রৈখিক বীজগণিত/সাধারণ = বিশেষ + সমজাতীয়

সমাধান সেটের বিবরণ

পূর্ববর্তী উপ-অনুচ্ছেদে সমাধান সেটের অনেক বিবরণ দেওয়া আছে। সেগুলো সবই একটি প্যাটার্ন মেনে চলে। তাদের মধ্যে একটি ভেক্টর থাকে যা সিস্টেমটির একটি নির্দিষ্ট সমাধান, এর সাথে কিছু অন্যান্য ভেক্টরের একটি অনির্দিষ্ট সমাবেশ যোগ করা হয়। উদাহরণ ২.১৩ এর সমাধান সেটটি তা দেখায়।

$\left\{\underbrace {\begin{pmatrix}0\\4\\0\\0\\0\end{pmatrix}} _{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle {\text{particular}}\\[-5pt]\scriptstyle {\text{solution}}\end{array}}+\underbrace {w{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\\1\\0\end{pmatrix}}+u{\begin{pmatrix}1/2\\-1\\1/2\\0\\1\end{pmatrix}}} _{\begin{array}{c}\\[-19pt]\scriptstyle {\text{unrestricted}}\\[-5pt]\scriptstyle {\text{combination}}\end{array}}\,{\big |}\,w,u\in \mathbb {R} \right\}$

এই সমাবেশটি অনির্দিষ্ট কারণ $w$ এবং $u$ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে — এখানে "যেন $2w-u=0$" জাতীয় কোনো শর্ত নেই যা $w$ ও $u$ জোড়াগুলোকে সীমাবদ্ধ করে।

এই উদাহরণটি দেখায় যে, একটি অসীম সমাধান সেটও একই প্যাটার্ন বা নিয়ম মেনে চলে। আমরা অন্য দুই ধরণের সমাধান সেটকেও একই নিয়মের মধ্যে পড়ে বলে ধরে নিতে পারি। একটি মাত্র উপাদান বিশিষ্ট সমাধান সেট এই নিয়মে মিলে যায় কারণ এটির একটি নির্দিষ্ট সমাধান থাকে এবং এর অনিয়ন্ত্রিত বা মুক্ত কম্বিনেশনের অংশটি হয় একটি শূন্য সমষ্টি (অর্থাৎ, উপরের উদাহরণের মতো দুটি ভেক্টরের কম্বিনেশন বা একটি ভেক্টরের কম্বিনেশন হওয়ার পরিবর্তে, এটি হয় কোনো ভেক্টর ছাড়া বা শূন্য ভেক্টরের কম্বিনেশন)। আর একটি শূন্য-উপাদান বিশিষ্ট সমাধান সেটও এই নিয়মে মিলে যায় কারণ এটির কোনো নির্দিষ্ট সমাধান থাকে না, এবং তাই এই আকারের যোগফলের সেটটি সম্পূর্ণ খালি বা ফাঁকা হয়।

আমরা দেখাব যে পূর্ববর্তী উপ-অনুচ্ছেদের উদাহরণগুলো প্রতিনিধিত্বমূলক, এবং উপরে আলোচিত বিবরণ প্যাটার্নটি প্রতিটি সমাধান সেটের জন্যই প্রযোজ্য।

উপপাদ্য ৩.১

যেকোনো রৈখিক সিস্টেমের জন্য কিছু ভেক্টর ${\vec {\beta }}_{1}$, ..., ${\vec {\beta }}_{k}$ থাকে যাতে সমাধান সেটকে নিচের মত করে বর্ণনা করা যায়

$\left\{{\vec {p}}+c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\,\cdots \,+c_{k}{\vec {\beta }}_{k}\,{\big |}\,c_{1},\,\ldots \,,c_{k}\in \mathbb {R} \right\}$

যেখানে ${\vec {p}}$ হলো যে-কোনো একটি নির্দিষ্ট সমাধান এবং সিস্টেমটিতে $k$ সংখ্যক মুক্ত চলক আছে।

এই বিবরণের দুইটি অংশ: নির্দিষ্ট সমাধান ${\vec {p}}$ এবং ${\vec {\beta }}$ গুলোর অনির্দিষ্ট রৈখিক সমাবেশ। আমরা উপপাদ্যটি দুইটি সংশ্লিষ্ট অংশে প্রমাণ করব, দুইটি লেমার সাহায্যে।

সমজাতীয় সিস্টেমসমূহ

প্রথমে আমরা অনির্দিষ্ট সমাবেশ অংশের দিকে মনোযোগ দেব। এটি করার জন্য আমরা এমন সিস্টেম বিবেচনা করি যেখানে শূন্য ভেক্টর একটি নির্দিষ্ট সমাধান, ফলে ${\vec {p}}+c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}$ কে সংক্ষেপে $c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}$ লেখা যায়।

সংজ্ঞা ৩.২

একটি রৈখিক সমীকরণকে সমজাতীয় বলা হয় যদি তার ধ্রুবক পদ শূন্য হয়, অর্থাৎ, যদি তাকে $a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\,\cdots \,+a_{n}x_{n}=0$ আকারে লেখা যায়।

(এগুলো "সমজাতীয়" কারণ এর সকল পদ চলকের একই ঘাত — প্রথম ঘাত — বহন করে, এমনকি একটি "$0x_{0}$" পদও যা আমরা কল্পনায় ডানপাশে বসাতে পারি।)

