রৈখিক বীজগণিত/সমাধান সেট বর্ণনা

একটি অনন্য সমাধান বিশিষ্ট লিনিয়ার সিস্টেমের সমাধান সেটে একটি মাত্র উপাদান থাকে। যে লিনিয়ার সিস্টেমের কোনো সমাধান নেই, তার সমাধান সেট ফাঁকা। এই ক্ষেত্রগুলোতে সমাধান সেট বর্ণনা করা সহজ। সমাধান সেট বর্ণনা করা কেবল তখনই চ্যালেঞ্জিং হয়ে দাঁড়ায় যখন সেটিতে অনেক উপাদান থাকে।

উদাহরণ ২.১

এই সিস্টেমটির অনেক সমাধান রয়েছে; কারণ এর একলন ফর্মে

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&+&z&=&3\\x&-&y&-&z&=&1\\3x&-&y&&&=&4\end{array}}&{\xrightarrow[{-\left({\frac {3}{2}}\right)\rho _{1}+\rho _{3}}]{-\left({\frac {1}{2}}\right)\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&+&z&=&3\\&&-y&-&\left({\frac {3}{2}}\right)z&=&-{\frac {1}{2}}\\&&-y&-&\left({\frac {3}{2}}\right)z&=&-{\frac {1}{2}}\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&&&+&z&=&3\\&&-y&-&\left({\frac {3}{2}}\right)z&=&-{\frac {1}{2}}\\&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

সবগুলো চলক লিডিং চলক নয়। গাউসের পদ্ধতির উপপাদ্যটি দেখিয়েছে যে, একটি ট্রিপল বা ত্রয়ী প্রথম সিস্টেমটিকে সিদ্ধ করবে কেবল এবং কেবল যদি তা তৃতীয় সিস্টেমটিকেও সিদ্ধ করে। সুতরাং, সমাধান সেট— ${\Big \{}(x,y,z){\Big |}2x+z=3{\text{ and }}x-y-z=1{\text{ and }}3x-y=4{\Big \}}$ কে এভাবেও বর্ণনা করা যেতে পারে: $\left\{(x,y,z){\Big |}2x+z=3{\text{ and }}-y-{\frac {3z}{2}}=-{\frac {1}{2}}\right\}$ । তবে, এই দ্বিতীয় বর্ণনাটি খুব একটা উন্নত নয়। এতে তিনটির পরিবর্তে দুটি সমীকরণ রয়েছে। কিন্তু এটি এখন চলকগুলোর মধ্যে কিছু জটিল ও দুৰ্বোধ্য পারস্পরিক সম্পর্ক প্রকাশ করে।

এই ধরনের জটিল পারস্পরিক সম্পর্ক থেকে মুক্ত একটি বর্ণনা পেতে আমরা এমন একটি চলক নেব যা কোনো সমীকরণকে লিড করে না, যেমন $z$, এবং সেটিকে ব্যবহার করে লিডিং চলক $x$ ও $y$ কে প্রকাশ করব। দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা পাই $y={\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}z$ এবং প্রথম সমীকরণ থেকে পাই $x={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}z$। অতএব, সমাধান সেটটিকে এভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে: $\left\{(x,y,z)=\left({\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}z,{\frac {1}{2}}-{\frac {3}{2}}z,z\right){\Big |}z\in \mathbb {R} \right\}$ । উদাহরণস্বরূপ, $\left({\frac {1}{2}},-{\frac {5}{2}},2\right)$ একটি সমাধান; কারণ $z=2$ ধরলে প্রথম উপাদানটি হয় ${\frac {1}{2}}$ এবং দ্বিতীয় উপাদানটি হয় $-{\frac {5}{2}}$।

উপরের বর্ণনাগুলোর তুলনায় এই বর্ণনার সুবিধা হলো — এখানে উপস্থিত একমাত্র চলক $z$ এর ওপর কোনো নিষেধাজ্ঞা নেই এবং এটি যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।

সংজ্ঞা ২.২

একটি একলন-ফর্মের লিনিয়ার সিস্টেমে লিডিং চলক ব্যতীত অন্য চলকগুলোকে ফ্রি ভ্যারিয়েবল বা স্বাধীন চলক বলা হয়।

উপরের উদাহরণে প্রাপ্ত একলন ফর্মের সিস্টেমে $x$ এবং $y$ হলো লিডিং চলক এবং $z$ হলো একটি স্বাধীন চলক।

উদাহরণ ২.৩

একটি লিনিয়ার সিস্টেমে একের অধিক স্বাধীন চলকও থাকতে পারে। এই রো রিডাকশনটি লক্ষ করুন:

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&+&z&-&w&=&1\\&&y&-&z&+&w&=&-1\\3x&&&+&6z&-&6w&=&6\\&&-y&+&z&-&w&=&1\end{array}}&{\xrightarrow[{}]{-3\rho _{1}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&+&z&-&w&=&1\\&&y&-&z&+&w&=&-1\\&&-3y&+&3z&-&3w&=&3\\&&-y&+&z&-&w&=&1\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{\rho _{2}+\rho _{4}}]{3\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&y&+&z&-&w&=&1\\&&y&-&z&+&w&=&-1\\&&&&&&0&=&0\\&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

