাপের জন্য, আরোহী প্রকল্প ধরে নিই: $t\geq 0$ এর জন্য, যদি একটি ম্যাট্রিক্স $A$ থেকে $t$ বা তার কম অপারেশনে উৎপন্ন করা যায় তবে এর সারিগুলো $A$-এর সারিগুলোর রৈখিক সংমিশ্রণ। একটি $B$ বিবেচনা করি যা $t+1$ অপারেশন নেয়। যেহেতু শূন্যের বেশি অপারেশন আছে, একটি শেষ-থেকে-আগের ম্যাট্রিক্স $G$ থাকতে হবে যাতে $A\longrightarrow \cdots \longrightarrow G\longrightarrow B$ হয়। এই $G$ মাত্র $t$ অপারেশন দূরে $A$ থেকে এবং তাই এর জন্য আরোহী প্রকল্প প্রযোজ্য, অর্থাৎ, $G$-এর প্রতিটি সারি $A$-এর সারিগুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।

যদি শেষ অপারেশনটি, $G$ থেকে $B$-এ যাওয়ার অপারেশনটি, একটি সারি বিনিময় হয় তবে $B$-এর সারিগুলো কেবল $G$-এর সারিগুলোর পুনর্বিন্যাস এবং তাই $B$-এর প্রতিটি সারিও $A$-এর সারিগুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ। এই শেষ অপারেশনের অন্য দুটি সম্ভাবনা, অর্থাৎ কোনো সারিকে একটি স্কেলার দ্বারা গুণ করা এবং এক সারির গুণিতক অন্য সারির সাথে যোগ করা, উভয়ের ফলাফল হলো $B$-এর সারিগুলো $G$-এর সারিগুলোর রৈখিক সংমিশ্রণ। কিন্তু সেহেতু, রৈখিক সংমিশ্রণ লেমা দ্বারা, $B$-এর প্রতিটি সারি $A$-এর সারিগুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।

এর মাধ্যমে, আমাদের ভিত্তি ধাপ ও আরোহ ধাপ উভয়ই আছে, এবং তাই প্রস্তাবটি অনুসৃত হয়।

উদাহরণ ২.৪

রূপান্তরে

${\begin{pmatrix}0&2\\1&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{(1/2)\rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{1}}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

ম্যাট্রিক্সগুলোর নাম দিই $A$, $D$, $G$, এবং $B$। প্রমাণের পদ্ধতিগুলো দেখায় যে রৈখিক সম্পর্কের তিনটি সেট রয়েছে।

${\begin{aligned}\delta _{1}&=0\cdot \alpha _{1}+1\cdot \alpha _{2}\\\delta _{2}&=1\cdot \alpha _{1}+0\cdot \alpha _{2}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\gamma _{1}&=0\cdot \alpha _{1}+1\cdot \alpha _{2}\\\gamma _{2}&=(1/2)\alpha _{1}+0\cdot \alpha _{2}\end{aligned}}\qquad {\begin{aligned}\beta _{1}&=(-1/2)\alpha _{1}+1\cdot \alpha _{2}\\\beta _{2}&=(1/2)\alpha _{1}+0\cdot \alpha _{2}\end{aligned}}$

পূর্ববর্তী ফলাফল আমাদের এই অন্তর্দৃষ্টি দেয় যে গাউসের পদ্ধতি সারিগুলোর রৈখিক সংমিশ্রণ নিয়ে কাজ করে। কিন্তু কী উদ্দেশ্যে; কেন আমরা একটি রৈখিক সিস্টেমের বিশেষভাবে সরল বা মৌলিক সংস্করণ হিসেবে সোপান আকারে যাই? উত্তর অবশ্যই, সোপান আকার পশ্চাৎ প্রতিস্থাপনের জন্য উপযুক্ত, কারণ আমরা চলকগুলোকে বিচ্ছিন্ন করেছি। উদাহরণস্বরূপ, এই ম্যাট্রিক্সে

$R={\begin{pmatrix}2&3&7&8&0&0\\0&0&1&5&1&1\\0&0&0&3&3&0\\0&0&0&0&2&1\end{pmatrix}}$

