রৈখিক বীজগণিত/সারি ও কলাম প্রক্রিয়া

প্রাথমিক সারি অপারেশন

তিনটি প্রাথমিক সারি অপারেশন রয়েছে:

1. প্রতিস্থাপন
2. বিনিময়
3. স্কেলিং বা গুণন

নিচে এই তিনটি ভিন্ন অপারেশনের ব্যাখ্যা এবং উদাহরণ দেওয়া হলো। রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা অধ্যায়ে আমরা স্কেলিং বা গুণন ব্যতীত বাকি সব অপারেশন ব্যবহার করেছি।

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় মনে রাখা প্রয়োজন যে, এই সমস্ত অপারেশন সব ধরণের ম্যাট্রিক্সের উপর ব্যবহার করা যেতে পারে শুধু রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা থেকে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে নয়।

প্রতিস্থাপন

একটি সারিকে ওই সারি এবং অন্য একটি সারির গুণিতকের সমষ্টি দ্বারা প্রতিস্থাপন করা। সারি প্রতিস্থাপনের একটি সহজ ব্যাখ্যা হলো "একটি সারির সাথে অন্য একটি সারির গুণিতক যোগ করা।"

উদাহরণস্বরূপ, ধরি আমাদের একটি রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা দেওয়া আছে:

$x_{1}+4x_{2}=3$

$2x_{1}+2x_{2}=4$

একে ম্যাট্রিক্স নোটেশনে একটি অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স হিসেবে এভাবে লেখা যায়:

${\begin{bmatrix}1&&4&&3\\2&&2&&4\end{bmatrix}}$

এখন আমরা ২ নং সমীকরণ থেকে $x_{1}$ পদটি অপসারণ করার সিদ্ধান্ত নিয়েছি; এটি করার জন্য ১ নং সমীকরণের -২ দ্বারা গুণ করে সেই গুণফলকে ২ নং সমীকরণের সাথে যোগ করতে হবে:

${\begin{matrix}-2*[equation\ 1]:&-2x_{1}-8x_{2}=-6\\{\underline {+[equation\ 2]:}}&{\underline {2x_{1}+2x_{2}=4}}\\\left[new\ equation\ 2\right]:&-6x_{2}=-2\end{matrix}}$

যা আমাদের এই ম্যাট্রিক্সটি প্রদান করে:

${\begin{bmatrix}1&&4&&3\\0&&-6&&-2\end{bmatrix}}$

বিনিময়

দুটি সারির মধ্যে স্থান পরিবর্তন করা।

একটি উদাহরণ নিচে দেওয়া হলো। ধরি আমাদের কাছে একটি ম্যাট্রিক্স আছে:

${\begin{bmatrix}1&&2&&3\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

এখানে আমরা সারি দুটির মধ্যে একটি বিনিময় অপারেশন সম্পন্ন করেছি:

${\begin{bmatrix}2&&3&&1\\1&&2&&3\end{bmatrix}}$

আপনি যখন কোনো রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা সমাধান করার চেষ্টা করেন এবং দেখেন যে দুটি সারির স্থান পরিবর্তন করলে সমাধান করা সহজ হবে তখন এটি একটি অত্যন্ত দরকারী অপারেশন। যদিও এটি দেখতে কিছুটা অদ্ভুত বা খুব একটা কার্যকর মনে না-ও হতে পারে তবুও এটি গণিতে ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত একটি প্রক্রিয়া।

স্কেলিং বা গুণন

একটি সারির সমস্ত ভুক্তিকে একটি শূন্য নয় এমন ধ্রুবক দ্বারা গুণ করা।

উদাহরণস্বরূপ, ধরি আমাদের কাছে এই ম্যাট্রিক্সটি আছে:

${\begin{bmatrix}1&&2&&3\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$

এখন প্রথম সারির ওপর একটি স্কেলিং অপারেশন করা হলো, যেখানে সারিটিকে -২ দ্বারা গুণ করা হয়েছে:

${\begin{bmatrix}-2&&-4&&-6\\2&&3&&1\end{bmatrix}}$