রৈখিক বীজগণিত/সারি রিডাকশন ও ইচেলন আকার

ভূমিকা

রৈখিক বীজগণিতে অনেক সমস্যার সমাধানের জন্য একটি ম্যাট্রিক্সকে দুটি বিশেষ রূপের একটিতে রূপান্তর করতে হয়, সারি ইচেলন আকার (ref) এবং এর আরও কঠোর রূপ হ্রাসকৃত সারি ইচেলন আকার (rref) । এই দুইটি রূপ একটি ম্যাট্রিক্সের গঠন ও বৈশিষ্ট্য বোঝাতে সাহায্য করে। যদি ম্যাট্রিক্সটি একটি রৈখিক সমীকরণ সমষ্টিকে প্রকাশ করে, তবে এই রূপগুলো ব্যবহার করে সমাধান নির্ণয় করা যায়।

প্রায় সব কম্পিউটার অ্যালজেব্রা সিস্টেম এবং অধিকাংশ বৈজ্ঞানিক বা গ্রাফিং ক্যালকুলেটরে এমন কমান্ড থাকে যা যেকোনো ম্যাট্রিক্সের REF বা RREF নির্ণয় করতে পারে। কমান্ডগুলো প্রায়শই rref(A) ফরম্যাটের হয়ে থাকে।

সারি ইচেলন আকার

একটি আয়তাকার ম্যাট্রিক্সকে সারি ইচেলন আকার বলা হয় যদি এটি নিচের তিনটি শর্ত পূরণ করে:

• সকল অশূন্য সারি সকল শূন্য সারির উপরে অবস্থান করে।
• প্রতিটি সারির প্রধান উপাদান তার উপরের সারির প্রধান উপাদানের ডানদিকের কলামে থাকে।
• একটি প্রধান উপাদানের নিচের কলামের সমস্ত উপাদান শূন্য হয়।

নিচের ম্যাট্রিক্সটি সারি ইচেলন আকারে রয়েছে:

${\begin{bmatrix}1&&0&&3&&3\\0&&1&&0&&4\\0&&0&&0&&1\end{bmatrix}}$

হ্রাসকৃত সারি ইচেলন আকার

যদি কোনো ম্যাট্রিক্স সারি ইচেলন আকার থেকে নিচের শর্তগুলোও পূরণ করে, তবে তাকে হ্রাসকৃত সারি ইচেলন আকার বলা হয়:

• ম্যাট্রিক্সটি সারি ইচেলন আকারে থাকবে।
• প্রতিটি প্রধান ১ হবে তার নিজস্ব কলামের একমাত্র অ-শূন্য উপাদান।

এই ম্যাট্রিক্সটি হ্রাসকৃত সারি ইচেলন আকারে রয়েছে:

${\begin{bmatrix}1&&0&&0\\0&&1&&0\\0&&0&&1\end{bmatrix}}$

এবং আগের অংশের ম্যাট্রিক্সটির rref হলো:

${\begin{bmatrix}1&&0&&3&&0\\0&&1&&0&&0\\0&&0&&0&&1\end{bmatrix}}$

একটি ম্যাট্রিক্সকে REF বা RREF -এ রূপান্তর

একটি রৈখিক সমীকরণসমষ্টি -কে তার বর্ধিত ম্যাট্রিক্সকে হ্রাসকৃত সারি ইচেলন আকার-এ রূপান্তর করে সমাধান করা যেতে পারে।

একটি ম্যাট্রিক্সকে প্রাথমিক সারি অপারেশন ব্যবহার করে হ্রাসকৃত সারি ইচেলন আকার -এ রূপান্তর করা যায়। এগুলো হলো:

1. ম্যাট্রিক্সের একটি সারির সাথে অন্য একটি সারির স্থান পরিবর্তন করা।
2. ম্যাট্রিক্সের একটি সারিকে একটি অ-শূন্য স্কেলার ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা।
3. একটি সারির সাথে অন্য একটি সারির ধ্রুবক গুণিতক যোগ করে পূর্বের সারিটি প্রতিস্থাপন করা।

উদাহরণস্বরূপ, একটি রৈখিক সমীকরণ জোট এবং তার সংশ্লিষ্ট অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স নিচে দেওয়া হলো:

${\begin{aligned}3x_{2}-6x_{3}+6x_{4}+4x_{5}&=-5\\3x_{1}-7x_{2}+8x_{3}-5x_{4}+8x_{5}&=9\\3x_{1}-9x_{2}+12x_{3}-9x_{4}+6x_{5}&=15\end{aligned}}$

$\left[{\begin{array}{rrrrrr}0&3&-6&6&4&-5\\3&-7&8&-5&8&9\\3&-9&12&-9&6&15\end{array}}\right]$

এই সিস্টেমটি সমাধান করতে ম্যাট্রিক্সটিকে হ্রাসকৃত সারি ইচেলন আকার-এ রূপান্তর করতে হবে।

ধাপ ১: ১ম সারি এবং ৩য় সারির স্থান অদলবদল করা হয়। এখন সমস্ত প্রধান শূন্য অ-শূন্য প্রধান উপাদানের নিচে করছে।

$\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\3&-7&8&-5&8&9\\0&3&-6&6&4&-5\end{array}}\right]$

ধাপ ২: ২য় সারি থেকে ১ম সারি বিয়োগ করা হয়। এতে ২য় সারির প্রথম উপাদান শূন্য হয়।.

