রৈখিক বীজগণিত/সমজাতীয় সিস্টেম

একটি সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা হলো এমন কতগুলো রৈখিক সমীকরণ যাদের আকার নিম্নরূপ:

$a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}+\ldots +a_{1n}x_{n}=0$
$a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}+\ldots +a_{2n}x_{n}=0$
$a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}+\ldots +a_{3n}x_{n}=0$
$\vdots$
$a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+a_{m3}x_{3}+\ldots +a_{mn}x_{n}=0$

ট্রিভিয়াল সলিউশন বা তুচ্ছ সমাধান হলো সেই অবস্থা যখন সকল $x_{n}$ এর মান শূন্য (০) হয়।

এখন সহগ ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন:

$A=\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{matrix}}\right)$

$A$ এর কলামগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ, যেখানে যোগফল একটি শূন্য কলামের সমান—তা এই সমজাতীয় ব্যবস্থার একটি সমাধান। এমন একটি সমাধান যেখানে সকল $x_{n}$ শূন্য নয়, কেবল তখনই পাওয়া যায় যখন কলামগুলো রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়; এটি তখনই ঘটে যখন $A$ এর র‍্যাঙ্ক কলাম সংখ্যার চেয়ে কম হয়। তবে, যদি র‍্যাঙ্ক কলাম সংখ্যার সমান হয়, তবে সকল কলাম রৈখিকভাবে স্বাধীন আর সেক্ষেত্রে কেবল তুচ্ছ সমাধানটিই বিদ্যমান থাকে।