এখানে সিস্টেমটি $x$ ও $y$ লিডিং চলক এবং $z$ ও $w$ উভয় চলকই স্বাধীন হিসেবে শেষ হয়েছে। আমরা যে বর্ণনাটি পছন্দ করি তা পাওয়ার জন্য নিচ থেকে কাজ শুরু করব। প্রথমে আমরা $y$ কে স্বাধীন চলক $z$ এবং $w$-এর মাধ্যমে প্রকাশ করি, যা হলো $y=-1+z-w$। এরপর, উপরের সমীকরণে গিয়ে প্রথম সমীকরণে $y$ এর মান প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই $x+(-1+z-w)+z-w=1$ এবং $x$ এর মান সমাধান করলে দাঁড়ায় $x=2-2z+2w$। অতএব, সমাধান সেটটি হলো ${\Big \{}(2-2z+2w,-1+z-w,z,w){\Big |}z,w\in \mathbb {R} {\Big \}}$।

আমরা এই বর্ণনাটি বেশি পছন্দ করি কারণ এখানে ব্যবহৃত একমাত্র চলক $z$ এবং $w$ এর ওপর কোনো নিষেধাজ্ঞা নেই। এটি ফোর-টাপলগুলোর মধ্যে কোনগুলো সিস্টেমের সমাধান তা নির্ধারণ করার কাজটিকে সহজ করে তোলে। উদাহরণস্বরূপ, $z=1$ এবং $w=2$ ধরলে আমরা সমাধান হিসেবে পাই $(4,-2,1,2)$। অপরদিকে, $(3,-2,1,2)$ কোনো সমাধান নয়; কারণ যেকোনো সমাধানের প্রথম উপাদানটি অবশ্যই $2$ থেকে তৃতীয় উপাদানের দ্বিগুণ বিয়োগ এবং চতুর্থ উপাদানের দ্বিগুণের যোগফলের সমান হতে হবে।

উদাহরণ ২.৪

এই রিডাকশনের পর—

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&2y&&&&&=&0\\&&&&z&+&3w&=&2\\3x&-&3y&&&&&=&0\\x&-&y&+&2z&+&6w&=&4\end{array}}&{\xrightarrow[{-({\frac {1}{2}})\rho _{1}+\rho _{4}}]{-({\frac {3}{2}})\rho _{1}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&2y&&&&&=&0\\&&&&z&+&3w&=&2\\&&&&&&0&=&0\\&&&&2z&+&6w&=&4\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{2}+\rho _{4}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}2x&-&2y&&&&&=&0\\&&&&z&+&3w&=&2\\&&&&&&0&=&0\\&&&&&&0&=&0\end{array}}\end{array}}$

$x,z$ হলো লিডিং চলক এবং $y,w$ হলো স্বাধীন চলক। এর সমাধান সেটটি হলো ${\Big \{}(y,y,2-3w,w){\Big |}y,w\in \mathbb {R} {\Big \}}$। উদাহরণস্বরূপ, $(1,1,2,0)$ এই সিস্টেমটিকে সিদ্ধ করে — যেখানে $y=1$ এবং $w=0$ ধরা হয়েছে। ফোর-টাপল $(1,0,5,4)$ কোনো সমাধান নয়; কারণ এর প্রথম স্থানাঙ্কটি এর দ্বিতীয় স্থানাঙ্কের সমান নয়।

সমাধানের একটি পরিবারকে বর্ণনা করতে যে চলক ব্যবহার করা হয়, তাকে আমরা একটি প্যারামিটার বলি এবং আমরা বলি যে উপরের সেটটি $y$ এবং $w$ দ্বারা প্যারামিটারাইজড করা হয়েছে। ("প্যারামিটার" এবং "ফ্রি ভ্যারিয়েবল" বা "স্বাধীন চলক" শব্দ দুটি এক অর্থ প্রকাশ করে না। উপরে, $y$ এবং $w$ হলো স্বাধীন চলক কারণ একলন ফর্মের সিস্টেমে তারা কোনো সারির শুরুতে নেই বা কোনো সারিকে লিড করে না। আবার তারা প্যারামিটারও কারণ সমাধান সেটের বর্ণনায় তাদের ব্যবহার করা হয়েছে। আমরা এর পরিবর্তে দ্বিতীয় সমীকরণটিকে $w={\frac {2}{3}}-{\frac {1}{3}}z$ হিসেবে পুনর্লিখন করে $y$ এবং $z$ দ্বারাও প্যারামিটারাইজড করতে পারতাম। সেই ক্ষেত্রে, স্বাধীন চলকগুলো তখনও $y$ এবং $w$ ই থাকত কিন্তু প্যারামিটারগুলো হতো $y$ এবং $z$। লক্ষ্য করুন যে, আমরা $x$ এবং $y$ দ্বারা এটিকে প্যারামিটারাইজড করতে পারতাম না, তাই আমাদের কখনো কখনো প্যারামিটার নির্বাচনের ক্ষেত্রে সীমাবদ্ধতা থাকে। "প্যারামিটার" এবং "স্বাধীন" পদ দুটি পরস্পর সম্পর্কিত কারণ আমরা এই অধ্যায়ের শেষের দিকে দেখাব যে, একটি সিস্টেমের সমাধান সেটকে সর্বদা এর স্বাধীন চলকগুলো দ্বারা প্যারামিটারাইজড করা যায়। ফলস্বরূপ, আমরা আমাদের সমস্ত বর্ণনাকে এই পদ্ধতিতেই প্যারামিটারাইজড করব।)