$x_{1}$ কে $x_{5}$-এর সমীকরণ থেকে সরিয়ে ফেলা হয়েছে। অর্থাৎ, গাউসের পদ্ধতি $x_{5}$-এর সারিটিকে $x_{1}$-এর সারি থেকে স্বাধীন করেছে।

সারি ভেক্টর বা যেকোনো ধরনের ভেক্টরের সংগ্রহের স্বাধীনতা পরবর্তী অধ্যায়ে সুনির্দিষ্টভাবে সংজ্ঞায়িত ও অন্বেষণ করা হবে। কিন্তু এর একটি প্রাথমিক ধারণা হলো আমরা দেখাতে পারি যে, বলুন, উপরের তৃতীয় সারিটি অন্যান্য সারিগুলো দ্বারা গঠিত নয়, যে $\rho _{3}\neq c_{1}\rho _{1}+c_{2}\rho _{2}+c_{4}\rho _{4}$। কারণ, ধরুন $c_{1}$, $c_{2}$, এবং $c_{4}$ এরকম স্কেলার আছে যে এই সম্পর্কটি ধারণ করে।

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}0&0&0&3&3&0\end{pmatrix}}&=c_{1}{\begin{pmatrix}2&3&7&8&0&0\end{pmatrix}}\\&\quad +c_{2}{\begin{pmatrix}0&0&1&5&1&1\end{pmatrix}}\\&\quad +c_{4}{\begin{pmatrix}0&0&0&0&2&1\end{pmatrix}}\end{array}}$

প্রথম সারির অগ্রণী ভুক্তিটি প্রথম কলামে এবং উপরের সম্পর্কটির বিবেচনাকে শুধুমাত্র প্রথম কলামের ভুক্তিগুলোর বিবেচনায় সংকুচিত করলে $0=2c_{1}+0c_{2}+0c_{4}$ পাওয়া যায়, যা দেয় $c_{1}=0$। দ্বিতীয় সারির অগ্রণী ভুক্তিটি তৃতীয় কলামে এবং সেই কলামের ভুক্তিগুলোর সমীকরণ $0=7c_{1}+1c_{2}+0c_{4}$, সাথে $c_{1}=0$ জানা থাকায় দেয় $c_{2}=0$। এখন, শেষ করতে, তৃতীয় সারির অগ্রণী ভুক্তিটি চতুর্থ কলামে এবং সেই কলামের ভুক্তিগুলোর সমীকরণ $3=8c_{1}+5c_{2}+0c_{4}$, সাথে $c_{1}=0$ এবং $c_{2}=0$, একটি অসম্ভাব্যতা দেয়।

নিম্নলিখিত ফলাফলটি দেখায় যে এই প্রভাব সর্বদা ধারণ করে। এটি দেখায় যে গাউসের রৈখিক বর্জন পদ্ধতি যা বর্জন করে তা হলো সারিগুলোর মধ্যে রৈখিক সম্পর্ক।

লেমা ২.৫

একটি সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সে, কোনো অশূন্য সারি অন্যান্য সারিগুলোর রৈখিক সংমিশ্রণ নয়।

প্রমাণ

$R$ সোপান ফর্মে আছে ধরি। একটি দ্বন্দ্ব পাওয়ার জন্য, ধরে নিই যে কিছু অশূন্য সারি অন্যগুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ।

$\rho _{i}=c_{1}\rho _{1}+\ldots +c_{i-1}\rho _{i-1}+c_{i+1}\rho _{i+1}+\ldots +c_{m}\rho _{m}$

আমরা প্রথমে আরোহণ ব্যবহার করে দেখাব যে $\rho _{i}$-এর উপরের সারিগুলোর সাথে সম্পর্কিত সহগ $c_{1}$, ..., $c_{i-1}$ সবগুলো শূন্য। দ্বন্দ্বটি আসবে $\rho _{i}$ এবং এর নিচের সারিগুলো বিবেচনা করে।

আরোহ যুক্তিটির ভিত্তি ধাপ হলো দেখানো যে প্রথম সহগ $c_{1}$ শূন্য। ধরি প্রথম সারির অগ্রণী ভুক্তিটি কলাম নম্বর $\ell _{1}$-এ আছে এবং সেই কলামের ভুক্তিগুলোর সমীকরণ বিবেচনা করি।

