রৈখিক বীজগণিত/সদৃশতার সংজ্ঞা ও উদাহরণ/সমাধান

সমাধানসমূহ

সমস্যা ১

যদি

$S={\begin{pmatrix}1&3\\-2&-6\end{pmatrix}}\quad T={\begin{pmatrix}0&0\\-11/2&-5\end{pmatrix}}\quad P={\begin{pmatrix}4&2\\-3&2\end{pmatrix}}$

হয়, তবে $T=PSP^{-1}$ সমীকরণটি সত্য কি না তা যাচাই করে দেখুন।

উত্তর

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধান করার একটি কার্যকর পদ্ধতি হলো সমীকরণের বাম দিক থেকে ডান দিকে ক্রমান্বয়ে অগ্রসর হওয়া।

$PSP^{-1}={\begin{pmatrix}4&2\\-3&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\-2&-6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/14&-2/14\\3/14&4/14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\-7&-21\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/14&-2/14\\3/14&4/14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\-11/2&-5\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২

ম্যাট্রিক্সের সদৃশতা সংক্রান্ত আলোচনায় উদাহরণ ১.৩-এ এটি প্রদর্শিত হয়েছে যে, একটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের সদৃশ ম্যাট্রিক্স কেবল সেটি নিজেই। একইভাবে, কোনো অভেদক ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও কেবল সেই ম্যাট্রিক্সটিই নিজের সদৃশ হতে পারে।

1. এটি প্রমাণ করে দেখান যে, $1\!\times \!1$ মাত্রার ম্যাট্রিক্স $(2)$-ও কেবল নিজের সাথেই সদৃশ।
2. কোনো স্কেলার $c$-এর জন্য $cI$ আকারের একটি ম্যাট্রিক্স কি কেবল নিজের সাথেই সদৃশ হতে পারে?
3. একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স বা কর্ণ ম্যাট্রিক্স কি কেবল নিজের সাথেই সদৃশ হয়?

উত্তর

1. যেহেতু প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স $(2)$ একটি $1\!\times \!1$ মাত্রার ম্যাট্রিক্স, তাই এর রূপান্তর ম্যাট্রিক্স $P$ এবং এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স $P^{-1}$ উভয়ই $1\!\times \!1$ মাত্রার হবে। সুতরাং, যদি আমরা ধরি $P=(p)$, তবে এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি হবে $P^{-1}=(1/p)$। ফলশ্রুতিতে, $P(2)P^{-1}=(p)(2)(1/p)=(2)$ সমীকরণটি প্রতিষ্ঠিত হয়।
2. হ্যাঁ, এটি সত্য: আমরা জানি যে স্কেলার গুণিতকগুলোকে ম্যাট্রিক্স গুণফলের প্রক্রিয়ার বাইরে নিয়ে আসা সম্ভব, অর্থাৎ $P(cI)P^{-1}=cPIP^{-1}=cI$। প্রসঙ্গক্রমে উল্লেখ্য যে, শূন্য ম্যাট্রিক্স এবং অভেদক ম্যাট্রিক্স হলো যথাক্রমে $c=0$ এবং $c=1$ এর দুটি বিশেষ ক্ষেত্র।
3. না, এটি সবসময় সত্য নয়, যা নিচের এই উদাহরণটির মাধ্যমে স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয়।

   ${\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-4\\2&1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৩

গাণিতিকভাবে প্রমাণ করুন যে নিচে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স দুটি একে অপরের সদৃশ নয়।

${\begin{pmatrix}1&0&4\\1&1&3\\2&1&7\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\3&1&2\end{pmatrix}}$

উত্তর

গাউসের অপনয়ন পদ্ধতি প্রয়োগ করে বিশ্লেষণ করলে দেখা যায় যে, প্রথম ম্যাট্রিক্সটি এমন একটি চিত্রায়নকে উপস্থাপন করে যার র‍্যাঙ্ক চিত্রায়নকে হলো দুই। অন্যদিকে, দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সটি তিন র‍্যাঙ্কবিশিষ্ট একটি চিত্রায়নকে নির্দেশ করছে। যেহেতু সদৃশ ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক সর্বদা অভিন্ন হতে হয়, তাই এই ম্যাট্রিক্স দুটি সদৃশ হওয়া সম্ভব নয়।

সমস্যা ৪

${\mathcal {P}}_{2}$ বহুপদী জগতের ওপর সংজ্ঞায়িত একটি রূপান্তর $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ বিবেচনা করুন, যা $x^{2}\mapsto x+1$, $x\mapsto x^{2}-1$, এবং $1\mapsto 3$ শর্তাবলি দ্বারা বর্ণিত।

1. যখন ভিত্তি $B=\langle x^{2},x,1\rangle$ হয়, তখন $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ নির্ণয় করুন।
2. যখন ভিত্তি $D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$ হয়, তখন $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ নির্ণয় করুন।
3. এমন একটি ম্যাট্রিক্স $P$ খুঁজে বের করুন যাতে $T=PSP^{-1}$ সম্পর্কটি বজায় থাকে।