উদাহরণ ২.৫

এটি অসংখ্য সমাধান বিশিষ্ট আরও একটি সিস্টেম।

${\begin{array}{rcl}{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&&&=&1\\2x&&&+&z&&&=&2\\3x&+&2y&+&z&-&w&=&4\end{array}}&{\xrightarrow[{-3\rho _{1}+\rho _{3}}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&&&=&1\\&&-4y&+&z&&&=&0\\&&-4y&+&z&-&w&=&1\end{array}}\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}&{\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&&&=&1\\&&-4y&+&z&&&=&0\\&&&&&&-w&=&1\end{array}}\end{array}}$

এখানে লিডিং চলকগুলো হলো $x,y,w$। চলক $z$ হলো স্বাধীন বা ফ্রি চলক। (এখানে লক্ষ্য করুন যে, যদিও সিস্টেমটির অসংখ্য সমাধান রয়েছে তবুও একটি চলকের মান নির্দিষ্ট আর তা হলো $w=-1$।) $w$ কে $z$ এর মাধ্যমে $w=-1+0z$ হিসেবে লিখি। তাহলে আমরা পাই $y={\frac {1}{4}}z$। $x$ কে $z$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে প্রথম সমীকরণে $y$ এর মান প্রতিস্থাপন করে পাই $x=1-{\frac {1}{2}}z$। অতএব, সমাধান সেটটি হলো $\left\{\left(1-{\frac {1}{2}}z,{\frac {1}{4}}z,z,-1\right){\Bigg |}z\in \mathbb {R} \right\}$।

আমরা লিনিয়ার সিস্টেম এবং তাদের সমাধান সেটগুলোর জন্য এমন কিছু প্রতীক বা নোটেশন (notation) তৈরির মাধ্যমে এই উপবিভাগটি শেষ করব, যা আমরা এই বইয়ের বাকি অংশে ব্যবহার করব।

সংজ্ঞা ২.৬

একটি $m\times n$ ম্যাট্রিক্স হলো $m$-সংখ্যক সারি এবং $n$-সংখ্যক কলাম বিশিষ্ট সংখ্যার একটি আয়তকার বিন্যাস। ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সংখ্যাকে এক একটি ভুক্তি বলা হয়।

ম্যাট্রিক্সগুলোকে সাধারণত ইংরেজি বড় হাতের অক্ষর (যেমন: $A$) দ্বারা নামকরণ করা হয়। প্রতিটি ভুক্তিকে তার অনুরূপ ছোট হাতের অক্ষর দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, যেমন: $a_{i,j}$ হলো ওই বিন্যাসের $i$-তম সারি এবং $j$-তম কলামের সংখ্যাটি। উদাহরণস্বরূপ,

$A={\begin{pmatrix}1&2.2&5\\3&4&-7\end{pmatrix}}$

এই ম্যাট্রিক্সটির দুটি সারি এবং তিনটি কলাম রয়েছে। তাই এটি একটি $2\times 3$ ম্যাট্রিক্স (এটিকে "টু-বাই-থ্রি" পড়তে হবে; সারির সংখ্যাটি সবসময় প্রথমে উল্লেখ করা হয়)। এর দ্বিতীয় সারি এবং প্রথম কলামের ভুক্তিটি হলো $a_{2,1}=3$। লক্ষ্য করুন যে, সাবস্ক্রিপ্ট বা সূচকের ক্রমটি এখানে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ: $a_{1,2}\neq a_{2,1}$, কারণ $a_{1,2}=2.2$ (বিন্যাসটির দুই পাশের বন্ধনীগুলো মূলত টাইপোগ্রাফিক বা মুদ্রণশৈলীর একটি কৌশল, যাতে দুটি ম্যাট্রিক্স পাশাপাশি থাকলে আমরা বুঝতে পারি যে কোথায় একটি শেষ হয়েছে এবং অন্যটি শুরু হয়েছে)।

এই বইয়ের সর্বত্র ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার রয়েছে। আমরা $n\times m$ আকারের ম্যাট্রিক্সের সংগ্রহ বা সেটকে প্রকাশ করতে ${\mathcal {M}}_{n\times m}$ প্রতীকটি ব্যবহার করব।

উদাহরণ ২.৭

আমরা এই লিনিয়ার সিস্টেমটিকে—

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&+&2y&&&=&4\\&&y&-&z&=&0\\x&&&+&2z&=&4\end{array}}$

নিচের ম্যাট্রিক্সটির মাধ্যমে সংক্ষেপে প্রকাশ করতে পারি।

$\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\1&0&2&4\end{array}}\right)$

উল্লম্ব রেখাটি মূলত পাঠককে সিস্টেমের বাম পাশের সহগ এবং ডান পাশের ধ্রুবকগুলোর মধ্যকার পার্থক্য মনে করিয়ে দেয়। যখন কোনো ম্যাট্রিক্সকে কয়েকটি অংশে বিভক্ত করার জন্য এমন রেখা ব্যবহার করা হয়, তখন তাকে একটি অগমেন্টেড ম্যাট্রিক্স বলা হয়। এই নোটেশনে, গাউসের পদ্ধতিটি এভাবে কাজ করে—