$\rho _{i,\ell _{1}}=c_{1}\rho _{1,\ell _{1}}+\ldots +c_{i-1}\rho _{i-1,\ell _{1}}+c_{i+1}\rho _{i+1,\ell _{1}}+\ldots +c_{m}\rho _{m,\ell _{1}}$

ম্যাট্রিক্সটি সোপান ফর্মে আছে তাই ভুক্তিগুলো $\rho _{2,\ell _{1}}$, ..., $\rho _{m,\ell _{1}}$, যার মধ্যে $\rho _{i,\ell _{1}}$ অন্তর্ভুক্ত, সবগুলো শূন্য।

$0=c_{1}\rho _{1,\ell _{1}}+\dots +c_{i-1}\cdot 0+c_{i+1}\cdot 0+\dots +c_{m}\cdot 0$

যেহেতু ভুক্তি $\rho _{1,\ell _{1}}$ অশূন্য কারণ এটি তার সারিকে নেতৃত্ব দেয়, সহগ $c_{1}$ অবশ্যই শূন্য হবে।

আরোহ ধাপ হলো দেখানো যে $1$ এবং $i-2$-এর মধ্যে প্রতিটি সারি সূচক $k$-এর জন্য, যদি সহগ $c_{1}$ এবং সহগ $c_{2}$, ..., $c_{k}$ সবগুলো শূন্য হয় তবে $c_{k+1}$-ও শূন্য। সেই যুক্তি, এবং যে দ্বন্দ্ব এই প্রমাণ শেষ করে, তা সমস্যা ১১-এর জন্য সংরক্ষিত আছে।

আমরা এখন প্রমাণ করতে পারি যে প্রতিটি ম্যাট্রিক্স একটি এবং কেবলমাত্র একটি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সের সাথে সারি সমতুল্য। যুক্তিটির প্রথম অর্ধেককে একটি প্রারম্ভিক লেমা হিসেবে আলাদা করা আমাদের জন্য সুবিধাজনক হবে। প্রথমত, এটি যে কোনো সোপান ফর্মের জন্যই ধারণ করে, শুধু সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম নয়।

লেমা ২.৬

যদি দুটি সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্স সারি সমতুল্য হয় তবে তাদের প্রথম সারিগুলোর অগ্রণী ভুক্তিগুলো একই কলামে অবস্থিত। অশূন্য সারিগুলোর জন্যও এটি সত্য— তাদের দ্বিতীয় সারিগুলোর অগ্রণী ভুক্তিগুলো একই কলামে অবস্থিত, ইত্যাদি।

প্রমাণের জন্য আমরা ফলাফলটিকে আরও পারিভাষিক ভাষায় প্রকাশ করি। একটি $m\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের ফর্ম সংজ্ঞায়িত করি ক্রম $\langle \ell _{1},\ell _{2},\ldots \,,\ell _{m}\rangle$ যেখানে $\ell _{i}$ হলো সারি $i$-তে অগ্রণী ভুক্তির কলাম নম্বর এবং $\ell _{i}=\infty$ যদি সেই সারিতে কোনো অগ্রণী ভুক্তি না থাকে। লেমাটি বলে যে যদি দুটি সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্স সারি সমতুল্য হয় তবে তাদের ফর্ম সমান ক্রম হয়।

প্রমাণ

ধরি $B$ এবং $D$ সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্স যা সারি সমতুল্য। যেহেতু তারা সারি সমতুল্য তাদের আকার একই হতে হবে, বলুন $m\!\times \!n$। $B$-এর সারি $i$-তে অগ্রণী ভুক্তির কলাম নম্বর $\ell _{i}$ এবং $D$-এর সারি $j$-তে অগ্রণী ভুক্তির কলাম নম্বর $k_{j}$ ধরি। আমরা আরোহণের মাধ্যমে দেখাব যে $\ell _{1}=k_{1}$, $\ell _{2}=k_{2}$, ইত্যাদি।

এই আরোহ যুক্তিটি ম্যাট্রিক্সগুলোর সারি সমতুল্য হওয়ার উপর নির্ভর করে, কারণ রৈখিক সংমিশ্রণ লেমা এবং এর অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী $B$-এর প্রতিটি সারি $D$-এর সারিগুলোর একটি রৈখিক সংমিশ্রণ এবং উল্টোটাও:

$\beta _{i}=s_{i,1}\delta _{1}+s_{i,2}\delta _{2}+\dots +s_{i,m}\delta _{m}\quad {\text{এবং}}\quad \delta _{j}=t_{j,1}\beta _{1}+t_{j,2}\beta _{2}+\dots +t_{j,m}\beta _{m}$

যেখানে $s$ গুলো এবং $t$ গুলো স্কেলার।

আরোহণের ভিত্তি ধাপ হলো ম্যাট্রিক্সগুলোর প্রথম সারিগুলোর জন্য লেমাটি যাচাই করা, অর্থাৎ যাচাই করা যে $\ell _{1}=k_{1}$। যদি কোনো একটি সারি শূন্য সারি হয় তাহলে সম্পূর্ণ ম্যাট্রিক্সটি একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স কারণ এটি সোপান ফর্মে আছে, এবং সেহেতু উভয় ম্যাট্রিক্সই শূন্য ম্যাট্রিক্স (অনুসিদ্ধান্ত ২.৩ অনুযায়ী), এবং তাই $\ell _{1}$ ও $k_{1}$ উভয়ই $\infty$। সেই ক্ষেত্রের জন্য যখন $\beta _{1}$ বা $\delta _{1}$ কোনোটিই শূন্য সারি নয়, উপরের রৈখিক সম্পর্কটির $i=1$ দৃষ্টান্ত বিবেচনা করি।

${\begin{array}{rl}\beta _{1}&=s_{1,1}\delta _{1}+s_{1,2}\delta _{2}+\dots +s_{1,m}\delta _{m}\\{\begin{pmatrix}0&\cdots &b_{1,\ell _{1}}&\cdots &\end{pmatrix}}&=s_{1,1}{\begin{pmatrix}0&\cdots &d_{1,k_{1}}&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad +s_{1,2}{\begin{pmatrix}0&\cdots &0&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad \vdots \\&\quad +s_{1,m}{\begin{pmatrix}0&\cdots &0&\cdots &\end{pmatrix}}\end{array}}$

প্রথমে, লক্ষ্য করি যে $\ell _{1}<k_{1}$ অসম্ভব: $D$-এর কলাম $k_{1}$-এর বামের কলামগুলোতে ভুক্তিগুলো সব শূন্য (কারণ $d_{1,k_{1}}$ প্রথম সারিকে নেতৃত্ব দেয়) এবং তাই যদি $\ell _{1}<k_{1}$ হয় তবে কলাম $\ell _{1}$-এর ভুক্তিগুলোর সমীকরণ হবে $b_{1,\ell _{1}}=s_{1,1}\cdot 0+\dots +s_{1,m}\cdot 0$, কিন্তু $b_{1,\ell _{1}}$ শূন্য নয় কারণ এটি তার সারিকে নেতৃত্ব দেয় এবং তাই এটি একটি অসম্ভাব্যতা। পরবর্তী, একটি প্রতিসম যুক্তি দেখায় যে $k_{1}<\ell _{1}$-ও অসম্ভব। সুতরাং $\ell _{1}=k_{1}$ ভিত্তি ক্ষেত্রটি সত্য।

আরোহ ধাপ হলো দেখানো যে যদি $\ell _{1}=k_{1}$, এবং $\ell _{2}=k_{2}$, ..., এবং $\ell _{r}=k_{r}$ হয়, তবে $\ell _{r+1}=k_{r+1}$-ও হবে ($r$ ব্যবধি $1\,..\,m-1$-এর জন্য)। এই যুক্তিটি সমস্যা ১২-এর জন্য সংরক্ষিত আছে।