উত্তর

1. যেহেতু রৈখিক রূপান্তর $t$-কে ভিত্তি $B$-এর সদস্য বা উপাদানগুলোর মাধ্যমে বর্ণনা করা হয়েছে, তাই এর ম্যাট্রিক্স উপস্থাপন নির্ণয় করার প্রক্রিয়াটি অত্যন্ত সহজ:

   ${\rm {Rep}}_{B}(t(x^{2}))={\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}_{B}\quad {\rm {Rep}}_{B}(t(x))={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}_{B}\quad {\rm {Rep}}_{B}(t(1))={\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}_{B}$

   উপরিউক্ত মানগুলো থেকে আমরা নিম্নোক্ত ফলাফলটি লাভ করি:

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t){\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\1&-1&3\end{pmatrix}}$

2. ভিত্তি $D$ ব্যবহার করে প্রতিটি ভেক্টরকে কীভাবে প্রকাশ করা যায় তা নির্ভুলভাবে বোঝার জন্য, আমরা প্রথমে $t(1)$, $t(1+x)$, এবং $t(1+x+x^{2})$ এর মানসমূহ নির্ণয় করব। আমাদের কাছে প্রদত্ত তথ্যানুযায়ী আমরা জানি যে $t(1)=3$, এবং বাকি দুটি মানও খুব সহজেই পর্যবেক্ষণ করা সম্ভব: $t(1+x)=x^{2}+2$ এবং $t(1+x+x^{2})=x^{2}+x+3$। সাধারণ গাণিতিক হিসাবের মাধ্যমেই আমরা প্রতিটি ভেক্টরকে কীভাবে প্রকাশ করতে হবে বা সাজাতে হবে, তা পেয়ে যাই:

   ${\rm {Rep}}_{D}(t(1))={\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}}_{D}\quad {\rm {Rep}}_{D}(t(1+x))={\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix}}_{D}\quad {\rm {Rep}}_{D}(t(1+x+x^{2}))={\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}}_{D}$

   এবং এর ফলশ্রুতিতে উক্ত রৈখিক মানচিত্র বা ম্যাপের ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনটি নিম্নরূপ দাঁড়ায়:

   ${\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\begin{pmatrix}3&2&2\\0&-1&0\\0&1&1\end{pmatrix}}$

3. বর্তমান সমস্যায় $T$ এবং $S$-এর জন্য বিশেষভাবে অভিযোজিত বা প্রস্তুতকৃত চিত্রটি হলো:

   

   এই চিত্রটি থেকে এটি স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে, $P={\rm {Rep}}_{D,B}({\mbox{id}})$।

   $P={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৫

একটি শূন্য নয় এমন সদৃশতা সম্পর্ক দেখানোর জন্য ধরা যাক, $t:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ একটি রৈখিক রূপান্তর যা নিচের নিয়ম অনুযায়ী কাজ করে:

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$

এখন দুটি ভিত্তি নির্বাচন করুন এবং তাদের সাপেক্ষে $t$-কে উপস্থাপন করুন, যেখানে $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ এবং $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ হিসেবে গণ্য হবে। অতঃপর ভিত্তি $B$ থেকে $D$-তে এবং পুনরায় বিপরীতক্রমে পরিবর্তনের জন্য প্রয়োজনীয় $P$ এবং $P^{-1}$ ম্যাট্রিক্স দুটি গণনা করুন।

উত্তর

ভিত্তিগুলো নির্বাচনের ক্ষেত্রে একটি সম্ভাব্য পছন্দ হতে পারে নিম্নরূপ:

$B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\rangle \qquad D={\mathcal {E}}_{2}=\langle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\rangle$

(এখানে ভিত্তি $B$-এর গঠনটি মূলত মানচিত্র বা ম্যাপের বর্ণনা থেকেই ইঙ্গিত পাওয়া যায়)। ম্যাট্রিক্স $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ নির্ণয় করার জন্য আমাদের নিম্নোক্ত সম্পর্কগুলো সমাধান করতে হবে:

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\qquad {\hat {c}}_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\hat {c}}_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$

এই সমীকরণগুলো সমাধান করলে আমরা $c_{1}=1$, $c_{2}=-2$, ${\hat {c}}_{1}=1/3$ এবং ${\hat {c}}_{2}=4/3$ মানগুলো পাই।

${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}$

${\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ এর মান নির্ণয় করার প্রক্রিয়াটি তুলনামূলকভাবে কিছুটা জটিল এবং এর জন্য আমাদের আরও কিছু গাণিতিক হিসাবের প্রয়োজন হবে। এই প্রক্রিয়ার শুরুতে আমরা প্রথমে $t({\vec {e}}_{1})$ এর মান বের করার চেষ্টা করব। এখানে প্রদত্ত সম্পর্কটি লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে,