$\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\1&0&2&4\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\0&-2&2&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{2\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&2&0&4\\0&1&-1&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

এখানে দ্বিতীয় সারিটি $y-z=0$ এবং প্রথম সারিটি $x+2y=4$ নির্দেশ করে, যার ফলে সমাধান সেটটি দাঁড়ায় ${\Big \{}(4-2z,z,z){\Big |}z\in \mathbb {R} {\Big \}}$। এই নতুন নোটেশনের একটি বড় সুবিধা হলো, এতে গাউসের পদ্ধতিতে লেখার ক্লান্তি বা খাটুনি—যেমন বারবার চলকগুলো কপি করা, $+$ এবং $=$ চিহ্নগুলো লেখা ইত্যাদি—অনেক কমে যায়।

সমাধান সেটের বর্ণনাগুলোকে আরও স্পষ্ট ও সহজবোধ্য করতেও আমরা এই বিন্যাস বা অ্যারে নোটেশন ব্যবহার করব। উদাহরণ ২.৩ এ প্রাপ্ত $\{(2-2z+2w,-1+z-w,z,w){\big |}z,w\in \mathbb {R} \}$ এর মতো বর্ণনাগুলো পড়া বেশ কঠিন। তাই আমরা এটিকে পুনর্লিখন করব, যেখানে সমস্ত ধ্রুবকগুলোকে একসাথে $z$ এর সমস্ত সহগগুলোকে একসাথে এবং $w$ এর সমস্ত সহগগুলোকে একসাথে দলভুক্ত করা হবে। আমরা এগুলোকে এক কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সে উল্লম্বভাবে লিখব।

$\left\{{\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-2\\1\\1\\0\end{pmatrix}}z+{\begin{pmatrix}2\\-1\\0\\1\end{pmatrix}}w{\Bigg |}z,w\in \mathbb {R} \right\}$

উদাহরণস্বরূপ, এর শীর্ষ বা প্রথম সারিটি নির্দেশ করে যে $x=2-2z+2w$। পরবর্তী অনুচ্ছেদে একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা দেওয়া হয়েছে, যা সমাধান সেটগুলোকে এভাবে লেখা হলে তা মনে মনে বা চিত্রে কল্পনা করতে আমাদের সাহায্য করবে।

সংজ্ঞা ২.৮

একটি মাত্র কলাম বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সকে ভেক্টর বা কলাম ভেক্টর বলা হয়। আবার একটি মাত্র সারি বিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সকে একটি রো ভেক্টর বলা হয়। একটি ভেক্টরের ভুক্তিগুলোকে এর উপাংশ বা উপাদান বলা হয়।

ম্যাট্রিক্সকে ইংরেজি বড় হাতের অক্ষর দ্বারা প্রকাশ করার সাধারণ নিয়মের ক্ষেত্রে ভেক্টরগুলো একটি ব্যতিক্রম। ভেক্টর প্রকাশের জন্য আমরা ছোট হাতের ইংরেজি বা গ্রিক অক্ষরের ওপর তীর চিহ্ন ব্যবহার করি: যেমন ${\vec {a}},{\vec {b}}$ ... অথবা ${\vec {\alpha }},{\vec {\beta }}$ ... (ভোল্ডফেস বা গাঢ় অক্ষরের ব্যবহারও বেশ প্রচলিত: যেমন $\mathbf {a}$ বা ${\boldsymbol {\alpha }}$)। উদাহরণস্বরূপ, নিচে একটি কলাম ভেক্টর দেওয়া হলো যার তৃতীয় উপাংশটি হলো $7$।

${\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}$

সংজ্ঞা ২.৯

$x_{1},\ldots \,,x_{n}$ অজ্ঞাত চলক বিশিষ্ট একটি লিনিয়ার সমীকরণ $a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=d$ একটি ভেক্টর—

${\vec {s}}={\begin{pmatrix}s_{1}\\\vdots \\s_{n}\end{pmatrix}}$

দ্বারা সিদ্ধ হবে যদি $a_{1}s_{1}+\cdots +a_{n}s_{n}=d$ হয়। একটি ভেক্টর কোনো লিনিয়ার সিস্টেমকে সিদ্ধ করে যদি তা সিস্টেমের প্রতিটি সমীকরণকে আলাদা আলাদাভাবে সিদ্ধ করে।

সমাধান সেট বর্ণনার যে শৈলী বা স্টাইল আমরা ব্যবহার করি, তাতে ভেক্টরগুলোর যোগ করার পাশাপাশি সেগুলোকে বাস্তব সংখ্যা (যেমন $z$ এবং $w$) দ্বারা গুণ করার প্রয়োজন পড়ে। আমাদের এই অপারেশন বা প্রক্রিয়াগুলোর সংজ্ঞা নির্ধারণ করা প্রয়োজন।

সংজ্ঞা ২.১০

${\vec {u}}$ এবং ${\vec {v}}$ এর ভেক্টর যোগফল হলো নিম্নরূপ:

${\vec {u}}+{\vec {v}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}+v_{1}\\\vdots \\u_{n}+v_{n}\end{pmatrix}}$