উদাহরণ ৩.৩

যেকোনো রৈখিক সিস্টেমের সাথে, যেমন

${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&4y&=3\\2x&-&y&=1\end{array}}$

আমরা ডানপক্ষ শূন্য বসিয়ে একটি সমজাতীয় সমীকরণজোট তৈরি করতে পারি।

${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&4y&=0\\2x&-&y&=0\end{array}}$

রৈখিক সিস্টেমের সাথে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের প্রতি আমাদের আগ্রহ বোঝা যায় সিস্টেমটির সরলীকরণ

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&4y&=3\\2x&-&y&=1\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&4y&=3\\&&-(11/3)y&=-1\end{array}}\end{array}}$

এর সাথে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের সরলীকরণের তুলনা করলে।

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&4y&=0\\2x&-&y&=0\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-(2/3)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&4y&=0\\&&-(11/3)y&=0\end{array}}\end{array}}$

স্পষ্টতই দুটি সরলীকরণ একই পথে চলে। তাই মূল সিস্টেম না দেখে তার সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেম কেমন সরলীকৃত হয় তা পর্যবেক্ষণ করে আমরা রৈখিক সিস্টেমের সরলীকরণ অধ্যয়ন করতে পারি।

মূল সিস্টেমের চেয়ে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেম অধ্যয়নের একটি বড় সুবিধা আছে। অসমজাতীয় সিস্টেমগুলো অসংগত হতে পারে। কিন্তু একটি সমজাতীয় সিস্টেম অবশ্যই সংগত হবে কারণ অন্তত একটি সমাধান, শূন্য ভেক্টর, সবসময় থাকে।

সংজ্ঞা ৩.৪

সকল শূন্য দিয়ে গঠিত একটি কলাম বা সারি ভেক্টরকে শূন্য ভেক্টর বলা হয় এবং ${\vec {0}}$ দ্বারা নির্দেশ করা হয়।

বিভিন্ন আকৃতির শূন্য ভেক্টর আছে, যেমন এক-সারির শূন্য ভেক্টর, দুই-সারির শূন্য ভেক্টর ইত্যাদি। তবু, প্রাসঙ্গিক আকারটি পরিষ্কার হলে মানুষ প্রায়ই "শূন্য ভেক্টর" বলেই উল্লেখ করে।

উদাহরণ ৩.৫

কিছু সমজাতীয় সিস্টেমের একমাত্র সমাধান হলো শূন্য ভেক্টর।

${\begin{array}{*{3}{rc}r}3x&+&2y&+&z&=&0\\6x&+&4y&&&=&0\\&&y&+&z&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}3x&+&2y&+&z&=&0\\&&&&-2z&=&0\\&&y&+&z&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}3x&+&2y&+&z&=&0\\&&y&+&z&=&0\\&&&&-2z&=&0\end{array}}$

উদাহরণ ৩.৬

কিছু সমজাতীয় সিস্টেমের অসংখ্য সমাধান থাকে। একটি উদাহরণ হলো বইয়ের প্রথম পাতার সমস্যা।

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}7x&&&-&7z&&&=&0\\8x&+&y&-&5z&-&2w&=&0\\&&y&-&3z&&&=&0\\&&3y&-&6z&-&w&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-(8/7)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}7x&&&-&7z&&&=&0\\&&y&+&3z&-&2w&=&0\\&&y&-&3z&&&=&0\\&&3y&-&6z&-&w&=&0\end{array}}\\&{\xrightarrow[{-3\rho _{2}+\rho _{4}}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}7x&&&-&7z&&&=&0\\&&y&+&3z&-&2w&=&0\\&&&&-6z&+&2w&=&0\\&&&&-15z&+&5w&=&0\end{array}}\\&{\xrightarrow[{}]{-(5/2)\rho _{3}+\rho _{4}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}7x&&&-&7z&&&=&0\\&&y&+&3z&-&2w&=&0\\&&&&-6z&+&2w&=&0\\&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

সমাধান সেট:

$\{{\begin{pmatrix}1/3\\1\\1/3\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,w\in \mathbb {R} \}$

এখানে শূন্য ভেক্টর ছাড়াও অনেক ভেক্টর আছে (যদি $w$ কে অণুর সংখ্যা ধরি তবে সমাধান তখনই অর্থবহ যখন $w$, $3$-এর অঋণাত্মক গুণিতক)।

এখন উপপাদ্য ৩.১ এর দুই অংশ প্রমাণের ভাষা আমাদের হাতে আছে। প্রথম লেমাটি অনির্দিষ্ট সমাবেশ নিয়ে আলোচনা করে।

লেমা ৩.৭

যেকোনো সমজাতীয় রৈখিক সিস্টেমের জন্য এমন ভেক্টর ${\vec {\beta }}_{1}$, ..., ${\vec {\beta }}_{k}$ থাকে যাতে সিস্টেমটির সমাধান সেট হয়

$\{c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}\,{\big |}\,c_{1},\ldots ,c_{k}\in \mathbb {R} \}$

যেখানে $k$ হলো সিস্টেমটির সোপান আকারে মুক্ত চলকের সংখ্যা।

প্রমাণের আগে আমরা পূর্ববর্তী উপ-অনুচ্ছেদে করা পশ্চাৎ প্রতিস্থাপনের হিসাব স্মরণ করব।

মনে করি আমরা একটি সিস্টেমকে এই সোপান আকারে এনেছি।

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&-&z&+&2w&=&0\\&&-3y&+&z&&&=&0\\&&&&&&-w&=&0\end{array}}$