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

এই সমীকরণটি সমাধান করলে আমরা $c_{1}=1/3$ এবং $c_{2}=-2/3$ মান দুটি পাই। এর ফলশ্রুতিতে আমরা লিখতে পারি যে,

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1/3\\-2/3\end{pmatrix}}_{B}$

এই মানটি ব্যবহার করে আমরা পরবর্তী ধাপে অগ্রসর হই, যেখানে

${\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {e}}_{1}))={\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}_{B,B}{\begin{pmatrix}1/3\\-2/3\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}1/9\\-14/9\end{pmatrix}}_{B}$

পাওয়া যায়। সুতরাং, লিনিয়ার ম্যাপ বা চিত্রায়ন $t$ প্রথম বেসিস ভেক্টর ${\vec {e}}_{1}$-এর ওপর ঠিক এই পদ্ধতিতেই ক্রিয়াশীল হয়।

$t({\vec {e}}_{1})=(1/9)\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-(14/9)\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5/3\\-4/3\end{pmatrix}}$

একইভাবে, দ্বিতীয় বেসিস ভেক্টর $t({\vec {e}}_{2})$ এর মান নির্ণয়ের ক্ষেত্রেও আমরা প্রায় একই ধরনের গাণিতিক পদ্ধতি অনুসরণ করব। এক্ষেত্রে

$c_{1}{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

সম্পর্কটি থেকে আমরা $c_{1}=1/3$ এবং $c_{2}=1/3$ মানগুলো পাই। এর ফলে আমরা পাই

${\rm {Rep}}_{B}({\vec {e}}_{1})={\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix}}_{B}$

এই মানটি ব্যবহার করে আমরা ম্যাট্রিক্স গুণফলের মাধ্যমে পাই,

${\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {e}}_{1}))={\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}_{B,B}{\begin{pmatrix}1/3\\1/3\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}4/9\\-2/9\end{pmatrix}}_{B}$

এর মাধ্যমেই প্রমাণিত হয় যে, $t$ চিত্রায়নটি দ্বিতীয় বেসিস ভেক্টর ${\vec {e}}_{2}$-এর ওপর নিম্নোক্ত উপায়ে কাজ করে।

$t({\vec {e}}_{2})=(4/9)\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-(2/9)\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2/3\\2/3\end{pmatrix}}$

অতএব, চূড়ান্তভাবে আমরা বলতে পারি যে,

${\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\begin{pmatrix}5/3&2/3\\-4/3&2/3\end{pmatrix}}$

এখানে উল্লিখিত ম্যাট্রিক্সগুলো মূলত বেসিস পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স হিসেবে কাজ করে।

$P={\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}\qquad P^{-1}={\bigl (}{\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}}){\bigr )}^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}1/3&1/3\\-2/3&1/3\end{pmatrix}}$

এই হিসাবগুলো ঠিক আছে কি না তা পরীক্ষা করা খুবই সহজ; এটি আপনি নিজেই সাধারণ চর্চা হিসেবে করে দেখতে পারেন।

${\begin{pmatrix}1&-1\\2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1/3\\-2&4/3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1/3&1/3\\-2/3&1/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5/3&2/3\\-4/3&2/3\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৬

চিত্রায়ন বা ম্যাপের পরিপ্রেক্ষিতে উদাহরণ ১.৩ ব্যাখ্যা করুন।

উত্তর

একটি শূন্য চিত্রায়নকে প্রকাশ করার একমাত্র উপায় হলো একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।। এক্ষেত্রে ভিত্তি বা বেসিস জোড়া যাই হোক না কেন, অর্থাৎ ${\rm {Rep}}_{B,D}(z)=Z$ সর্বদা সত্য হবে। এর ফলে বিশেষভাবে বলা যায় যে, যেকোনো একক ভিত্তি $B$-এর ক্ষেত্রেও আমরা ${\rm {Rep}}_{B,B}(z)=Z$ পাব। অভেদ চিত্রায়নের বিষয়টি এর সাথে সম্পর্কিত হলেও কিছুটা ভিন্ন প্রকৃতির। যেকোনো ভিত্তি $B,B$-এর সাপেক্ষে আইডেন্টিটি ম্যাপের একমাত্র উপস্থাপনা হলো আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স, যাকে গাণিতিকভাবে ${\rm {Rep}}_{B,B}({\mbox{id}})=I$ হিসেবে প্রকাশ করা হয়। (মন্তব্য: অবশ্যই আমরা ইতিপূর্বে এমন কিছু উদাহরণ দেখেছি যেখানে $B\neq D$ এবং ${\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})\neq I$। প্রকৃতপক্ষে, আমরা এটিও লক্ষ্য করেছি যে যেকোনো নন-সিঙ্গুলার বা অবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স কোনো না কোনো ভিত্তি $B,D$-এর সাপেক্ষে আইডেন্টিটি ম্যাপের একটি উপস্থাপনা হিসেবে কাজ করতে পারে।)

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৭

এমন কি কোনো দুটি ম্যাট্রিক্স $A$ এবং $B$ থাকা সম্ভব যারা নিজেরা সদৃশ বা সিমিলার হওয়া সত্ত্বেও তাদের বর্গসমূহ অর্থাৎ $A^{2}$ এবং $B^{2}$ সদৃশ নয়?