সাধারণভাবে, সমান সংখ্যক সারি এবং সমান সংখ্যক কলাম বিশিষ্ট দুটি ম্যাট্রিক্সকে এই পদ্ধতিতে ভুক্তি-বাই-ভুক্তি বা অনুরূপ উপাদান অনুযায়ী যোগ করা হয়।

সংজ্ঞা ২.১১

বাস্তব সংখ্যা $r$ এবং ভেক্টর ${\vec {v}}$ এর স্কেলার গুণন হলো নিম্নরূপ:

$r\cdot {\vec {v}}=r\cdot {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}rv_{1}\\\vdots \\rv_{n}\end{pmatrix}}$

সাধারণভাবে, যেকোনো ম্যাট্রিক্সকে একটি বাস্তব সংখ্যা দ্বারা এই একই পদ্ধতিতে ভুক্তি-বাই-ভুক্তি বা প্রতিটি উপাদান ধরে গুণ করা হয়।

স্কেলার গুণনকে যেকোনো ক্রমে লেখা যেতে পারে: $r\cdot {\vec {v}}$ অথবা ${\vec {v}}\cdot r$ কিংবা "$\cdot$" প্রতীকটি ছাড়াও লেখা যায়: $r{\vec {v}}$। (স্কেলার গুণনকে "স্কেলার প্রোডাক্ট" বা "স্কেলার গুণফল" হিসেবে উল্লেখ করবেন না কারণ ওই নামটি সম্পূর্ণ ভিন্ন একটি অপারেশনের ক্ষেত্রে ব্যবহার করা হয়।)

উদাহরণ ২.১২

${\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2+3\\3-1\\1+4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\2\\5\end{pmatrix}}\qquad 7\cdot {\begin{pmatrix}1\\4\\-1\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7\\28\\-7\\-21\end{pmatrix}}$

লক্ষ্য করুন যে, ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণনের সংজ্ঞাদুটি যেখানে একে অপরের সাথে মিলে যায় সেখানে তাদের ফলাফল একই হয়; যেমন— ${\vec {v}}+{\vec {v}}=2{\vec {v}}$।

প্রতীক বা নোটেশনগুলোর সংজ্ঞা নির্ধারণ করার পর, আমরা এখন লিনিয়ার সিস্টেমগুলোকে এমন পদ্ধতিতে সমাধান করতে পারব যা আমরা এই বইয়ের বাকি অংশ জুড়ে ব্যবহার করব।

উদাহরণ ২.১৩

এই সিস্টেমটি—

${\begin{array}{*{5}{rc}r}2x&+&y&&&-&w&&&=&4\\&&y&&&+&w&+&u&=&4\\x&&&-&z&+&2w&&&=&0\end{array}}$

এভাবে রিডিউস বা হ্রাস পায়—

${\begin{array}{rcl}\left({\begin{array}{ccccc|c}2&1&0&-1&0&4\\0&1&0&1&1&4\\1&0&-1&2&0&0\end{array}}\right)&{\xrightarrow[{}]{-\left({\frac {1}{2}}\right)\rho _{1}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{ccccc|c}2&1&0&-1&0&4\\0&1&0&1&1&4\\0&-{\frac {1}{2}}&-1&{\frac {5}{2}}&0&-2\end{array}}\right)\\[3em]&{\xrightarrow[{}]{\left({\frac {1}{2}}\right)\rho _{2}+\rho _{3}}}&\left({\begin{array}{ccccc|c}2&1&0&-1&0&4\\0&1&0&1&1&4\\0&0&-1&3&{\frac {1}{2}}&0\end{array}}\right)\end{array}}$

এর সমাধান সেটটি হলো $\left\{(w+{\frac {1}{2}}u,4-w-u,3w+{\frac {1}{2}}u,w,u){\Bigg |}w,u\in \mathbb {R} \right\}$। এটিকে আমরা ভেক্টর ফর্মে এভাবে লিখি—

$\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\4\\0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\\1\\0\end{pmatrix}}w+{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}\\-1\\{\frac {1}{2}}\\0\\1\end{pmatrix}}u{\Bigg |}w,u\in \mathbb {R} \right\}$

ভেক্টর নোটেশন প্রতিটি প্যারামিটারের সহগগুলোকে কত চমৎকারভাবে আলাদা করে দেখায় তা আবার লক্ষ্য করুন। উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টর ফর্মের তৃতীয় সারিটি পরিষ্কারভাবে দেখায় যে যদি $u$ কে নির্দিষ্ট রাখা হয় তবে $w$ যে হারে বৃদ্ধি পাবে $z$ তার চেয়ে তিন গুণ দ্রুত বৃদ্ধি পাবে।

এই ফরম্যাটটি এটিও পরিষ্কারভাবে নির্দেশ করে যে এখানে অসংখ্য সমাধান রয়েছে। যেমন— আমরা যদি $u$ এর মান $0$ নির্দিষ্ট করি এবং $w$ কে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হিসেবে পরিবর্তিত হতে দিই, তবে প্রথম উপাদান $x$ এর দিকে তাকালে দেখা যাবে আমরা অসংখ্য প্রথম উপাদান পাচ্ছি, যা অসংখ্য সমাধানের উপস্থিতি প্রমাণ করে।