এরপর আমরা পশ্চাৎ প্রতিস্থাপন করে প্রতিটি চলককে মুক্ত চলক $z$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করি। নিচ থেকে ওপরে কাজ করে পাই প্রথমে $w=0\cdot z$, তারপর $y=(1/3)\cdot z$, এবং উপরের সমীকরণ $x+2((1/3)z)-z+2(0)=0$-এ বসিয়ে পাই $x=(1/3)\cdot z$। সুতরাং, পশ্চাৎ প্রতিস্থাপন নিচের সমীকরণ থেকে শুরু করে মুক্ত চলকগুলোকে পরামিতি হিসেবে নিয়ে সারি-বাই-সারি উপরে উঠে সমাধান সেটের পরামিতিকরণ দেয়। নিচের প্রমাণটি এই প্যাটার্ন অনুসরণ করে।

মন্তব্য: অর্থাৎ, এই প্রমাণটি শুধু পশ্চাৎ প্রতিস্থাপনের হিসাব-রক্ষার একটি যাচাই করে দেখায় যে আমরা কোনো দুর্বোধ্য ক্ষেত্র উপেক্ষা করিনি, যেখানে এই পদ্ধতি ব্যর্থ হতে পারে, যেমন শূন্য দিয়ে ভাগের পরিস্থিতি। তাই এই যুক্তিটি বেশ বিস্তারিত হলেও কোনো নতুন অন্তর্দৃষ্টি দেয় না। তবুও আমরা এটি দুটি কারণে লিখেছি। প্রথমত, ফলাফলটি প্রয়োজন — আমরা যে গণনামূলক প্রক্রিয়া ব্যবহার করি তা প্রতিশ্রুতি অনুযায়ী কাজ করে তা যাচাই করা দরকার। দ্বিতীয়ত, পশ্চাৎ প্রতিস্থাপনের সারি-বাই-সারি প্রকৃতি এমন একটি প্রমাণের দিকে নিয়ে যায় যা গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করে। এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ এবং অ-স্পষ্ট প্রমাণ কৌশল যা আমরা এই বইয়ে বেশ কয়েকবার ব্যবহার করব। এখানে একটি আরোহ যুক্তি করা আমাদের সেই কৌশল শেখার সুযোগ দেয় যেখানে প্রমাণের উপাদান সহজবোধ্য। তাই কৌশলটি অধ্যয়ন করা যায়। যেসব পাঠক আরোহ যুক্তির সাথে অপরিচিত তারা দ্বিতীয় অধ্যায়ে যাওয়ার আগে অবশ্যই এটি এবং পরবর্তী অধ্যায়ের আরোহগুলো আয়ত্ত করুন।

প্রমাণ

প্রথমে গাউসের পদ্ধতি ব্যবহার করে সমজাতীয় সিস্টেমটিকে সোপান আকারে পরিণত করি। আমরা দেখাব যে প্রতিটি অগ্রণী চলককে মুক্ত চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। এটি যুক্তিটি শেষ করবে কারণ এরপর আমরা ঐ মুক্ত চলকগুলোকে পরামিতি হিসেবে ব্যবহার করতে পারব। অর্থাৎ, ${\vec {\beta }}$ গুলো হলো মুক্ত চলকগুলোর সহগের ভেক্টর (যেমন উদাহরণ 3.6-এ সমাধান ছিল $x=(1/3)w$, $y=w$, $z=(1/3)w$, এবং $w=w$)।

আমরা গাণিতিক আরোহের মাধ্যমে এগোব, যার দুটি ধাপ আছে। যুক্তির ভিত্তি ধাপ হবে সবচেয়ে নিচের "$0=0$" নয় এমন সমীকরণটির দিকে নজর দেওয়া এবং তার অগ্রণী চলককে মুক্ত চলকের মাধ্যমে লেখা। যুক্তির আরোহ ধাপ হবে দেখানো যে যদি আমরা নিচের $t$ সংখ্যক সারির অগ্রণী চলকগুলো মুক্ত চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি, তাহলে আমরা তার ওপরের পরবর্তী সারি — নিচ থেকে $t+1$-তম সারির — অগ্রণী চলককেও মুক্ত চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারব। এই দুই ধাপে উপপাদ্যটি প্রমাণিত হবে, কারণ ভিত্তি ধাপে এটি নিচের সমীকরণের জন্য সত্য, এবং আরোহ ধাপে নিচের সমীকরণের জন্য সত্য হওয়ায় দেখানো যায় যে এটি তার ওপরেরটির জন্যও সত্য, তারপর আরোহ ধাপের আরেকবার প্রয়োগে তৃতীয় সারির জন্যও সত্য, ইত্যাদি।

ভিত্তি ধাপের জন্য, সবচেয়ে নিচের "$0=0$" নয় এমন সমীকরণটি বিবেচনা করি (সব সমীকরণ "$0=0$" হলে ঘটনাটি তুচ্ছ)। একে $m$-তম সারি বলি:

$a_{m,\ell _{m}}x_{\ell _{m}}+a_{m,\ell _{m}+1}x_{\ell _{m}+1}+\cdots +a_{m,n}x_{n}=0$