উত্তর

না, এমনটি হওয়া সম্ভব নয়। যদি $A=PBP^{-1}$ হয়, তবে $A^{2}=(PBP^{-1})(PBP^{-1})=PB^{2}P^{-1}$ হবে, যা প্রমাণ করে যে তাদের বর্গগুলোও সদৃশ।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৮

এটি প্রমাণ করুন যে, যদি দুটি ম্যাট্রিক্স সদৃশ হয় এবং তাদের মধ্যে একটি ইনভার্টিবল বা বিপরীতযোগ্য হয়, তবে অন্যটিও অবশ্যই বিপরীতযোগ্য হবে।

উত্তর

ম্যাট্রিক্সের সদৃশতা হলো ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতার একটি বিশেষ ক্ষেত্র (যদি ম্যাট্রিক্সগুলো সদৃশ হয় তবে তারা অবশ্যই ম্যাট্রিক্স সমতুল্য হবে) এবং ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা সর্বদা নন-সিঙ্গুলারিটি বা অবিশিষ্টতা বজায় রাখে। (এটি মূলত সেই নিয়মের একটি সম্প্রসারিত রূপ যেখানে বলা হয়েছে যে সদৃশ ম্যাট্রিক্সগুলোর নির্ণায়ক বা ডিটারমিন্যান্ট সমান হয়, যা কোনো ম্যাট্রিক্স বিপরীতযোগ্য কি না তা নির্দেশক হিসেবে ব্যবহৃত হতে পারে।)

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৯

দেখান যে ম্যাট্রিক্সের সদৃশতা একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক বা ইকুইভ্যালেন্স রিলেশন।

উত্তর

একটি ম্যাট্রিক্স সর্বদা নিজের সাথে সদৃশ হয়; এক্ষেত্রে $P$-কে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স হিসেবে বিবেচনা করলে আমরা পাই: $IPI^{-1}=IPI=P$।

যদি $T$ ম্যাট্রিক্সটি $S$-এর সাথে সদৃশ হয়, তবে $T=PSP^{-1}$ হবে এবং এর ফলে $P^{-1}TP=S$ পাওয়া যাবে। এটিকে পুনরায় $S=(P^{-1})T(P^{-1})^{-1}$ আকারে লিখলে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হওয়া যায় যে $S$ ম্যাট্রিক্সটিও $T$-এর সাথে সদৃশ।

যদি $T$ ম্যাট্রিক্সটি $S$-এর সাথে সদৃশ হয় এবং $S$ ম্যাট্রিক্সটি $U$-এর সাথে সদৃশ হয়, তবে $T=PSP^{-1}$ এবং $S=QUQ^{-1}$ হবে। সেক্ষেত্রে $T=PQUQ^{-1}P^{-1}=(PQ)U(PQ)^{-1}$ হবে, যা প্রমাণ করে যে $T$ ম্যাট্রিক্সটি $U$-এর সাথেও সদৃশ।

সমস্যা ১০

মনে করুন একটি ম্যাট্রিক্স কোনো একটি ভিত্তি $B,B$-এর সাপেক্ষে $\mathbb {R} ^{2}$ তলে $x$-অক্ষ বরাবর প্রতিফলন বা রিফ্লেকশনকে উপস্থাপন করছে। আবার অন্য একটি ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করুন যা কোনো ভিত্তি $D,D$-এর সাপেক্ষে $y$-অক্ষ বরাবর প্রতিফলনকে উপস্থাপন করে। এই ম্যাট্রিক্স দুটি কি অবশ্যই সদৃশ হবে?

উত্তর

ধরা যাক $f_{x}$ এবং $f_{y}$ হলো প্রতিফলন মানচিত্র (যাকে অনেক সময় "ফ্লিপ" বলা হয়)। যেকোনো ভিত্তি $B$ এবং $D$-এর জন্য, ${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})$ এবং ${\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})$ ম্যাট্রিক্স দুটি পরস্পর সদৃশ হবে। প্রথমেই এটি লক্ষ্য করুন যে...