আরেকটি বিষয় যা এখানে স্পষ্টভাবে প্রকাশ পায় তা হলো, $w,u$ উভয়ের মানই 0 ধরলে—

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\\u\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\4\\0\\0\\0\end{pmatrix}}$

ভেক্টরটি এই লিনিয়ার সিস্টেমের একটি পার্টিকুলার সলিউশন বা বিশেষ সমাধান হিসেবে আত্মপ্রকাশ করে।

উদাহরণ ২.১৪

একইভাবে, এই সিস্টেমটি—

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&-&y&+&z&=&1\\3x&&&+&z&=&3\\5x&-&2y&+&3z&=&5\end{array}}$

এভাবে রিডিউস বা হ্রাস পেয়ে—

$\left({\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&1\\3&0&1&3\\5&-2&3&5\end{array}}\right){\xrightarrow[{-5\rho _{1}+\rho _{3}}]{-3\rho _{1}+\rho _{2}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&1\\0&3&-2&0\\0&3&-2&0\end{array}}\right){\xrightarrow[{}]{-\rho _{2}+\rho _{3}}}\left({\begin{array}{ccc|c}1&-1&1&1\\0&3&-2&0\\0&0&0&0\end{array}}\right)$

একটি এক-প্যারামিটার বিশিষ্ট সমাধান সেটে পরিণত হয়।

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}\\{\frac {2}{3}}\\1\end{pmatrix}}z{\Bigg |}z\in \mathbb {R} \right\}$

অনুশীলনীতে যাওয়ার আগে, আমরা এমন কিছু বিষয় উল্লেখ করার জন্য একটু থামব যা আমাদের এখনও করা বাকি রয়েছে।

প্রথম দুটি উপবিভাগ মূলত গাউসের পদ্ধতির কার্যপ্রণালী বা মেকানিক্সের ওপর কেন্দ্র করে সাজানো হয়েছিল। একটি মাত্র ফলাফল—উপপাদ্য ১.৪ ব্যতীত (যা ছাড়া এই পদ্ধতিটি তৈরি করার কোনো অর্থই হয় না, কারণ এটি নিশ্চিত করে যে পদ্ধতিটি সঠিক উত্তর দেয়) — আমরা এর থেকে উত্থাপিত কোনো আকর্ষণীয় প্রশ্ন নিয়ে গভীরভাবে ভাবার জন্য থামিনি।

উদাহরণস্বরূপ, আমরা কি সমাধান সেটগুলোকে সর্বদা ওপরের মতো করে বর্ণনা করতে পারি, যেখানে একটি বিশেষ সমাধান ভেক্টরের সাথে অন্য কিছু ভেক্টরের অবাধ রৈখিক সমাবেশ যোগ করা থাকবে? আমরা যে সমাধান সেটগুলোকে অবাধ বা মুক্ত প্যারামিটার দিয়ে বর্ণনা করেছি, সেগুলোর যে অসংখ্য সমাধান রয়েছে তা সহজেই বোঝা গিয়েছিল। তাই এই প্রশ্নের উত্তরটি আমাদের সমাধান সেটের আকার বা পরিধি সম্পর্কে ধারণা দিতে পারে। সেই উত্তরটি আমাদের $\mathbb {R} ^{2}$ অথবা $\mathbb {R} ^{3}$ ইত্যাদিতে সমাধান সেটগুলোকে মনে মনে বা চিত্রে কল্পনা করতেও সাহায্য করতে পারে।

গাউসের পদ্ধতি একের অধিক উপায়ে করা সম্ভব—এই পর্যবেক্ষণটি থেকে অনেক প্রশ্ন উঁকি দেয় (যেমন, সারি বিনিময়ের বা সোয়াপ করার সময় কোন সারির সাথে বিনিময় করা হবে, সে বিষয়ে আমাদের একাধিক পছন্দ থাকতে পারে)। উপপাদ্য ১.৪ বলে যে, আমরা যে পথেই অগ্রসর হই না কেন, সমাধান সেট সর্বদা একই আসবে। কিন্তু আমরা যদি দুটি ভিন্ন উপায়ে গাউসের পদ্ধতিটি সম্পন্ন করি তবে উভয় ক্ষেত্রেই কি আমরা সমান সংখ্যক স্বাধীন চলক পাব? অর্থাৎ, যেকোনো দুটি সমাধান সেটের বর্ণনায় কি প্যারামিটারের সংখ্যা সবসময় একই হবে? আবার চলকগুলোও কি হুবহু একই হতে হবে? (উদাহরণস্বরূপ, এমনটি হওয়া কি অসম্ভব যে — একটি উপায়ে সমাধান করতে গিয়ে $y$ ও $w$ স্বাধীন চলক হিসেবে পাওয়া গেল এবং আর অন্য উপায়ে সমাধান করে $y$ ও $z$ স্বাধীন চলক হিসেবে পাওয়া গেল?)