যেখানে $a_{m,\ell _{m}}\neq 0$। (এখানে "$\ell$" "leading" বা অগ্রণী বোঝাচ্ছে, তাই $a_{m,\ell _{m}}$ মানে "$m$ সারিতে অগ্রণী চলকের সহগ"।) এই সমীকরণে অগ্রণী চলক $x_{\ell _{m}}$ ছাড়া অন্য কোনো চলক থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে। যদি অন্য চলক $x_{\ell _{m}+1}$ ইত্যাদি থাকে, তাহলে তারা অবশ্যই মুক্ত চলক হবে কারণ এটি সবচেয়ে নিচের "$0=0$" নয় এমন সারি। তাদের ডানপাশে সরিয়ে $a_{m,\ell _{m}}$ দিয়ে ভাগ করি

$x_{\ell _{m}}=(-a_{m,\ell _{m}+1}/a_{m,\ell _{m}})x_{\ell _{m}+1}+\cdots +(-a_{m,n}/a_{m,\ell _{m}})x_{n}$

এভাবে এই অগ্রণী চলককে মুক্ত চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। যদি এই সমীকরণে কোনো মুক্ত চলক না থাকে তবে $x_{\ell _{m}}=0$ হয় (প্রমাণের পর উল্লেখিত "সতর্কতার বিষয়" দেখুন)।

আরোহ ধাপের জন্য আমরা ধরে নেই যে $m$-তম সমীকরণ, $(m-1)$-তম, ..., এবং $(m-t)$-তম সমীকরণের জন্য আমরা অগ্রণী চলককে মুক্ত চলকের মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি (যেখানে $0\leq t<m$)। প্রমাণ করতে হবে যে এর উপরের সমীকরণ $(m-(t+1))$-তমের জন্যও একই সত্য। এজন্য নিচের প্রতিটি অগ্রণী চলক $x_{\ell _{m}},\ldots ,x_{\ell _{m-t}}$-এর মুক্ত-চলক প্রকাশকে প্রতিস্থাপিত করি। ফলাফল হয় নিচের রূপ:

$a_{m-(t+1),\ell _{m-(t+1)}}x_{\ell _{m-(t+1)}}+{\text{মুক্ত চলকের গুণিতকের সমষ্টি}}=0$

যেখানে $a_{m-(t+1),\ell _{m-(t+1)}}\neq 0$। আমরা মুক্ত চলকগুলো ডানপাশে সরিয়ে $a_{m-(t+1),\ell _{m-(t+1)}}$ দিয়ে ভাগ করি, শেষে $x_{\ell _{m-(t+1)}}$ মুক্ত চলকের মাধ্যমে প্রকাশিত হয়।

যেহেতু আমরা ভিত্তি ও আরোহ ধাপ দুটিই দেখিয়েছি, গাণিতিক আরোহ নীতি অনুযায়ী প্রস্তাবনাটি সত্য।

আমরা বলি যে সেট $\{c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\cdots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}\,{\big |}\,c_{1},\ldots ,c_{k}\in \mathbb {R} \}$ উৎপন্ন বা স্প্যান করা হয়েছে ভেক্টরের সেট $\{{{\vec {\beta }}_{1}},\ldots ,{{\vec {\beta }}_{k}}\}$ দিয়ে। এই সংজ্ঞায় একটি সতর্কতার বিষয় আছে। যদি কোনো সমজাতীয় সিস্টেমের একমাত্র সমাধান শূন্য ভেক্টর হয়, তবে আমরা বলি সমাধান সেটটি ফাঁকা সেট দ্বারা উৎপন্ন। এটি অন্যান্য সমাধান সেটের প্যাটার্নের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ: উপরের প্রমাণে সমাধান সেটটি $c$-গুলোকে মুক্ত চলক ধরে পাওয়া যায় এবং যদি একটিমাত্র সমাধান থাকে তবে কোনো মুক্ত চলক নেই।

ঘটনাক্রমে, এই প্রমাণটি দেখায়, যেমন উদাহরণ 2.4 এর পর আলোচিত হয়েছে, সমাধান সেটগুলো সবসময় মুক্ত চলক ব্যবহার করে পরামিতিকরণ করা যায়।

অসমজাতীয় সিস্টেমসমূহ

পরবর্তী লেমাটি উপপাদ্য ৩.১ এর প্রমাণ সম্পূর্ণ করবে, সমাধান সেটের বিবরণের নির্দিষ্ট সমাধান অংশ বিবেচনা করে।

লেমা ৩.৮

একটি রৈখিক সিস্টেমের জন্য, যেখানে ${\vec {p}}$ যে-কোনো নির্দিষ্ট সমাধান, সেখানে সমাধান সেট নিম্নোক্ত সেটের সমান।

$\{{\vec {p}}+{\vec {h}}\,{\big |}\,{\vec {h}}{\text{ satisfies the associated homogeneous system}}\}$

প্রমাণ

আমরা পারস্পরিক সেট অন্তর্ভুক্তি দেখাব, অর্থাৎ সিস্টেমের যেকোনো সমাধান উপরের সেটে আছে এবং উপরের সেটের যেকোনো কিছু সিস্টেমটির সমাধান।

প্রথম দিকের সেট অন্তর্ভুক্তির জন্য, যদি কোনো ভেক্টর সিস্টেমটি সিদ্ধ করে তবে তা উপরে বর্ণিত সেটে আছে, ধরি ${\vec {s}}$ সিস্টেমটি সিদ্ধ করে। তাহলে ${\vec {s}}-{\vec {p}}$ সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমটি সিদ্ধ করে, কারণ প্রতিটি সমীকরণ সূচক $i$-এর জন্য

