রৈখিক বীজগণিত/সাধারণ সিস্টেম

m-সংখ্যক সমীকরণ বিশিষ্ট ব্যবস্থাটি বিবেচনা করুন:

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}$
$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}$
$a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+\ldots +a_{3n}x_{n}=b_{3}$
$\vdots$
$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\ldots +a_{mn}x_{n}=b_{m}$

এবং ম্যাট্রিক্সসমূহ:

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

$A_{1}=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{matrix}}\right)$

ক্রোনেকার-ক্যাপেলি উপপাদ্য

একটি সাধারণ রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থার সমাধান থাকবে যদি $A$ এর র‍্যাঙ্ক এবং $A_{1}$ এর র‍্যাঙ্ক সমান হয়। আর যদি $A$ এর র‍্যাঙ্ক $A_{1}$ এর র‍্যাঙ্কের চেয়ে কম হয়, তবে সমীকরণ ব্যবস্থাটির কোনো সমাধান থাকবে না।

প্রমাণ

রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থার সমাধান কেবল তখনই থাকে যখন $A_{1}$ এর শেষ কলামটি অন্য কলামগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ হয়। যদি এটি সত্য হয়, তবে পূর্বে প্রমাণিত একটি উপপাদ্য অনুযায়ী, $A$ এর কলাম স্প্যান এবং $A_{1}$ এর কলাম স্প্যান একই হবে। ফলে তাদের র‍্যাঙ্কও সমান হবে।

এখন ধরা যাক, তাদের র‍্যাঙ্ক সমান। যেহেতু তাদের কলাম স্প্যানের মাত্রা একই, তাই $A$ এর ভিত্তি কলামগুলো $A_{1}$ এরও একটি ভিত্তি কলাম গঠন করবে। সুতরাং, তাদের কলাম স্প্যান একই এবং শেষ কলামটিও $A$ এর কলাম স্প্যানের অন্তর্ভুক্ত। এর অর্থ হলো, শেষ কলামটি অন্য কলামগুলোর ওপর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল এবং এই রৈখিক নির্ভরশীলতাই হলো ওই সমীকরণ ব্যবস্থার সমাধান।

ধরা যাক, $A_{1}$ এর র‍্যাঙ্ক $A$ এর চেয়ে বেশি। এর অন্য একটি প্রমাণ হলো — যদি আমরা ধরি $A$ এর র‍্যাঙ্ক হলো $r$, তবে $b$ যদি $\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{r}\}$ সাথে রৈখিক হয়, তবে এটি প্রমাণিত হয় যে $\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{r},b\}$ এর র‍্যাঙ্কও $r$ হবে; ফলে উপপাদ্যটি সমাধান হয়ে যায়। কিন্তু $b$ যদি $\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{r}\}$ ব্যবস্থার সাথে রৈখিক সমাবেশ না গঠন করে, তবে এর অর্থ হলো $\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{r},b\}$ হলো $\{a_{1},\dots ,a_{n},b\}$ ব্যবস্থার একটি ভিত্তি। এমতাবস্থায় $r<i<n$ শর্তে যেকোনো $a_{i}$ যুক্ত করলেও র‍্যাঙ্ক বাড়বে না। অর্থাৎ $\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b\}$ এর র‍্যাঙ্ক হবে ${\text{Rank}}(A)+1$। এই পরিস্থিতিতে সমীকরণ ব্যবস্থাটির সমাধান করা সম্ভব নয়।