রৈখিক বীজগণিত/সরাসরি যোগফল

ধরা যাক $V$ একটি ভেক্টর স্পেস এবং $H_{1},H_{2},H_{3},\dots ,H_{n}$ হলো $V$ -এর কতগুলো সাবস্পেস। $V$ -কে $H_{1},H_{2},H_{3},\dots ,H_{n}$ -এর একটি সরাসরি যোগফল বলা হবে যখন:

$V$ এর অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি $x$ এর জন্য $H_{n}$ এ এমন একটি $x_{n}$ থাকবে যেন:

$x=\sum _{i=1}^{n}x_{n}$
যখন $x_{n}$ এবং $y_{n}$ উভয়ই $H_{n}$ এর অন্তর্ভুক্ত হয়, তখন

$\sum _{i=1}^{n}x_{n}=\sum _{i=1}^{n}y_{n}$

এটি নির্দেশ করে যে $x_{n}=y_{n}$ ।

দ্বিতীয় শর্তটি যে নিচের বিবৃতিটির সমতুল্য, তা সহজেই প্রমাণ করা সম্ভব:

যখন $x_{n}$ হলো $H_{n}$ এর উপাদানসমূহ, তখন—

$x=\sum _{i=1}^{n}x_{n}=0$

এটি নির্দেশ করে যে সকল $x_{n}$ -এর মানও $0$ এর সমান।

দ্বিতীয় শর্তের কারণে, একটি সরাসরি যোগের অন্তর্ভুক্ত যেকোনো দুটি সাবস্পেসের ছেদবিন্দু হলো একটিমাত্র উপাদান {0}, যেখানে 0 হলো একটি শূন্য ভেক্টর। এর থেকে বোঝা যায় যে, সকল n-মাত্রিক স্পেস হলো n-সংখ্যক এক-মাত্রিক সাবস্পেসের একটি সরাসরি যোগ।

উপপাদ্য

যদি $V$ একটি ভেক্টর স্পেস হয় তবে যেকোনো সাবস্পেস $H$ এর জন্য এমন একটি সাবস্পেস $G$ বিদ্যমান থাকবে যেন $V$ হলো $H$ এবং $G$ এর একটি সরাসরি যোগ।

প্রমাণ

ধরা যাক, {e₁, e₂,..., e_k} হলো $H$ এর একটি ভিত্তি। একে $V$ এর একটি ভিত্তি পর্যন্ত বর্ধিত করা যেতে পারে। ধরা যাক সেটি হলো {e₁, e₂,..., e_n}। তাহলে {e_k+1, e_k+2,..., e_n} দ্বারা গঠিত স্পেস $G$ এমন হবে যে, $V$ হবে $H$ এবং $G$ এর একটি সরাসরি যোগ।

সাধারণ যোগ (General Sums)

ধরা যাক $V$ একটি ভেক্টর স্পেস এবং $H_{1},H_{2},H_{3},\dots ,H_{n}$ হলো $V$ এর কতগুলো সাবস্পেস। $V$ কে $H_{1},H_{2},H_{3},\dots ,H_{n}$ এর একটি যোগ বলা হবে যখন $V$ এর সকল উপাদানকে $H_{1},H_{2},H_{3},\dots ,H_{n}$ এর উপাদানসমূহের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

অনুশীলনী

প্রমাণ করুন যে, দ্বিতীয় শর্তটি নিচের বিবৃতিটির সমতুল্য:

যখন $x_{n}$ হলো $H_{n}$ এর উপাদানসমূহ, তখন

$x=\sum _{i=1}^{n}x_{n}=0$

নির্দেশ করে যে সকল $x_{n}$ এর মানও $0$ এর সমান।

প্রমাণ করুন যে, একটি সরাসরি যোগের অন্তর্ভুক্ত যেকোনো দুটি সাবস্পেসের ছেদবিন্দু হলো একটিমাত্র উপাদান {0}, যেখানে 0 হলো একটি শূন্য ভেক্টর।