বিষয়বস্তুতে চলুন

রৈখিক বীজগণিত/সাধারণ = বিশেষ + সমজাতীয়/সমাধান

আন্তঃউইকি সংযোগ দিন
উইকিবই থেকে

সমাধান

[সম্পাদনা]
এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
সমস্যা ১

প্রতিটি সমীকরণ জোটের সমাধান করো। ভেক্টর ব্যবহার করে সমাধান সেট প্রকাশ করো। বিশেষ সমাধান এবং সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট নির্ণয় করো।

  1. 3x+6y=18x+2y=6
  2. x+y=1x−y=−1
  3. x1+x3=4x1−x2+2x3=54x1−x2+5x3=17
  4. 2a+b−c=22a+c=3a−b=0
  5. x+2y−z=32x+y+w=4x−y+z+w=1
  6. x+z+w=42x+y−w=23x+y+z=7
উত্তর

এগুলোর গাণিতিক হিসাবের জন্য, পূর্ববর্তী উপবিভাগের উত্তরগুলো দেখো।

  1. সমাধান সেট হলো
    {(60)+(−21)y|y∈ℝ}.
    এখানে বিশেষ সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো
    (60) এবং {(−21)y|y∈ℝ}.
  2. সমাধান সেট হলো
    {(01)}.
    বিশেষ সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো
    (01) এবং {(00)}
  3. সমাধান সেট হলো
    {(4−10)+(−111)x3|x3∈ℝ}.
    একটি বিশেষ সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো
    (4−10) এবং {(−111)x3|x3∈ℝ}.
  4. সমাধান সেটটি হলো একটি সিঙ্গেলটন
    {(111)}.
    একটি বিশেষ সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো
    (111) এবং {(000)t|t∈ℝ}.
  5. সমাধান সেট হলো
    {(5/32/300)+(−1/32/310)z+(−2/31/301)w|z,w∈ℝ}.
    একটি বিশেষ সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো
    (5/32/300) এবং {(−1/32/310)z+(−2/31/301)w|z,w∈ℝ}.
  6. এই সমীকরণ জোটের সমাধান সেটটি ফাঁকা। সুতরাং, এর কোনো বিশেষ সমাধান নেই। সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো
    {(−1210)z+(−1301)w|z,w∈ℝ}.
সমস্যা ২

প্রতিটি সমীকরণ জোটের সমাধান করো এবং ভেক্টর নোটেশনে সমাধান সেট দাও। বিশেষ সমাধান এবং সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান নির্ণয় করো।

  1. 2x+y−z=14x−y=3
  2. x−z=1y+2z−w=3x+2y+3z−w=7
  3. x−y+z=0y+w=03x−2y+3z+w=0−y−w=0
  4. a+2b+3c+d−e=13a−b+c+d+e=3
উত্তর

পূর্ববর্তী উপবিভাগের উত্তরগুলোতে সারি-অপারেশনগুলো দেখানো হয়েছে।

  1. সমাধান সেট হলো
    {(2/3−1/30)+(1/62/31)z|z∈ℝ}.
    একটি বিশেষ সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো
    (2/3−1/30) এবং {(1/62/31)z|z∈ℝ}.
  2. সমাধান সেট হলো
    {(1300)+(1−210)z|z∈ℝ}.
    একটি বিশেষ সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো
    (1300) এবং {(1−210)z|z∈ℝ}.
  3. সমাধান সেট হলো
    {(0000)+(−1010)z+(−1−101)w|z,w∈ℝ}.
    একটি বিশেষ সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো
    (0000) এবং {(−1010)z+(−1−101)w|z,w∈ℝ}.
  4. সমাধান সেট হলো
    {(10000)+(−5/7−8/7100)c+(−3/7−2/7010)d+(−1/74/7001)e|c,d,e∈ℝ}.
    একটি বিশেষ সমাধান এবং সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের সমাধান সেট হলো
    (10000) এবং {(−5/7−8/7100)c+(−3/7−2/7010)d+(−1/74/7001)e|c,d,e∈ℝ}.
এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
সমস্যা ৩

নিচের সমীকরণ জোটের জন্য

2x−y−w=3y+z+2w=2x−2y−z=−1

এর মধ্যে কোনটিকে কোনো সাধারণ সমাধানের বিশেষ সমাধান অংশ হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে?