এই লেমাটি আমরা যেসব প্রশ্ন তুলেছিলাম তার দুটির উত্তর দেয়: (i) একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো দুটি সোপান ফর্ম সংস্করণের একই মুক্ত চলক রয়েছে, এবং ফলস্বরূপ, (ii) যেকোনো দুটি সোপান ফর্ম সংস্করণে একই সংখ্যক মুক্ত চলক রয়েছে। এমন কোনো রৈখিক সিস্টেম এবং সারি অপারেশনের কোনো সমন্বয় নেই যাতে, বলতে গেলে, আমরা সিস্টেমটি একভাবে সমাধান করে $y$ এবং $z$ মুক্ত পাই কিন্তু অন্যভাবে সমাধান করে $y$ এবং $w$ মুক্ত পাই, বা একভাবে সমাধান করে দুটি মুক্ত চলক পাই যেখানে অন্যভাবে সমাধান করলে তিনটি পাওয়া যায়।

আমরা এখন সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে বিশেষীকরণ করে শেষ করি।

উপপাদ্য ২.৭

প্রতিটি ম্যাট্রিক্স একটি অনন্য সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সের সাথে সারি সমতুল্য।

প্রমাণ

স্পষ্টতই যেকোনো ম্যাট্রিক্স গাউস-জর্ডান পদ্ধতির মাধ্যমে অন্তত একটি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সের সাথে সারি সমতুল্য। বাকি অর্ধেকের জন্য, যে কোনো ম্যাট্রিক্স সর্বোচ্চ একটি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সের সমতুল্য, আমরা দেখাব যে যদি একটি ম্যাট্রিক্স গাউস-জর্ডান পদ্ধতিতে অন্য দুটিতে রূপান্তরিত হয় তবে সেই দুটি সমান।

ধরি একটি ম্যাট্রিক্স $B$ এবং $D$ দুটি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সের সাথে সারি সমতুল্য, যারা সেহেতু পরস্পরের সাথে সারি সমতুল্য। রৈখিক সংমিশ্রণ লেমা এবং এর অনুসিদ্ধান্ত আমাদের একটি, বলুন $B$, এর সারিগুলোকে অপরটির সারিগুলোর রৈখিক সংমিশ্রণ হিসেবে লিখতে দেয় $\beta _{i}=c_{i,1}\delta _{1}+\cdots +c_{i,m}\delta _{m}$। প্রারম্ভিক ফলাফল, লেমা ২.৬, বলে যে দুটি ম্যাট্রিক্সে, সারির একই সংগ্রহ অশূন্য। সুতরাং, যদি $\beta _{1}$ থেকে $\beta _{r}$ $B$-এর অশূন্য সারি হয় তবে $D$-এর অশূন্য সারিগুলো হলো $\delta _{1}$ থেকে $\delta _{r}$। শূন্য সারিগুলো যোগফলে অবদান রাখে না তাই আমরা সম্পর্কটিকে শুধু অশূন্য সারি অন্তর্ভুক্ত করতে পুনর্লিখন করতে পারি।

$\beta _{i}=c_{i,1}\delta _{1}+\dots +c_{i,r}\delta _{r}\qquad (*)$

প্রারম্ভিক ফলাফল আরও বলে যে $1$ থেকে $r$-এর মধ্যে প্রতিটি সারি $j$-এর জন্য, $B$ ও $D$-এর $j$-তম সারির অগ্রণী ভুক্তিগুলো একই কলামে অবস্থিত, যাকে চিহ্নিত করা হলো $\ell _{j}$। উপরের সম্পর্কটিকে $\ell _{j}$-তম কলামের ভুক্তিগুলোর উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে পুনর্লিখন করলে

${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}&\cdots &b_{i,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}&=c_{i,1}{\begin{pmatrix}&\cdots &d_{1,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad +c_{i,2}{\begin{pmatrix}&\cdots &d_{2,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}\\&\quad \vdots \\&\quad +c_{i,r}{\begin{pmatrix}&\cdots &d_{r,\ell _{j}}&\cdots &\end{pmatrix}}\end{array}}$

$i=1$ থেকে $i=r$ পর্যন্ত এর জন্য সমীকরণের এই সেটটি পাওয়া যায়।

${\begin{array}{rl}b_{1,\ell _{j}}&=c_{1,1}d_{1,\ell _{j}}+\cdots +c_{1,j}d_{j,\ell _{j}}+\cdots +c_{1,r}d_{r,\ell _{j}}\\&\vdots \\b_{j,\ell _{j}}&=c_{j,1}d_{1,\ell _{j}}+\cdots +c_{j,j}d_{j,\ell _{j}}+\cdots +c_{j,r}d_{r,\ell _{j}}\\&\vdots \\b_{r,\ell _{j}}&=c_{r,1}d_{1,\ell _{j}}+\cdots +c_{r,j}d_{j,\ell _{j}}+\cdots +c_{r,r}d_{r,\ell _{j}}\end{array}}$