এই অধ্যায়ের বাকি অংশে আমরা এই প্রশ্নগুলোর উত্তর দেব। এর প্রতিটি প্রশ্নের উত্তর হলো "হ্যাঁ"। প্রথম প্রশ্নটির উত্তর দেওয়া হয়েছে এই সেকশনের শেষ উপবিভাগে। দ্বিতীয় সেকশনে আমরা সমাধান সেটগুলোর একটি জ্যামিতিক বর্ণনা তুলে ধরব। আর এই অধ্যায়ের শেষ সেকশনে আমরা সর্বশেষ প্রশ্নগুলোর মুখোমুখি হব। ফলস্বরূপ, প্রথম অধ্যায়ের শেষে আমরা কেবল গাউসের পদ্ধতির বাস্তব প্রয়োগেই একটি মজবুত ভিত্তি লাভ করব না বরং এর তাত্ত্বিক দিক থেকেও আমাদের ভিত্তি অত্যন্ত সুদৃঢ় হবে। একটি রিডাকশন বা হ্রাসের প্রক্রিয়ায় কী ঘটতে পারে এবং কী ঘটতে পারে না সে বিষয়ে আমরা নিশ্চিত হতে পারব।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

ম্যাট্রিক্সটির নির্দেশিত ভুক্তি খুঁজে বের করুন (যদি তা সংজ্ঞায়িত হয়)।

$A={\begin{pmatrix}1&3&1\\2&-1&4\end{pmatrix}}$

1. $a_{2,1}$
2. $a_{1,2}$
3. $a_{2,2}$
4. $a_{3,1}$

সমস্যা ২

প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের আকার বা মাত্রা উল্লেখ করুন।

1. ${\begin{pmatrix}1&0&4\\2&1&5\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\\3&-1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}5&10\\10&5\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৩

নির্দেশিত ভেক্টর অপারেশনটি সম্পন্ন করুন (যদি তা সংজ্ঞায়িত হয়)।

1. ${\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\0\\4\end{pmatrix}}$
2. $5{\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1\\5\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}$
4. $7{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}+9{\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}$
5. ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}$
6. $6{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}-4{\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}}+2{\begin{pmatrix}1\\1\\5\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৪

ম্যাট্রিক্স নোটেশন ব্যবহার করে প্রতিটি সিস্টেমের সমাধান করুন। উত্তরটি ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করুন।

1. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}3x&+&6y&=&18\\x&+&2y&=&6\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{2}{rc}r}x&+&y&=&1\\x&-&y&=&-1\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}x_{1}&&&+&x_{3}&=&4\\x_{1}&-&x_{2}&+&2x_{3}&=&5\\4x_{1}&-&x_{2}&+&5x_{3}&=&17\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2a&+&b&-&c&=&2\\2a&&&+&c&=&3\\a&-&b&&&=&0\end{array}}$
5. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&-&z&&&=&3\\2x&+&y&&&+&w&=&4\\x&-&y&+&z&+&w&=&1\end{array}}$
6. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&+&z&+&w&=&4\\2x&+&y&&&-&w&=&2\\3x&+&y&+&z&&&=&7\end{array}}$

সমস্যা ৫

ম্যাট্রিক্স নোটেশন ব্যবহার করে প্রতিটি সিস্টেমের সমাধান করুন। প্রতিটি সমাধান সেট ভেক্টর নোটেশনে প্রকাশ করুন।

1. ${\begin{array}{*{3}{rc}r}2x&+&y&-&z&=&1\\4x&-&y&&&=&3\end{array}}$
2. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&&&-&z&&&=&1\\&&y&+&2z&-&w&=&3\\x&+&2y&+&3z&-&w&=&7\end{array}}$
3. ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&-&y&+&z&&&=&0\\&&y&&&+&w&=&0\\3x&-&2y&+&3z&+&w&=&0\\&&-y&&&-&w&=&0\end{array}}$
4. ${\begin{array}{*{5}{rc}r}a&+&2b&+&3c&+&d&-&e&=&1\\3a&-&b&+&c&+&d&+&e&=&3\end{array}}$

সমস্যা ৬

প্রদত্ত ভেক্টরটি সংশ্লিষ্ট সেটের অন্তর্ভুক্ত। প্যারামিটারের কোন মান ওই ভেক্টরটি তৈরি করবে তা নির্ধারণ করুন।

1. ${\begin{pmatrix}5\\-5\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
2. ${\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}}i+{\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}}j\,{\big |}\,i,j\in \mathbb {R} \}$
3. ${\begin{pmatrix}0\\-4\\2\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}m+{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}n\,{\big |}\,m,n\in \mathbb {R} \}$

সমস্যা ৭

ভেক্টরটি সংশ্লিষ্ট সেটের অন্তর্ভুক্ত কি না তা যাচাই করুন।

1. ${\begin{pmatrix}3\\-1\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}-6\\2\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,k\in \mathbb {R} \}$
2. ${\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}5\\-4\end{pmatrix}}j\,{\big |}\,j\in \mathbb {R} \}$
3. ${\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-7\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}}r\,{\big |}\,r\in \mathbb {R} \}$
4. ${\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}$, $\{{\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}j+{\begin{pmatrix}-3\\-1\\1\end{pmatrix}}k\,{\big |}\,j,k\in \mathbb {R} \}$