${\begin{aligned}a_{i,1}(s_{1}-p_{1})+\cdots +a_{i,n}(s_{n}-p_{n})&=(a_{i,1}s_{1}+\cdots +a_{i,n}s_{n})\\&\quad -(a_{i,1}p_{1}+\cdots +a_{i,n}p_{n})\\&=d_{i}-d_{i}\\&=0\end{aligned}}$

যেখানে $p_{j}$ এবং $s_{j}$ হলো ${\vec {p}}$ এবং ${\vec {s}}$-এর $j$-তম উপাদান। আমরা ${\vec {s}}-{\vec {p}}$ কে ${\vec {h}}$ হিসাবে লিখতে পারি, যেখানে ${\vec {h}}$ সমজাতীয় সিস্টেম সমাধান করে, ফলে ${\vec {s}}$ কে প্রয়োজনীয় ${\vec {p}}+{\vec {h}}$ আকারে প্রকাশ করা যায়।

অপর দিকের সেট অন্তর্ভুক্তির জন্য, ${\vec {p}}+{\vec {h}}$ আকারের কোনো ভেক্টর নিই যেখানে ${\vec {p}}$ সিস্টেমটি সমাধান করে এবং ${\vec {h}}$ সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেম সমাধান করে, এবং লক্ষ করি যে এটি প্রদত্ত সিস্টেমটিও সিদ্ধ করে: যেকোনো সমীকরণ সূচক $i$-এর জন্য,

${\begin{aligned}a_{i,1}(p_{1}+h_{1})+\cdots +a_{i,n}(p_{n}+h_{n})&=(a_{i,1}p_{1}+\cdots +a_{i,n}p_{n})\\&\quad +(a_{i,1}h_{1}+\cdots +a_{i,n}h_{n})\\&=d_{i}+0\\&=d_{i}\end{aligned}}$

যেখানে $h_{j}$ হলো ${\vec {h}}$-এর $j$-তম উপাদান।

উপরের দুটি লেমা একত্রে উপপাদ্য ৩.১ প্রতিষ্ঠা করে। আমরা উপপাদ্যটি "${\text{general}}={\text{particular}}+{\text{homogeneous}}$" নামে মনে রাখব।

উদাহরণ ৩.৯

এই সিস্টেমটি উপপাদ্য ৩.১ প্রদর্শন করে।

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&2y&-&z&=&1\\2x&+&4y&&&=&2\\&&y&-&3z&=&0\end{array}}$

গাউসের পদ্ধতি

${\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&2y&-&z&=&1\\&&&&2z&=&0\\&&y&-&3z&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&2y&-&z&=&1\\&&y&-&3z&=&0\\&&&&2z&=&0\end{array}}$

দেখায় যে সাধারণ সমাধান একটি এক-উপাদান সেট।

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\right\}$

এই একক ভেক্টরটি নিঃসন্দেহে একটি নির্দিষ্ট সমাধান। সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেম একই সারি প্রক্রিয়ায় সরলীকৃত হয়

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&2y&-&z&=&0\\2x&+&4y&&&=&0\\&&y&-&3z&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&2y&-&z&=&0\\&&y&-&3z&=&0\\&&&&2z&=&0\end{array}}\end{array}}$

এবং তাও একটি এক-উপাদান সেট দেয়।

$\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\right\}$

উপপাদ্যটি যেমন বলে, এবং এই উপ-অনুচ্ছেদের শুরুতেও আলোচিত হয়েছে, একক-সমাধানের এই ক্ষেত্রে সাধারণ সমাধান পাওয়া যায় নির্দিষ্ট সমাধানের সাথে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের একমাত্র সমাধান যোগ করে।

উদাহরণ ৩.১০

এছাড়াও সেখানে আলোচিত হয়েছে যে সাধারণ সমাধান সেট ফাঁকা হলে তা "${\text{general}}={\text{particular}}+{\text{homogeneous}}$" প্যাটার্নের সাথে খাপ খায়। এই সিস্টেমটি গাউসের পদ্ধতি প্রদর্শন করে

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&-1\\2x&-&y&&&+&w&=&3\\x&+&y&+&3z&+&2w&=&1\end{array}}&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&-1\\&&-y&-&2z&-&w&=&5\\&&y&+&2z&+&w&=&2\end{array}}\end{array}}$

এবং দেখায় যে এর কোনো সমাধান নেই। কিন্তু সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের নিঃসন্দেহে একটি সমাধান আছে।

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&0\\2x&-&y&&&+&w&=&0\\x&+&y&+&3z&+&2w&=&0\end{array}}&{\xrightarrow[{-\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&0\\&&-y&-&2z&-&w&=&0\\&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

বাস্তবে সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধান সেট অসীম।

${\bigg \{}{\begin{pmatrix}-1\\-2\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w\,{\big |}\,z,w\in \mathbb {R} {\bigg \}}$

তবে, মূল সিস্টেমের কোনো নির্দিষ্ট সমাধান না থাকায় সাধারণ সমাধান সেট ফাঁকা — ${\vec {p}}+{\vec {h}}$ আকারের কোনো ভেক্টর নেই কারণ কোনো ${\vec {p}}\,$ নেই।

অনুসিদ্ধান্ত ৩.১১

রৈখিক সিস্টেমের সমাধান সেট হয় ফাঁকা, নয় এক-উপাদানবিশিষ্ট, নয় অসীম-উপাদানবিশিষ্ট।

প্রমাণ

আমরা তিনটি ঘটনারই উদাহরণ দেখেছি, তাই শুধু প্রমাণ করতে হবে যে এগুলোই একমাত্র সম্ভাবনা।