যেহেতু $D$ সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্মে আছে, কলাম $\ell _{j}$-এ $d$ গুলোর সবগুলো শূন্য, শুধু $d_{j,\ell _{j}}$ ছাড়া, যা $1$। সুতরাং উপরের প্রতিটি সমীকরণ সরলীকৃত হয় $b_{i,\ell _{j}}=c_{i,j}d_{j,\ell _{j}}=c_{i,j}\cdot 1$। কিন্তু $B$-ও সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্মে আছে এবং তাই কলাম $\ell _{j}$-এ $b$ গুলোর সবগুলো শূন্য শুধু $b_{j,\ell _{j}}$ ছাড়া, যা $1$। অতএব, প্রতিটি $c_{i,j}$ শূন্য, শুধু $c_{1,1}=1$, এবং $c_{2,2}=1$, ..., এবং $c_{r,r}=1$ ছাড়া।

আমরা দেখিয়েছি যে ($*$) লেবেলযুক্ত রৈখিক সংমিশ্রণে একমাত্র অশূন্য সহগ হলো $c_{j,j}$, যা $1$। সুতরাং $\beta _{j}=\delta _{j}$। যেহেতু এটি সমস্ত অশূন্য সারির জন্য ধারণ করে, $B=D$।

আমরা একটি সারসংক্ষেপ দিয়ে শেষ করছি। গাউসের পদ্ধতিতে আমরা একটি ম্যাট্রিক্স দিয়ে শুরু করি এবং তারপর অন্যান্য ম্যাট্রিক্সের একটি ক্রম উৎপন্ন করি। আমরা দুটি ম্যাট্রিক্সকে সম্পর্কিত সংজ্ঞায়িত করেছিলাম যদি একটি থেকে অপরটি উৎপন্ন করা যায়। সেই সম্পর্কটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক, যাকে সারি সমতুল্যতা বলা হয়, এবং তাই সকল ম্যাট্রিক্সের সেটকে সারি সমতুল্যতার শ্রেণিতে বিভাজিত করে।

(চিত্রিত শ্রেণিতে অসীম সংখ্যক ম্যাট্রিক্স আছে, কিন্তু আমাদের কেবল দুটি দেখানোর জায়গা আছে।) আমরা প্রমাণ করেছি যে প্রতিটি সারি সমতুল্য শ্রেণিতে একটি এবং কেবলমাত্র একটি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্স আছে। সুতরাং সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম হলো সারি সমতুল্যতার জন্য একটি আদর্শ ফর্ম : সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্সগুলো শ্রেণিগুলোর প্রতিনিধি।

আমরা শ্রেণিগুলো সম্পর্কে প্রশ্নের উত্তর দিতে পারি সেগুলোকে প্রতিনিধিদের সম্পর্কে প্রশ্নে অনুবাদ করে।

উদাহরণ ২.৮

আমরা ম্যাট্রিক্সগুলো পরস্পর রূপান্তরযোগ্য কিনা তা স্থির করতে পারি গাউস-জর্ডান পদ্ধতি একই সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ফলাফল উৎপন্ন করে কিনা দেখে। সুতরাং, এগুলো সারি সমতুল্য নয়

${\begin{pmatrix}1&-3\\-2&6\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&-3\\-2&5\end{pmatrix}}$

কারণ তাদের সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম সমান নয়।

${\begin{pmatrix}1&-3\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ২.৯

যেকোনো অনাবাচক $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্স গাউস-জর্ডান পদ্ধতিতে এতে রূপান্তরিত হয়।

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ২.১০

আমরা সমস্ত সম্ভাব্য সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্স তালিকাবদ্ধ করে শ্রেণিগুলো বর্ণনা করতে পারি। যেকোনো $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স এগুলোর একটিতে অবস্থিত: ম্যাট্রিক্সগুলোর শ্রেণি যা এর সাথে সারি সমতুল্য,