$S={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{x})={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad T={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{y})={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}$

উপরিউক্ত ম্যাট্রিক্সদ্বয় পরস্পর সদৃশ বা সিমিলার হওয়ার মূল কারণ হলো, দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সটি আসলে ভিত্তি $A=\langle {\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{1}\rangle$-এর সাপেক্ষে $f_{x}$-এর একটি সুনির্দিষ্ট গাণিতিক উপস্থাপনা বা রিপ্রেজেন্টেশন:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=P{\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}P^{-1}$

এখানে $P$ ম্যাট্রিক্সটিকে $P={\rm {Rep}}_{A,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে, যা মূলত অভেদ মানচিত্র বা আইডেন্টিটি ম্যাপের ভিত্তি রূপান্তর নির্দেশ করে।

বর্তমান আলোচনার এই সিদ্ধান্তটি মূলত ৯ নম্বর সমস্যার ট্রানজিটিভিটি বা সংক্রামক বৈশিষ্ট্যের অংশ থেকে সরাসরি উদ্ভূত হয়েছে।

উক্ত অনুশীলনী বা সমস্যার ওপর সরাসরি নির্ভর না করে যদি আমরা এই প্রমাণটি সম্পন্ন করতে চাই, তবে আমাদের ম্যাট্রিক্সের উপস্থাপনাগুলোকে নিম্নোক্তভাবে লিখতে হবে: ${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})=QTQ^{-1}=Q{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{x})Q^{-1}$ এবং ${\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})=RSR^{-1}=R{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{y})R^{-1}$। প্রথম অনুচ্ছেদে বর্ণিত সমীকরণটি ব্যবহার করলে, এই দুটির মধ্যে প্রথম সমীকরণটি রূপান্তরিত হয়ে দাঁড়ায় ${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})=QP{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{y})P^{-1}Q^{-1}$। এরপর দ্বিতীয় সমীকরণটিকে $R^{-1}\cdot {\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})\cdot R={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{y})$ আকারে পুনরায় লিখে মান প্রতিস্থাপন করলে আমরা কাঙ্ক্ষিত গাণিতিক সম্পর্কটি লাভ করি:

${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})=QP{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(f_{y})P^{-1}Q^{-1}$

$=QPR^{-1}\cdot {\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})\cdot RP^{-1}Q^{-1}=(QPR^{-1})\cdot {\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})\cdot (QPR^{-1})^{-1}$

এর মাধ্যমে এটি সুনিশ্চিতভাবে প্রমাণিত হয় যে, ${\rm {Rep}}_{B,B}(f_{x})$ এবং ${\rm {Rep}}_{D,D}(f_{y})$ ম্যাট্রিক্সদ্বয় পরস্পর সদৃশ বা সিমিলার।

সমস্যা ১১

প্রমাণ করুন যে, ম্যাট্রিক্সের সদৃশতা তার নির্ণায়ক এবং র‍্যাঙ্ক চিত্রায়নকে অক্ষুণ্ণ রাখে। এই উক্তিটির বিপরীতটি কি সত্য হতে পারে?

উত্তর

আমাদের গাণিতিকভাবে এটি প্রদর্শন করতে হবে যে, যদি দুটি ম্যাট্রিক্স সদৃশ হয়, তবে তাদের নির্ণায়ক এবং র‍্যাঙ্ক উভয়ই অভিন্ন হবে। প্রকৃতপক্ষে, নির্ণায়ক এবং র‍্যাঙ্ক হলো ম্যাট্রিক্সের এমন দুটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য যা ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতার মাধ্যমে সংরক্ষিত হয়, যা ইতিপূর্বেই প্রমাণিত হয়েছে। যেহেতু সদৃশতা হলো ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতারই একটি বিশেষ ক্ষেত্র (বস্তুত, যদি দুটি ম্যাট্রিক্স সদৃশ হয়, তবে তারা অবশ্যই ম্যাট্রিক্স সমতুল্য হবে), তাই সিমিলারিটির ক্ষেত্রেও এই বৈশিষ্ট্যগুলো অপরিবর্তিত থাকে।

ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতার ফলাফলগুলো সরাসরি উদ্ধৃত না করে যদি আমরা এই বিবৃতিটি স্বতন্ত্রভাবে প্রমাণ করতে চাই, তবে প্রথমেই লক্ষ্য করতে হবে যে, র‍্যাঙ্ক হলো একটি মানচিত্র বা ম্যাপের সহজাত বৈশিষ্ট্য (এটি মূলত রেঞ্জস্পেসের মাত্রা বা ডাইমেনশন নির্দেশ করে)। যেহেতু আমরা ইতিপূর্বেই দেখিয়েছি যে একটি ম্যাপের র‍্যাঙ্ক এবং তার গাণিতিক উপস্থাপনার র‍্যাঙ্ক অভিন্ন, তাই এটি সকল প্রকার উপস্থাপনার জন্যই সমান হতে বাধ্য। অন্যদিকে, নির্ণায়কের ক্ষেত্রে গাণিতিক বিশ্লেষণটি নিম্নরূপ: $\left|PSP^{-1}\right|=\left|P\right|\cdot \left|S\right|\cdot \left|P^{-1}\right|=\left|P\right|\cdot \left|S\right|\cdot \left|P\right|^{-1}=\left|S\right|$। অর্থাৎ, সদৃশ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক সর্বদা মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের সমান হয়।