প্রথমে লক্ষ করি, কোনো সমজাতীয় সিস্টেমের যদি অন্তত একটি অ-${\vec {0}}$ সমাধান ${\vec {v}}$ থাকে তবে তার অসীম সংখ্যক সমাধান আছে কারণ $s{\vec {v}}$ এর গুণিতকগুলোর সেট অসীম — যদি $s\neq 1$ হয় তবে $s{\vec {v}}-{\vec {v}}=(s-1){\vec {v}}$ স্পষ্টতই অ-${\vec {0}}$, সুতরাং $s{\vec {v}}\neq {\vec {v}}$।

এখন, লেমা ৩.৮ প্রয়োগ করে সিদ্ধান্ত নিই যে একটি সমাধান সেট

$\{{\vec {p}}+{\vec {h}}\,{\big |}\,{\vec {h}}{\text{ satisfies the associated homogeneous system}}\}$

হয় ফাঁকা (যদি কোনো নির্দিষ্ট সমাধান ${\vec {p}}$ না থাকে), নয় এক-উপাদানবিশিষ্ট (যদি একটি ${\vec {p}}$ থাকে এবং সমজাতীয় সিস্টেমের একমাত্র সমাধান ${\vec {0}}$ হয়), নয় অসীম (যদি একটি ${\vec {p}}$ থাকে এবং সমজাতীয় সিস্টেমের অ-${\vec {0}}$ সমাধান থাকে, এবং পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদ অনুযায়ী তখন অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে)।

এই সারণিটি সাধারণ সমাধানের আকার নির্ধারণকারী বিষয়গুলো সারসংক্ষেপ করে।

		সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধানের সংখ্যা
		একটি	অসীম
নির্দিষ্ট সমাধান আছে?	হ্যাঁ	অনন্য সমাধান	অসীম সংখ্যক সমাধান
	না	সমাধান নেই	সমাধান নেই

সারণির ওপরের সারির বিষয়টি অপেক্ষাকৃত সরল। যখন আমরা কোনো রৈখিক সিস্টেমে গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করি, ডানপাশের ধ্রুবক উপেক্ষা করে শুধু বামপাশের সহগগুলোর দিকে লক্ষ্য রাখি, তখন হয় প্রতিটি চলক কোনো না কোনো সারির অগ্রণী হয়, নয় কোনো চলক কোনো সারির অগ্রণী হয় না, অর্থাৎ কোনো চলক মুক্ত থাকে। (অবশ্যই, "ডানপাশের ধ্রুবক উপেক্ষা" আনুষ্ঠানিকভাবে সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেম বিবেচনার মাধ্যমে করা হয়। আমরা কেবল একটি পরস্পরবিরোধী সমীকরণের সম্ভাবনা সাময়িকভাবে সরিয়ে রাখছি।)

এই সারণির ওপরের সারির বিষয়টি কার্যকরভাবে বোঝার একটি চমৎকার উপায় হলো সমান সংখ্যক সমীকরণ ও চলকবিশিষ্ট সিস্টেম বিবেচনা করা। এই সিস্টেমের একটি সমাধান থাকবে এবং তা অনন্য হবে ঠিক তখনই যদি এটি সোপান আকারে এমনিতম হয় যেখানে প্রতিটি চলক কোনো সারির অগ্রণী হয়, যা ঘটবে ঠিক তখনই যদি সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের একমাত্র সমাধান থাকে। সুতরাং, সমাধানের অনন্যতার প্রশ্নটি বিশেষভাবে আকর্ষণীয় যখন সিস্টেমে সমীকরণ ও চলকের সংখ্যা সমান হয়।

সংজ্ঞা ৩.১২

একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স নন-সিংগুলার (অনন্য সমাধানবিশিষ্ট) যদি তা এমন একটি সমজাতীয় সিস্টেমের সহগ ম্যাট্রিক্স হয় যার অনন্য সমাধান আছে। অন্যথায়, অর্থাৎ যদি তা এমন সমজাতীয় সিস্টেমের সহগ ম্যাট্রিক্স হয় যার অসীম সংখ্যক সমাধান আছে, তবে তা সিংগুলার।

উদাহরণ ৩.১৩

উদাহরণ ৩.৩, উদাহরণ ৩.৫, এবং উদাহরণ ৩.৯ এর প্রতিটির সংশ্লিষ্ট সমজাতীয় সিস্টেমের অনন্য সমাধান আছে। তাই এই ম্যাট্রিক্সগুলো নন-সিংগুলার।

${\begin{pmatrix}3&4\\2&-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3&2&1\\6&-4&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2&-1\\2&4&0\\0&1&-3\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ৩.৬ এই সমস্যা একটি সমজাতীয় সিস্টেম যার একাধিক সমাধান আছে, সুতরাং এর ম্যাট্রিক্স সিংগুলার।

${\begin{pmatrix}7&0&-7&0\\8&1&-5&-2\\0&1&-3&0\\0&3&-6&-1\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ৩.১৪

প্রথম ম্যাট্রিক্সটি নন-সিংগুলার যেখানে দ্বিতীয়টি সিংগুলার

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2\\3&6\end{pmatrix}}$

কারণ প্রথম সমজাতীয় সিস্টেমের একটি অনন্য সমাধান আছে আর দ্বিতীয়টির অসীম সংখ্যক সমাধান।