${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

অসীম সংখ্যক শ্রেণি যাদের ম্যাট্রিক্সগুলো এই ধরনের একটির সাথে সারি সমতুল্য

${\begin{pmatrix}1&a\\0&0\end{pmatrix}}$

যেখানে $a\in \mathbb {R}$ ( $a=0$ অন্তর্ভুক্ত করে), ম্যাট্রিক্সগুলোর শ্রেণি যা এর সাথে সারি সমতুল্য,

${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$

এবং ম্যাট্রিক্সগুলোর শ্রেণি যা এর সাথে সারি সমতুল্য

${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

(এটি অনাবাচক $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সগুলোর শ্রেণি)।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

ম্যাট্রিক্সগুলো সারি সমতুল্য কিনা স্থির করো।

1. ${\begin{pmatrix}1&2\\4&8\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&2\\3&-1&1\\5&-1&5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&10\\2&0&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&1&-1\\1&1&0\\4&3&-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0&2\\0&2&10\\\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&2&2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&3&-1\\2&2&5\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1&1&1\\0&0&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1&2\\1&-1&1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ২

উদাহরণ ২.১০-এ প্রতিনিধিত্বকৃত প্রতিটি শ্রেণির ম্যাট্রিক্সগুলো বর্ণনা করো।

সমস্যা ৩

এগুলোর সারি সমতুল্যতা শ্রেণির সমস্ত ম্যাট্রিক্স বর্ণনা করো।

1. ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৪

সারি সমতুল্যতার কয়টি শ্রেণি আছে?

সমস্যা ৫

সারি সমতুল্যতার শ্রেণিগুলো কি ভিন্ন আকারের ম্যাট্রিক্স ধারণ করতে পারে?

সমস্যা ৬

সারি সমতুল্যতার শ্রেণিগুলো কত বড়?

1. দেখাও যে যেকোনো শূন্য ম্যাট্রিক্সের শ্রেণি সসীম।
2. অন্য কোনো শ্রেণি কি কেবল সসীম সংখ্যক সদস্য ধারণ করে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৭

এমন দুটি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্ম ম্যাট্রিক্স দাও যাদের অগ্রণী ভুক্তিগুলো একই কলামে আছে, কিন্তু যারা সারি সমতুল্য নয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৮

দেখাও যে যেকোনো দুটি $n\!\times \!n$ অনাবাচক ম্যাট্রিক্স সারি সমতুল্য। যেকোনো দুটি সাংবাচক ম্যাট্রিক্স কি সারি সমতুল্য?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৯

এগুলো ধারণকারী সমস্ত সারি সমতুল্যতা শ্রেণি বর্ণনা করো।

1. $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স
2. $2\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্স
3. $3\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স
4. $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্স

সমস্যা ১০

1. দেখাও যে একটি ভেক্টর ${\vec {\beta }}_{0}$ সেট $\{{\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\}$-এর সদস্যদের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হবে যদি এবং কেবল যদি একটি রৈখিক সম্পর্ক থাকে ${\vec {0}}=c_{0}{\vec {\beta }}_{0}+\cdots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}$ যেখানে $c_{0}$ শূন্য নয়। (ইঙ্গিত. ${\vec {\beta }}_{0}={\vec {0}}$ ক্ষেত্রটির ব্যাপারে সতর্ক থেকো।)
2. লেমা ২.৫-এর প্রমাণ সরল করতে এটি ব্যবহার করো।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১১

লেমা ২.৫-এর প্রমাণ শেষ করো।

1. প্রথমে $c_{2}=0$ দেখিয়ে আরোহ ধাপটি চিত্রিত করো।
2. সম্পূর্ণ আরোহ ধাপটি করো: যেখানে $1\leq n<i-1$, ধরে নাও যে $c_{k}=0$ $1<k<n$ এর জন্য এবং সিদ্ধান্ত করো যে $c_{n+1}=0$-ও হয়।
3. দ্বন্দ্বটি খুঁজে বের করো।