তবে এই কথাটির উল্টোটা সবসময় ঠিক নয়। যেমন—এমন অনেক ম্যাট্রিক্স আছে যাদের নির্ণায়কের মান এক, কিন্তু তারা দেখতে বা স্বভাবে সদৃশ নয়। বিষয়টি বোঝার জন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্সের কথা ভাবুন যার ভেতরে অন্তত কিছু উপাদান আছে (অশূন্য), কিন্তু হিসাব করলে তার নির্ণায়কের মান শূন্য আসে। গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী, এই ম্যাট্রিক্সটি কখনোই শূন্য ম্যাট্রিক্সের সদৃশ হতে পারে না, কারণ শূন্য ম্যাট্রিক্স কেবলমাত্র নিজের সাথেই সদৃশ হয়। অথচ, লক্ষ্য করলে দেখা যাবে যে উভয় ম্যাট্রিক্সেরই নির্ণায়কের মান কিন্তু একই (অর্থাৎ শূন্য)। ম্যাট্রিক্সের 'র‍্যাঙ্ক' এর ক্ষেত্রেও একই কথা খাটে।

সমস্যা ১২

এমন কোনো ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণি কি থাকা সম্ভব যার অভ্যন্তরে কেবলমাত্র একটি মাত্র ম্যাট্রিক্স সদৃশতা শ্রেণি বিদ্যমান? আবার এমন কোনো শ্রেণি কি আছে যেখানে অসীম সংখ্যক সদৃশতা শ্রেণি থাকতে পারে?

উত্তর

সকল $n\!\times \!n$ মাত্রার শূন্য র‍্যাঙ্কবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সসমূহকে ধারণকারী ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণিতে কেবলমাত্র একটি একক ম্যাট্রিক্স থাকে, আর সেটি হলো শূন্য ম্যাট্রিক্স। ফলশ্রুতিতে, এই সমতুল্যতা শ্রেণির উপসেট হিসেবে কেবলমাত্র একটি সদৃশতা শ্রেণিই অবস্থান করে।

এর বিপরীতে, এক র‍্যাঙ্কবিশিষ্ট $1\!\times \!1$ ম্যাট্রিক্সসমূহের সমতুল্যতা শ্রেণির কথা বিবেচনা করা যাক। এই শ্রেণিটি মূলত সেই সকল $1\!\times \!1$ ম্যাট্রিক্স $(k)$ দ্বারা গঠিত যেখানে $k\neq 0$। যেকোনো ভিত্তি $B$-এর জন্য, স্কেলার $k$ দ্বারা গুণের উপস্থাপনাটি হবে ${\rm {Rep}}_{B,B}(t_{k})=(k)$। এর অর্থ হলো, এই ধরনের প্রতিটি ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব সদৃশতা শ্রেণিতে এককভাবে অবস্থান করে। সুতরাং, এটি এমন একটি বিশেষ ক্ষেত্র যেখানে একটি ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণি অগণিত বা অসীম সংখ্যক সদৃশতা শ্রেণিতে বিভক্ত হয়ে যায়।

সমস্যা ১৩

দুটি ভিন্ন ভিন্ন কর্ণ ম্যাট্রিক্স কি একই সদৃশতা শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত হতে পারে?

উত্তর

হ্যাঁ, এটি অবশ্যই সম্ভব। নিচের ম্যাট্রিক্স দুটি পরস্পর সদৃশ:

${\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}$

এর কারণ হলো, যদি প্রথম ম্যাট্রিক্সটি $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ উপস্থাপনা হয়, তবে দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সটি হবে $D=\langle {\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{1}\rangle$ ভিত্তির সাপেক্ষে একই রূপান্তরের উপস্থাপনা ${\rm {Rep}}_{D,D}(t)$। অর্থাৎ ভিত্তির ক্রম পরিবর্তনের মাধ্যমে আমরা একই রূপান্তরের ভিন্ন ভিন্ন কর্ণ ম্যাট্রিক্স পেতে পারি।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৪

প্রমাণ করুন যে, যদি দুটি ম্যাট্রিক্স পরস্পর সদৃশ হয়, তবে তাদের $k$-তম ঘাতসমূহও পরস্পর সদৃশ হবে, যেখানে $k>0$। যদি $k\leq 0$ হয়, তবে ফলাফল কী হবে?