  1. (0−350)
  2. (2110)
  3. (−1−48−1)
উত্তর

শুধুমাত্র মানগুলো বসিয়ে দেখো যে সেগুলো তিনটি সমীকরণকেই সিদ্ধ করে কি না।

  1. না।
  2. হ্যাঁ।
  3. হ্যাঁ।
এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
সমস্যা ৪

লেমা ৩.৮ অনুসারে, যেকোনো বিশেষ সমাধানকে p→ এর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। যদি সম্ভব হয়, তবে এই সমীকরণ জোটের একটি সাধারণ সমাধান নির্ণয় করো

x−y+w=42x+3y−z=0y+z+w=4

যা প্রদত্ত ভেক্টরটিকে তার বিশেষ সমাধান হিসেবে ব্যবহার করে।

  1. (0004)
  2. (−51−710)
  3. (2−111)
উত্তর

সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটে গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়

(1−101023−10001110)→−2ρ1+ρ2(1−101005−1−2001110)→−(1/5)ρ2+ρ3(1−101005−1−20006/57/50)

সুতরাং এটি হলো সমমাত্রিক সমস্যাটির সমাধান:

{(−5/61/6−7/61)w|w∈ℝ}.
  1. ঐ ভেক্টরটি প্রকৃতপক্ষে একটি বিশেষ সমাধান, তাই নির্ণেয় সাধারণ সমাধানটি হলো
    {(0004)+(−5/61/6−7/61)w|w∈ℝ}.
  2. ঐ ভেক্টরটি একটি বিশেষ সমাধান, তাই নির্ণেয় সাধারণ সমাধানটি হলো
    {(−51−710)+(−5/61/6−7/61)w|w∈ℝ}.
  3. ঐ ভেক্টরটি সমীকরণ জোটটির সমাধান নয় কারণ এটি তৃতীয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে না। এ ধরনের কোনো সাধারণ সমাধানের অস্তিত্ব নেই।
সমস্যা ৫

এদের মধ্যে একটি হলো নন-সিঙ্গুলার এবং অন্যটি হলো সিঙ্গুলার। কোনটি কী?

  1. (134−12)
  2. (13412)
উত্তর

প্রথমটি হলো নন-সিঙ্গুলার এবং দ্বিতীয়টি হলো সিঙ্গুলার। গাউসের পদ্ধতি অনুসরণ করে দেখো যে ইচেলন আকৃতির ফলাফলের কর্ণের প্রতিটি ভুক্তিতে অশূন্য (non-0) সংখ্যা রয়েছে কি না।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
সমস্যা ৬

সিঙ্গুলার নাকি নন-সিঙ্গুলার?

  1. (1213)
  2. (12−3−6)
  3. (121131) (সতর্ক থেকো!)
  4. (121113347)
  5. (221105−114)
উত্তর
  1. নন-সিঙ্গুলার:
    →−ρ1+ρ2(1201)
    এর শেষে প্রতিটি সারিতে একটি লিডিং ভুক্তি থাকে।
  2. সিঙ্গুলার:
    →3ρ1+ρ2(1200)
    এর শেষে 2 নং সারিতে কোনো লিডিং ভুক্তি থাকে না।
  3. কোনোটিই নয়। এই শব্দ দুটির যেকোনোটি প্রযোজ্য হতে হলে ম্যাট্রিক্সটিকে অবশ্যই বর্গ ম্যাট্রিক্স হতে হবে।
  4. সিঙ্গুলার।
  5. নন-সিঙ্গুলার।
এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
সমস্যা ৭

প্রদত্ত ভেক্টরটি কি প্রদত্ত সেট দ্বারা উৎপন্ন সেটের অন্তর্ভুক্ত?

  1. (23), {(14),(15)}
  2. (−101), {(210),(101)}
  3. (130), {(104),(215),(330),(421)}
  4. (1011), {(2101),(3002)}
উত্তর

প্রতিটি ক্ষেত্রে আমাদের সিদ্ধান্ত নিতে হবে যে ভেক্টরটি ঐ সেটের ভেক্টরগুলোর কোনো রৈখিক সমাবেশ কি না।

  1. হ্যাঁ। সমাধান করো
    c1(14)+c2(15)=(23)
    এর সাহায্যে
    (112453)→−4ρ1+ρ2(11201−5)
    এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে যে সেখানে c1 ও c2 রয়েছে যা এই সমাবেশটি গঠন করে।
  2. না। সারি লঘুকরণ
    (21−1100011)→−(1/2)ρ1+ρ2(21−10−1/21/2011)→2ρ2+ρ3(21−10−1/21/2002)
    দেখায় যে
    c1(210)+c2(101)=(−101)
    এর কোনো সমাধান নেই।
  3. হ্যাঁ। সারি লঘুকরণ
    (123410132345010)→−4ρ1+ρ3(12341013230−3−12−15−4)→3ρ2+ρ3(123410132300−3−95)
    দেখায় যে লেখার অসীম সংখ্যক উপায় রয়েছে
    {(c1c2c3c4)=(−108−5/30)+(−97−31)c4|c4∈ℝ}
    যেখানে
    (130)=c1(104)+c2(215)+c3(330)+c4(421).
  4. না। তৃতীয় উপাংশগুলোর দিকে লক্ষ্য করো।
সমস্যা ৮

প্রমাণ করো যে, নন-সিঙ্গুলার সহগ ম্যাট্রিক্স বিশিষ্ট যেকোনো রৈখিক সমীকরণ জোটের একটি সমাধান আছে এবং সেই সমাধানটি অনন্য।