সমস্যা ১২

লেমা ২.৬-এর আরোহ যুক্তিটি শেষ করো।

1. আরোহী প্রকল্পটি বিবৃত করো, এবং সেই প্রকল্প থেকে কী অনুসৃত হতে হবে তাও বিবৃত করো।
2. যাচাই করো যে আরোহী প্রকল্পটি বোঝায় যে সম্পর্কটিতে $\beta _{r+1}=s_{r+1,1}\delta _{1}+s_{r+2,2}\delta _{2}+\dots +s_{r+1,m}\delta _{m}$ সহগ $s_{r+1,1},\,\ldots \,,s_{r+1,r}$ প্রতিটি শূন্য।
3. ভিত্তি ক্ষেত্রের মতো যুক্তি দিয়ে আরোহ ধাপটি শেষ করো, যে $\ell _{r+1}<k_{r+1}$ এবং $k_{r+1}<\ell _{r+1}$ অসম্ভব।

সমস্যা ১৩

উপপাদ্য ২.৭-এর প্রমাণে, আমরা কেন অশূন্য সারিগুলোতে সীমাবদ্ধ থাকতে বিরক্ত হই? কেন শুধু শুরুতে যে সম্পর্ক দিয়ে শুরু করেছিলাম তাতেই লেগে থাকি না, $\beta _{i}=c_{i,1}\delta _{1}+\dots +c_{i,m}\delta _{m}$, $m$ ব্যবহার করে $r$-এর পরিবর্তে, এবং এটি ব্যবহার করে যুক্তি দিই যে একমাত্র অশূন্য সহগ হলো $c_{i,i}$, যা $1$?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৪

তিনজন ট্রাক চালক একটি রাস্তার পাশের ক্যাফেতে গেল। একজন ট্রাক চালক চারটি স্যান্ডউইচ, এক কাপ কফি, এবং দশটি ডোনাট কিনল $$8.45$ দিয়ে। আরেকজন চালক তিনটি স্যান্ডউইচ, এক কাপ কফি, এবং সাতটি ডোনাট কিনল $$6.30$ দিয়ে। তৃতীয় ট্রাক চালক একটি স্যান্ডউইচ, এক কাপ কফি, এবং একটি ডোনাটের জন্য কত দাম দিল?

সমস্যা ১৫

গাউসীয় পদ্ধতিতে একটি সারিকে শূন্য দ্বারা গুণ নিষিদ্ধ করার বিষয়টি সংক্ষিপ্ত সোপান ফর্মের অনন্যতার প্রমাণের জন্য প্রয়োজন, নইলে প্রতিটি ম্যাট্রিক্স একটি সম্পূর্ণ শূন্য ম্যাট্রিক্সের সাথে সারি সমতুল্য হতো। এটি কোথায় ব্যবহৃত হয়েছে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৬

রৈখিক সংমিশ্রণ লেমা বলে যে কোনো প্রদত্ত রৈখিক সিস্টেম থেকে গাউসীয় পদ্ধতিতে কোন সমীকরণগুলো পাওয়া যেতে পারে।

1. এই সিস্টেম দ্বারা অনুমোদিত নয় এমন একটি সমীকরণ তৈরি করো।

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&-&y&=&8\\2x&+&y&=&3\end{array}}$

2. কোনো অসংগত সিস্টেম থেকে কি কোনো সমীকরণ উৎপন্ন করা যায়?

সমস্যা ১৭

সারি সমতুল্যতার সংজ্ঞা রৈখিক সিস্টেমে প্রসারিত করো। তোমার সংজ্ঞা অনুযায়ী, সমতুল্য সিস্টেমগুলোর কি একই সমাধান সেট থাকে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৮

এই ম্যাট্রিক্সে

${\begin{pmatrix}1&2&3\\3&0&3\\1&4&5\end{pmatrix}}$

প্রথম ও দ্বিতীয় কলামের যোগফল তৃতীয় কলামের সমান।

1. দেখাও যে কোনো সারি অপারেশনের পরেও এটি সত্য থাকে।
2. একটি অনুমান করো।
3. প্রমাণ করো যে এটি ধারণ করে।

Solutions

তথ্যসূত্র

• Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (১৯৭১), Linear Algebra (Second সংস্করণ), Prentice Hall উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

• Trono, Tony (compilier) (১৯৯১), University of Vermont Mathematics Department High School Prize Examinations 1958-1991, mimeograhed printing উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)