$\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\0&2&-4&4&2&-6\\0&3&-6&6&4&-5\end{array}}\right]$

ধাপ ৩: ২য় সারিকে ৩ দ্বারা এবং ৩য় সারিকে ২ দ্বারা গুণ করা হয়।এর ফলে ৩য় সারির প্রথম অ-শূন্য উপাদানটি সরানো সহজ হবে।

$\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\0&6&-12&12&6&-18\\0&6&-12&12&8&-10\end{array}}\right]$

'ধাপ ৪: ৩য় সারি থেকে ২য় সারি বিয়োগ করা হয়।। এটি ৩য় সারির দ্বিতীয় অ-শূন্য উপাদানটিকে শূন্য করে দেবে।

$\left[{\begin{array}{rrrrrr}3&-9&12&-9&6&15\\0&6&-12&12&6&-18\\0&0&0&0&2&8\end{array}}\right]$

ধাপ ৫: প্রতিটি সারিকে তার প্রথম অ-শূন্য মানের অনন্যক দিয়ে গুণ করা হয়, যাতে প্রতিটি সারি ১ দিয়ে শুরু হয়।

$\left[{\begin{array}{rrrrrr}1&-3&4&-3&2&5\\0&1&-2&2&1&-3\\0&0&0&0&1&4\end{array}}\right]$

ম্যাট্রিক্সটি এখন সারি ইচেলন আকার রয়েছে: সমস্ত অ-শূন্য সারি শূন্য সারির উপরে (এখানে কোনো শূন্য সারি নেই), প্রতিটি সারির প্রধান উপাদান তার উপরের সারির প্রধান উপাদানের ডানে অবস্থিত এবং প্রধান উপাদানের নিচের কলামের সব মান শূন্য।

পরবর্তীতে দেখানো হবে যে, এই রূপ থেকে এটি লক্ষ্য করা যায় যে সমীকরণ জোটটির অসংখ্য সমাধান রয়েছে। সেই সমাধানগুলো পেতে ম্যাট্রিক্সটিকে আরও রূপান্তর করে হ্রাসকৃত সারি ইচেলন আকার আনতে হবে।

ধাপ ৬: ২য় সারিকে ৩য় সারির (-১) গুণ যোগ করা হয় এবং ১ম সারিকে ৩য় সারির (-২) গুণ যোগ করা হয়। অর্থাৎ, ২য় সারি থেকে ৩য় সারি বিয়োগ করা হয় এবং ১ম সারি থেকে ৩য় সারির দ্বিগুণ বিয়োগ করা হয়। এর ফলে তৃতীয় সারির প্রধান উপাদানের উপরের উপাদানগুলো শূন্য হয়ে যায়।
${\begin{bmatrix}1&-3&4&-3&0&-3\\0&1&-2&2&0&-7\\0&0&0&0&1&4\end{bmatrix}}$

ধাপ ৭: ১ম সারির সাথে ২য় সারির ৩ গুণ যোগ করা হয়। এর ফলে ২য় সারির প্রধান উপাদানের উপরের উপাদানটি শূন্য হয়ে যায়।.
${\begin{bmatrix}1&0&-2&3&0&-24\\0&1&-2&2&0&-7\\0&0&0&0&1&4\end{bmatrix}}$

এটি একটি হ্রাসকৃত ইচেলন আকার, কারণ প্রতিটি অ-শূন্য সারির প্রধান উপাদান ১ এবং প্রতিটি প্রধান ১ তার স্তম্ভের একমাত্র অ-শূন্য উপাদান।

এখন এই ম্যাট্রিক্স থেকে সমীকরণসমষ্টির সমাধান সরাসরি পড়া যায়:
$x_{1}-2x_{3}+3x_{4}=-24$
$x_{2}-2x_{3}+2x_{4}=-7$
$x_{5}=4$
এখন $x_{1}$, $x_{2}$ এবং $x_{5}$-এর মান প্রকাশ করলে পাওয়া যায়:
$x_{1}=2x_{3}-3x_{4}-24$
$x_{2}=2x_{3}-2x_{4}-7$
$x_{5}=4$
টাই সমীকরণসমষ্টির সমাধান। এখানে $x_{3}$ এবং $x_{4}$ যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে, তাই এদেরকে মুক্ত চলক বলা হয়। সমাধানটি $x_{3}$ এবং $x_{4}$-এর যেকোনো মানের জন্য সত্য।

দুটি রূপের মধ্যে পার্থক্য বোঝা

যেকোনো অ-শূন্য ম্যাট্রিক্সকে ভিন্ন ভিন্ন সারি অপারেশনের মাধ্যমে একাধিক ইচেলন আকারে রূপান্তর করা যেতে পারে। তবে যেভাবেই রূপান্তর করা হোক না কেন, প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের জন্য হ্রাসকৃত সারি ইচেলন আকারটি অনন্য।

উপপাদ্য: হ্রাসকৃত ইচেলন আকারের এককতা
প্রতিটি ম্যাট্রিক্স কেবলমাত্র একটি এবং একটিমাত্র হ্রাসকৃত ইচেলন ম্যাট্রিক্স -এর সাথে সারি-সমতুল্য।

যদি ম্যাট্রিক্স A একটি ইচেলন ম্যাট্রিক্স B এর সারি-সমতুল্য হয়, তবে আমরা ম্যাট্রিক্স B কে A এর একটি ইচেলন আকার বলি; যদি B হ্রাসকৃত ইচেলন আকারে থাকে, তবে আমরা B কে A এর হ্রাসকৃত ইচেলন আকার বলি।

পিভট অবস্থান

একটি ম্যাট্রিক্স A তে পিভট অবস্থান হলো A এর এমন একটি স্থান যা ম্যাট্রিক্সটির হ্রাসকৃত ইচেলন আকারে একটি প্রধান ১ এর সাথে মিলে যায়। একটি পিভট স্তম্ভ হলো A এর এমন একটি স্তম্ভ যাতে একটি পিভট অবস্থান বিদ্যমান।