সমস্যা ৮

এই এক-সমীকরণ বিশিষ্ট সিস্টেমটির সমাধান সেটকে প্যারামিটারাইজড করুন।

$x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=0$

সমস্যা ৯

1. নিচের সিস্টেমটিতে ধ্রুবক $a$, $b$ এবং $c$-এর মাধ্যমে $x$, $y$, $z$ এবং $w$ এর মান বের করার জন্য এর বাম পক্ষে গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করুন। লক্ষ্য করুন যে, এখানে $w$ একটি স্বাধীন চলক হবে।

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&-&w&=&a\\2x&&&+&z&&&=&b\\x&+&y&&&+&2w&=&c\end{array}}$

2. পূর্ববর্তী অংশের প্রাপ্ত উত্তরের সাহায্যে নিচের সিস্টেমটি সমাধান করুন।

   ${\begin{array}{*{4}{rc}r}x&+&2y&&&-&w&=&3\\2x&&&+&z&&&=&1\\x&+&y&&&+&2w&=&-2\end{array}}$

সমস্যা ১০

ম্যাট্রিক্সের ভুক্তির প্রতীক হিসেবে "$a_{i,j}$" তে কমা চিহ্নের কেন প্রয়োজন হয়?

সমস্যা ১১

নিচের শর্ত অনুযায়ী গঠিত $4\!\times \!4$ আকারের ম্যাট্রিক্সটি তৈরি করুন, যার $i,j$-তম ভুক্তিটি হলো:

1. $i+j$;
2. $-1$-এর ওপর $i+j$ তম ঘাত বা পাওয়ার।

সমস্যা ১২

যেকোনো ম্যাট্রিক্স $A$ এর জন্য, $A$ এর ট্রান্সপোজ কে ${{A}^{\rm {trans}}}$ হিসেবে লেখা হয়, যা এমন একটি ম্যাট্রিক্স যার কলামগুলো হলো মূলত $A$ এর সারি। নিচের ম্যাট্রিক্সগুলোর ট্রান্সপোজ নির্ণয় করুন।

1. ${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&-3\\1&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}5&10\\10&5\end{pmatrix}}$
4. ${\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}$

সমস্যা ১৩

1. এমন সমস্ত ফাংশন $f(x)=ax^{2}+bx+c$ বর্ণনা করুন যেন $f(1)=2$ এবং $f(-1)=6$ হয়।
2. এমন সমস্ত ফাংশন $f(x)=ax^{2}+bx+c$ বর্ণনা করুন যেন $f(1)=2$ হয়।

সমস্যা ১৪

দেখাও যে, দ্বিমাত্রিক সমতল $\mathbb {R} ^{2}$ এর যেকোনো পাঁচটি বিন্দু একটি সাধারণ কনিক সেকশন বা কনিকের ওপর অবস্থান করে; অর্থাৎ, তারা সবাই $ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f=0$ আকারের কোনো একটি সমীকরণকে সিদ্ধ করে যেখানে $a,\,\ldots \,,f$ এর মধ্যে অন্তত একটির মান অশূন্য।

সমস্যা ১৫

চারটি সমীকরণ এবং চারটি অজ্ঞাত চলক বিশিষ্ট এমন একটি সিস্টেম তৈরি করুন যার—

1. সমাধান সেটটি একটি এক-প্যারামিটার বিশিষ্ট হবে;
2. সমাধান সেটটি একটি দুই-প্যারামিটার বিশিষ্ট হবে;
3. সমাধান সেটটি একটি তিন-প্যারামিটার বিশিষ্ট হবে।

সমস্যা ১৬

1. নিচের সমীকরণ সিস্টেমটি সমাধান করুন:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&y&=&a^{2}\\x&+&ay&=&1\end{array}}$

   $a$ এর কোন কোন মানের জন্য সিস্টেমটির কোনো সমাধান থাকবে না এবং $a$ এর কোন কোন মানের জন্য এর অসংখ্য সমাধান থাকবে?
2. নিচের সিস্টেমটির জন্য ওপরের প্রশ্নগুলোর উত্তর দিন:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}ax&+&y&=&a^{3}\\x&+&ay&=&1\end{array}}$

(ইউএসএসআর অলিম্পিয়াড #১৭৪)

সমস্যা ১৭

বায়ুতে একটি সোনার প্রলেপযুক্ত গোলকের ওজন $7588$ গ্রাম। জানা গেছে যে, এর ভেতরে অ্যালুমিনিয়াম, তামা, রুপা অথবা সিসার মধ্যে এক বা একাধিক ধাতু থাকতে পারে। যখন এটিকে আদর্শ অবস্থায় যথাক্রমে পানি, বেনজিন, অ্যালকোহল এবং গ্লিসারিনের মধ্যে ডুবিয়ে ওজন করা হয় তখন এর ওজন পাওয়া যায় যথাক্রমে $6588$, $6688$, $6778$ এবং $6328$ গ্রাম। যদি উল্লেখিত পদার্থগুলোর আপেক্ষিক গুরুত্ব নিচের তালিকা অনুযায়ী ধরা হয় তবে গোলকটিতে উপরোক্ত ধাতুগুলোর কোনোটি কতটুকু পরিমাণে রয়েছে?

অ্যালুমিনিয়াম	২.৭			অ্যালকোহল	০.৮১
তামা	৮.৯			বেনজিন	০.৯০
সোনা	১৯.৩			গ্লিসারিন	১.২৬
সিসা	১১.৩			পানি	১.০০
রুপা	১০.৮