উত্তর

ম্যাট্রিক্স দুটির $k$-তম ঘাতসমূহ সদৃশ হওয়ার কারণ হলো, যদি প্রতিটি ম্যাট্রিক্স একটি নির্দিষ্ট মানচিত্র বা ম্যাপ $t$-কে উপস্থাপন করে, তবে তাদের $k$-তম ঘাতসমূহ মূলত $t^{k}$-কে উপস্থাপন করবে, যা $k$-সংখ্যক $t$-এর সংযোজন। (উদাহরণস্বরূপ, যদি $T=rep{t}{B,B}$ হয়, তবে $T^{2}={\rm {Rep}}_{B,B}(t\circ t)$ হবে)।

গাণিতিক হিসাবের মাধ্যমে এটি আরও স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করা যায়: যদি $T=PSP^{-1}$ হয়, তবে $T^{2}=(PSP^{-1})(PSP^{-1})=PS^{2}P^{-1}$ হবে। গাণিতিক আরোহ বিধির মাধ্যমে এই যুক্তিটিকে সকল ধনাত্মক ঘাতের জন্য সম্প্রসারিত করা সম্ভব।

যখন ঘাত $k\leq 0$ হয়, তখন আমরা ধরে নিতে পারি যে $S$ ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য এবং $T=PSP^{-1}$ সম্পর্কটি বিদ্যমান। এখানে বিশেষভাবে লক্ষ্যণীয় যে, $T$ ম্যাট্রিক্সটিও অবশ্যই বিপরীতযোগ্য হবে। গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করলে দেখা যায়: $T^{-1}=(PSP^{-1})^{-1}=PS^{-1}P^{-1}$। এই সমীকরণটি স্পষ্টভাবে প্রমাণ করে যে $T^{-1}$ এবং $S^{-1}$ ম্যাট্রিক্স দুটি পরস্পর সদৃশ বা সিমিলার। ম্যাট্রিক্সের অন্যান্য ঋণাত্মক ঘাতসমূহের ক্ষেত্রেও প্রথম অনুচ্ছেদে বর্ণিত যুক্তি ও পদ্ধতিগুলো একইভাবে প্রযোজ্য হবে। }}

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৫

ধরি, $p(x)$ হলো একটি বহুপদী রাশি বা পলিনোমিয়াল, যাকে $c_{n}x^{n}+\cdots +c_{1}x+c_{0}$ আকারে প্রকাশ করা যায়। এখন আমাদের এটি প্রমাণ করতে হবে যে, যদি $T$ এবং $S$ ম্যাট্রিক্স দুটি পরস্পর সদৃশ হয়, তবে তাদের সংশ্লিষ্ট বহুপদী ম্যাট্রিক্স $p(T)=c_{n}T^{n}+\cdots +c_{1}T+c_{0}I$ এবং $p(S)=c_{n}S^{n}+\cdots +c_{1}S+c_{0}I$-ও একে অপরের সদৃশ হবে।

উত্তর

তাত্ত্বিক বা ধারণাগত দিক থেকে বিচার করলে দেখা যায় যে, উভয় রাশিই কোনো একটি নির্দিষ্ট রৈখিক রূপান্তর $t$-এর জন্য $p(t)$-কে নির্দেশ করছে। অন্যদিকে, গাণিতিক গণনার প্রেক্ষিতে আমরা নিচের ধাপগুলো অনুসরণ করতে পারি।

${\begin{array}{rl}p(T)&=c_{n}(PSP^{-1})^{n}+\dots +c_{1}(PSP^{-1})+c_{0}I\\&=c_{n}PS^{n}P^{-1}+\dots +c_{1}PSP^{-1}+c_{0}I\\&=Pc_{n}S^{n}P^{-1}+\dots +Pc_{1}SP^{-1}+Pc_{0}P^{-1}\\&=P(c_{n}S^{n}+\dots +c_{1}S+c_{0})P^{-1}\end{array}}$

সমস্যা ১৬

$1\!\times \!1$ আকারের সকল ম্যাট্রিক্সের সমতুল্য শ্রেণিগুলোর একটি তালিকা তৈরি করুন। এর পাশাপাশি এদের সদৃশ শ্রেণিগুলোরও তালিকা করুন। প্রতিটি সমতুল্য শ্রেণির ভেতরে কোন কোন সদৃশ শ্রেণি রয়েছে, তার একটি বিস্তারিত বিবরণ দিন।

উত্তর

এখানে মূলত দুটি সমতুল্য শ্রেণি বিদ্যমান। প্রথমত, (১) শূন্য র‍্যাঙ্কবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সের শ্রেণি, যেখানে কেবলমাত্র একটি উপাদান রয়েছে: ${\mathcal {C}}_{1}=\{(0)\}$, এবং দ্বিতীয়ত, (২) এক র‍্যাঙ্কবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সের শ্রেণি, যেখানে অসীম সংখ্যক উপাদান বিদ্যমান: ${\mathcal {C}}_{2}=\{(k)\,{\big |}\,k\neq 0\}$।