উত্তর

যেহেতু সহগ ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার, গাউসের পদ্ধতির শেষ ধাপে এমন একটি ইচেলন আকৃতি পাওয়া যায় যেখানে প্রতিটি চলক একটি সমীকরণকে নেতৃত্ব দেয়। পশ্চাৎ প্রতিস্থাপন একটি অনন্য সমাধান প্রদান করে।

(সমাধানটি অনন্য হওয়ার আরেকটি উপায় হলো, সংজ্ঞানুসারে নন-সিঙ্গুলার সহগ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের একটি অনন্য সমাধান থাকে। যেহেতু সাধারণ সমাধান হলো একটি বিশেষ সমাধান এবং প্রতিটি সমমাত্রিক সমাধানের যোগফল, তাই সাধারণ সমাধানের (সর্বোচ্চ) একটি উপাদান থাকে।)

সমস্যা ৯

সত্যি কথা বলতে, লেমা ৩.৭ এর প্রমাণে আরেকটি জটিল বিষয় রয়েছে। যদি কোনো অ-"0=0" সমীকরণ না থাকে, তবে কী হবে? (এর পরে আর কোনো জটিল বিষয় নেই।)

উত্তর

এক্ষেত্রে সমাধান সেটটি হলো সম্পূর্ণ ℝn, এবং একে প্রয়োজনীয় আকারে প্রকাশ করা যায়

{c1(10⋮0)+c2(01⋮0)+⋯+cn(00⋮1)|c1,…,cn∈ℝ}.
এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য
সমস্যা ১০

প্রমাণ করো যে, যদি s→ এবং t→ কোনো সমমাত্রিক সমীকরণ জোটকে সিদ্ধ করে, তবে এই ভেক্টরগুলোও তা করবে।

  1. s→+t→
  2. 3s→
  3. ks→+mt→ যেখানে k,m∈ℝ

এই কথার মধ্যে কী ভুল আছে: "এই তিনটি প্রমাণ করে যে, যদি কোনো সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের একটি সমাধান থাকে তবে তার অনেকগুলো সমাধান থাকবে — একটি সমাধানের যেকোনো গুণিতক হলো আরেকটি সমাধান, এবং সমাধানগুলোর যেকোনো যোগফলও একটি সমাধান — তাই এমন কোনো সমমাত্রিক সমীকরণ জোট নেই যার ঠিক একটি মাত্র সমাধান আছে।"?

উত্তর

ধরি s→,t→∈ℝn এবং লিখি

s→=(s1⋮sn) এবং t→=(t1⋮tn).

আরও ধরি, সমমাত্রিক সমীকরণ জোটটিতে i-তম সমীকরণটি হলো ai,1x1+⋯+ai,nxn=0।

  1. পরীক্ষাটি সহজ:
    ai,1(s1+t1)+⋯+ai,n(sn+tn)=(ai,1s1+⋯+ai,nsn)+(ai,1t1+⋯+ai,ntn)=0+0.
  2. এটিও অনুরূপ:
    ai,1(3s1)+⋯+ai,n(3sn)=3(ai,1s1+⋯+ai,nsn)=3⋅0=0.
  3. এটি খুব একটা কঠিন নয়:
    ai,1(ks1+mt1)+⋯+ai,n(ksn+mtn)=k(ai,1s1+⋯+ai,nsn)+m(ai,1t1+⋯+ai,ntn)=k⋅0+m⋅0.

ঐ যুক্তিতে ভুলটি হলো, শূন্য ভেক্টরের যেকোনো রৈখিক সমাবেশ করলে পুনরায় শূন্য ভেক্টরই পাওয়া যায়।

সমস্যা ১১

প্রমাণ করো যে, শুধুমাত্র মূলদ সহগ ও ধ্রুবক বিশিষ্ট কোনো সমীকরণ জোটের সমাধান থাকলে, তার অন্তত একটি সার্বিক-মূলদ সমাধান থাকবে। এর কি অসীম সংখ্যক সমাধান থাকতেই হবে?

উত্তর

প্রথমে প্রমাণটি দেখা যাক।

গাউসের পদ্ধতিতে শুধুমাত্র মূলদ সংখ্যা ব্যবহার করা হবে (যেমন, −(m/n)ρi+ρj)। সুতরাং প্রতিটি ভেক্টরের উপাংশ হিসেবে শুধুমাত্র মূলদ সংখ্যা ব্যবহার করে সমাধান সেটটিকে প্রকাশ করা যায়। এখন বিশেষ সমাধানটি সার্বিক-মূলদ।

অসীম সংখ্যক (মূলদ ভেক্টর) সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি সংশ্লিষ্ট সমমাত্রিক সমীকরণ জোটের অসীম সংখ্যক (বাস্তব ভেক্টর) সমাধান থাকে। কারণ যেকোনো প্যারামিটারকে মূলদ হিসেবে নির্ধারণ করলে একটি সার্বিক-মূলদ সমাধান তৈরি হবে।

'https://bn.wikibooks.org/w/index.php?title=রৈখিক_বীজগণিত/সাধারণ_%3D_বিশেষ_%2B_সমজাতীয়/সমাধান&oldid=99744' থেকে আনীত