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&0\\3x&+&4y&=&0\end{array}}\qquad {\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&0\\3x&+&6y&=&0\end{array}}$

আমরা সংজ্ঞায় এই পার্থক্য করেছি কারণ একটি সিস্টেম (যেখানে সমীকরণ ও চলকের সংখ্যা সমান) দুটি ভিন্ন আচরণ করে, তার সহগ ম্যাট্রিক্স সিংগুলার নাকি নন-সিংগুলার তার ওপর নির্ভর করে। একটি নন-সিংগুলার সহগ ম্যাট্রিক্সের সিস্টেম যেকোনো ডানপক্ষের ধ্রুবকের জন্য অনন্য সমাধান রাখে: উদাহরণস্বরূপ, গাউসের পদ্ধতি দেখায় এই সিস্টেম

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&a\\3x&+&4y&=&b\end{array}}$

এর অনন্য সমাধান $x=b-2a$ এবং $y=(3a-b)/2$। অন্যদিকে, সিংগুলার সহগ ম্যাট্রিক্সের সিস্টেমের কখনোই অনন্য সমাধান থাকে না — তার হয় কোনো সমাধান নেই, নয় অসীম সংখ্যক সমাধান থাকে, যেমন নিচেরগুলো।

${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&1\\3x&+&6y&=&2\end{array}}\qquad {\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&2y&=&1\\3x&+&6y&=&3\end{array}}$

সুতরাং, "সিংগুলার" শব্দটিকে "বিপত্তিজনক" বা অন্তত "আদর্শ নয়" অর্থে ভাবা যেতে পারে।

উপরের সারণিতে দুটি বিষয় আছে। ওপরের সারির বিষয়টি আমরা ইতিমধ্যে বিবেচনা করেছি: কোনো প্রদত্ত রৈখিক সিস্টেম কোন কলামে পড়বে তা আমরা কেবল সিস্টেমের বামপাশ দেখেই বলতে পারি — ডানপাশের ধ্রুবকের এখানে কোনো ভূমিকা নেই। সারণির অন্য বিষয়, নির্দিষ্ট সমাধান আছে কিনা তা নির্ধারণ করা তুলনামূলক কঠিন। এই দুটির দিকে তাকাও

${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&2y&=&5\\3x&+&2y&=&5\end{array}}\qquad {\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&2y&=&5\\3x&+&2y&=&4\end{array}}$

এদের বামপাশ একই কিন্তু ডানপাশ ভিন্ন। স্পষ্টতই প্রথমটির সমাধান থাকলেও দ্বিতীয়টির নেই, সুতরাং এখানে ডানপাশের ধ্রুবক নির্ধারণ করছে সিস্টেমটির সমাধান আছে কি না। আমরা অনুমান করতে পারি যে রৈখিক সিস্টেমের বামপাশ সমাধানের সংখ্যা নির্ধারণ করে আর ডানপাশ নির্ধারণ করে সমাধানের অস্তিত্ব, কিন্তু এই ধারণা সঠিক নয়। এই দুই সিস্টেমের তুলনা করো

${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&2y&=&5\\4x&+&2y&=&4\end{array}}\qquad {\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&2y&=&5\\3x&+&2y&=&4\end{array}}$

এদের ডানপাশ একই কিন্তু বামপাশ ভিন্ন। প্রথমটির সমাধান আছে, দ্বিতীয়টির নেই। সুতরাং একটি সিস্টেমের ডানপাশের ধ্রুবক এককভাবে সমাধানের অস্তিত্ব নির্ধারণ করে না; বরং তা বাম ও ডানপাশের মধ্যকার কোনো মিথস্ক্রিয়ার ওপর নির্ভর করে।

এই মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কে কিছু অন্তর্দৃষ্টি পেতে, একটি সহগকে পরামিতি $c$ রেখে এই সিস্টেমটি বিবেচনা করি।

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&2y&+&3z&=&1\\x&+&y&+&z&=&1\\cx&+&3y&+&4z&=&0\end{array}}$

যদি $c=2$ হয়, এই সিস্টেমের কোনো সমাধান নেই কারণ বামপাশের তৃতীয় সারিটি প্রথম দুটির সমষ্টি, অথচ ডানপাশ তা নয়। যদি $c\neq 2$ হয় তবে এই সিস্টেমের অনন্য সমাধান আছে ($c=1$ দিয়ে চেষ্টা করো)। কোনো সিস্টেমের সমাধান থাকার জন্য, যদি বামপাশের সহগ ম্যাট্রিক্সের কোনো সারি অন্য সারিগুলোর রৈখিক সমাবেশ হয়, তাহলে ডানপাশের সেই সারির ধ্রুবকটিও ঐ একই সারিগুলোর ধ্রুবকের সমাবেশ হতে হবে।

রৈখিক সমাবেশ নিয়ে আলোচনা করলে এই মিথস্ক্রিয়া সম্পর্কে আরও স্পষ্ট ধারণা পাওয়া যাবে। এই অধ্যায়ের বাকি অংশে আমরা 'গাউসের পদ্ধতি' নিয়ে আলোচনা শেষ করব। এরপর দ্বিতীয় অধ্যায়ে আমাদের মূল আলোচনার বিষয় হবে এই রৈখিক সমাবেশ।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

প্রত্যেক সিস্টেম সমাধান কর। সমাধান সেট ভেক্টর ব্যবহার করে প্রকাশ কর। নির্দিষ্ট সমাধান এবং সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধান সেট চিহ্নিত কর।