প্রতিটি $1\!\times \!1$ ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব সদৃশ শ্রেণিতে এককভাবে অবস্থান করে। এর মূল কারণ হলো, যেকোনো একমাত্রিক জগতের রৈখিক রূপান্তর মূলত একটি স্কেলার রাশি দ্বারা গুণ করার সমান, যাকে $t_{k}:V\to V$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যায় এবং যেখানে ${\vec {v}}\mapsto k\cdot {\vec {v}}$। ফলস্বরূপ, যেকোনো ভিত্তি $B=\langle {\vec {\beta }}\rangle$-এর জন্য, $B,B$ সাপেক্ষে $t_{k}$ রূপান্তরটিকে উপস্থাপনকারী ম্যাট্রিক্সটি হবে $({\rm {Rep}}_{B}(t_{k}({\vec {\beta }})))=(k)$।

সুতরাং, এটি অত্যন্ত স্পষ্ট যে ম্যাট্রিক্স সমতুল্য শ্রেণি ${\mathcal {C}}_{1}$-এর মধ্যে (স্বাভাবিকভাবেই) কেবলমাত্র একটি সদৃশ শ্রেণি রয়েছে যা $(0)$ ম্যাট্রিক্সটি নিয়ে গঠিত। অন্যদিকে, ম্যাট্রিক্স সমতুল্য শ্রেণি ${\mathcal {C}}_{2}$-এর অন্তর্ভুক্ত রয়েছে অগণিত সদৃশ শ্রেণি, যার প্রত্যেকটিতে $k\neq 0$ শর্তাধীনে একটি করে একক উপাদান $(k)$ বিদ্যমান।

সমস্যা ১৭

ম্যাট্রিক্সের সদৃশতা কি যোগফলের বৈশিষ্ট্য বজায় রাখে? অর্থাৎ, দুটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল কি তাদের সদৃশ ম্যাট্রিক্সগুলোর যোগফলের সদৃশ হয়?

উত্তর

না, সদৃশতা যোগফলের ক্ষেত্রে সংরক্ষিত হয় না। নিচে একটি উদাহরণের মাধ্যমে বিষয়টি ব্যাখ্যা করা হলো যেখানে দুই জোড়া সদৃশ ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করা হয়েছে:

${\begin{pmatrix}1&-1\\1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2/3&1/3\\-1/3&1/3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5/3&-2/3\\-4/3&7/3\end{pmatrix}}$

এবং

${\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&-2\\-1&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5&-4\\2&1\end{pmatrix}}$

(হয়তো মনে হতে পারে যে এই উদাহরণটি ইচ্ছেমতো বেছে নেওয়া হয়েছে, কিন্তু আসলে এটি পুরোপুরি অর্থহীন নয়। কারণ, বাম পাশের মাঝখানের ম্যাট্রিক্স দুটি যোগ করলে একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়।)। এখানে একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয় লক্ষ করা প্রয়োজন যে, এই ধরনের সদৃশ ম্যাট্রিক্সসমূহের যোগফল কিন্তু সর্বদা সদৃশ হয় না।

${\begin{pmatrix}1&0\\0&3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}5/3&-2/3\\-4/3&7/3\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-5&-4\\2&1\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}$

এর গাণিতিক কারণ হলো, একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স কেবলমাত্র নিজের সাথেই সদৃশ হতে পারে, অন্য কোনো ম্যাট্রিক্সের সাথে নয়।

সমস্যা ১৮

প্রমাণ করে দেখান যে, যদি $T-\lambda I$ এবং $N$ পরস্পর সদৃশ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে $T$ এবং $N+\lambda I$ ম্যাট্রিক্স দুটিও অবশ্যই পরস্পর সদৃশ হবে।

উত্তর

যদি আমরা গাণিতিকভাবে ধরে নিই যে $N=P(T-\lambda I)P^{-1}$, তবে ম্যাট্রিক্সের বীজগণিতীয় নিয়ম অনুযায়ী আমরা লিখতে পারি $N=PTP^{-1}-P(\lambda I)P^{-1}$। এখানে $\lambda I$ নামক কর্ণ ম্যাট্রিক্সটি অন্য যেকোনো ম্যাট্রিক্সের সাথে বিনিময়যোগ্য হয়, যার ফলে $P(\lambda I)P^{-1}=PP^{-1}(\lambda I)=\lambda I$ সমীকরণটি প্রতিষ্ঠিত হয়। এর প্রেক্ষিতে আমরা পাই $N=PTP^{-1}-\lambda I$ এবং ফলশ্রুতিতে এটি প্রমাণিত হয় যে $N+\lambda I=PTP^{-1}$। (সুতরাং, তারা যে কেবল সদৃশ তা-ই নয়, বরং তারা প্রকৃতপক্ষে একই রূপান্তর ম্যাট্রিক্স $P$-এর মাধ্যমেই পরস্পর সদৃশ হিসেবে প্রমাণিত হয়।)

তথ্যসূত্র

• Halmos, Paul P. (১৯৫৮), Finite Dimensional Vector Spaces (Second সংস্করণ), Van Nostrand উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.