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&6y&=&18\\x&+&2y&=&6\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&&&+&x_{3}&=&4\\x_{1}&-&x_{2}&+&2x_{3}&=&5\\4x_{1}&-&x_{2}&+&5x_{3}&=&17\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2a&+&b&-&c&=&2\\2a&&&+&c&=&3\\a&-&b&&&=&0\end{array}}$
5. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&-&z&&&=&3\\2x&+&y&&&+&w&=&4\\x&-&y&+&z&+&w&=&1\end{array}}$
6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&4\\2x&+&y&&&-&w&=&2\\3x&+&y&+&z&&&=&7\end{array}}$

সমস্যা ২

প্রত্যেক সিস্টেম সমাধান কর, সমাধান সেট ভেক্টর প্রতীকে দাও। নির্দিষ্ট সমাধান এবং সমজাতীয় সিস্টেমের সমাধান চিহ্নিত কর।

1. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&1\\4x&-&y&&&=&3\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&-&z&&&=&1\\&&y&+&2z&-&w&=&3\\x&+&2y&+&3z&-&w&=&7\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\3x&-&2y&+&3z&+&w&=&0\\&&-y&&&-&w&=&0\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{5}{rc}r}a&+&2b&+&3c&+&d&-&e&=&1\\3a&-&b&+&c&+&d&+&e&=&3\end{array}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

এই সিস্টেমটির জন্য

${\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&y&&&-&w&=&3\\&&y&+&z&+&2w&=&2\\x&-&2y&-&z&&&=&-1\end{array}}$

নিচের কোনগুলো কোনো সাধারণ সমাধানের নির্দিষ্ট সমাধান অংশ হিসেবে ব্যবহার করা যেতে পারে?

1. ${\begin{pmatrix}0\\-3\\5\\0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2\\1\\1\\0\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}-1\\-4\\8\\-1\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৪

লেমা 3.8 বলে যে কোন নির্দিষ্ট সমাধানই ${\vec {p}}$ এর জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে। সম্ভব হলে, এই সিস্টেমের এমন একটি সাধারণ সমাধান খুঁজে বের কর

${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&&&+&w&=&4\\2x&+&3y&-&z&&&=&0\\&&y&+&z&+&w&=&4\end{array}}$

যা প্রদত্ত ভেক্টরটিকে নির্দিষ্ট সমাধান হিসেবে ব্যবহার করে।

1. ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}-5\\1\\-7\\10\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2\\-1\\1\\1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৫

এদের একটি নন-সিংগুলার এবং অন্যটি সিংগুলার। কোনটি কোনটি?

1. ${\begin{pmatrix}1&3\\4&-12\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&3\\4&12\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

সিংগুলার নাকি নন-সিংগুলার?

1. ${\begin{pmatrix}1&2\\1&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&2\\-3&-6\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&2&1\\1&3&1\end{pmatrix}}$ (সাবধান!)
4. ${\begin{pmatrix}1&2&1\\1&1&3\\3&4&7\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}2&2&1\\1&0&5\\-1&1&4\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৭

প্রদত্ত ভেক্টরটি কি প্রদত্ত সেট দ্বারা উৎপন্ন সেটে আছে?

1. ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}},$ $\left\{{\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\5\end{pmatrix}}\right\}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}},$ $\left\{{\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}},$ $\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\2\\1\end{pmatrix}}\right\}$
4. ${\begin{pmatrix}1\\0\\1\\1\end{pmatrix}},$ $\left\{{\begin{pmatrix}2\\1\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\0\\0\\2\end{pmatrix}}\right\}$

সমস্যা ৮

প্রমাণ কর যে নন-সিংগুলার সহগ ম্যাট্রিক্সবিশিষ্ট যেকোনো রৈখিক সিস্টেমের একটি সমাধান আছে এবং সেই সমাধান অনন্য।

সমস্যা ৯

সত্যি বলতে গেলে, লেমা 3.7-এর প্রমাণে আরও একটি সতর্কতার বিষয় আছে। যদি কোনো "$0=0$" নয় এমন সমীকরণ না থাকে তবে কী ঘটে? (এর পরে আর সতর্কতার বিষয় নেই।)

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১০

প্রমাণ কর যে যদি ${\vec {s}}$ এবং ${\vec {t}}$ একটি সমজাতীয় সিস্টেম সিদ্ধ করে তবে নিচের ভেক্টরগুলোও তা সিদ্ধ করে।

1. ${\vec {s}}+{\vec {t}}$
2. $3{\vec {s}}$
3. $k{\vec {s}}+m{\vec {t}}$ যেখানে $k,m\in \mathbb {R}$

এতে কী ভুল: "এই তিনটি দেখায় যে একটি সমজাতীয় সিস্টেমের যদি একটি সমাধান থাকে তবে তার অসংখ্য সমাধান থাকে — একটি সমাধানের যেকোনো গুণিতক আরেকটি সমাধান, এবং সমাধানগুলোর সমষ্টিও একটি সমাধান — সুতরাং ঠিক একটি সমাধানবিশিষ্ট কোনো সমজাতীয় সিস্টেম নেই।"?

সমস্যা ১১

প্রমাণ কর যে যদি কেবল মূলদ সহগ ও ধ্রুবকবিশিষ্ট কোনো সিস্টেমের কোনো সমাধান থাকে তবে তার অন্তত একটি পূর্ণ-মূলদ সমাধান আছে। এর কি অসীম সংখ্যক সমাধান থাকতেই হবে?

সমাধান