রৈখিক বীজগণিত/সদৃশতার সংজ্ঞা ও উদাহরণ

সংজ্ঞা এবং উদাহরণসমূহ

আমরা ইতিপূর্বে $H$ এবং ${\hat {H}}$-কে ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছি, যদি সেখানে এমন দুটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স $P$ এবং $Q$ থাকে যাতে ${\hat {H}}=PHQ$ হয়। এই সংজ্ঞাটি মূলত নিচের চিত্রটি খেকে এসেছে —

এখানে দেখা যাচ্ছে যে, $H$ এবং ${\hat {H}}$ উভয়ই একই রৈখিক চিত্রায়ন $h$-কে প্রকাশ করে,তবে তাদের ভিত্তি বা বেসিস জোড়া আলাদা। এখন আমরা এই নিয়মটি এমন একটা বিশেষ জায়গায় ব্যবহার করব, যেখানে ডোমেইন এবং কোডোমেইন একই হবে। শুধু তাই নয়, এদের উভয়ের ভিত্তিও হবে একদম এক।

নিচের বাম দিক থেকে নিচের ডান দিকে যাওয়ার জন্য আমরা হয় সরাসরি যেতে পারি, অথবা প্রথমে উপরে গিয়ে, তারপর ডানে ঘুরে এবং সবশেষে নিচে নেমে আসতে পারি। ম্যাট্রিক্সের ভাষায় বলতে গেলে:

${\rm {Rep}}_{D,D}(t)={\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}})\;{\rm {Rep}}_{B,B}(t)\;{\bigl (}{\rm {Rep}}_{B,D}({\mbox{id}}){\bigr )}^{-1}$

(মনে রাখবেন, ফাংশনের এই বিন্যাসটি ডান থেকে বাম দিকে পড়তে হয়।)।

সংজ্ঞা ১.১

যদি এমন একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স $P$ থাকে যাতে $T=PSP^{-1}$ হয়, তবে $T$ এবং $S$ ম্যাট্রিক্স দুটিকে একে অপরের সদৃশ বলা হয়।

যেহেতু নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সগুলো বর্গাকার হয়, তাই সদৃশ ম্যাট্রিক্স $T$ এবং $S$-কেও অবশ্যই বর্গাকার এবং একই মাত্রার বা আকারের হতে হবে।

উদাহরণ ১.২

নিচের এই দুটি ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে,

$P={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}\qquad S={\begin{pmatrix}2&-3\\1&-1\end{pmatrix}}$

হিসাব করলে দেখা যায় যে, $S$ ম্যাট্রিক্সটি নিচের এই ম্যাট্রিক্সটির সদৃশ:

$T={\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ১.৩

শূন্য ম্যাট্রিক্সের সদৃশ একমাত্র ম্যাট্রিক্স হলো সেটি নিজেই: $PZP^{-1}=PZ=Z$। একইভাবে, অভেদ ম্যাট্রিক্সের সদৃশ একমাত্র ম্যাট্রিক্স হলো সেটি নিজেই: $PIP^{-1}=PP^{-1}=I$।

যেহেতু ম্যাট্রিক্স সদৃশতা হলো ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতার একটি বিশেষ ক্ষেত্র, তাই যদি দুটি ম্যাট্রিক্স সদৃশ হয় তবে তারা অবশ্যই সমতুল্য হবে। কিন্তু এর বিপরীত উক্তিটি কি সত্য? অর্থাৎ, দুটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স সমতুল্য হলেই কি তারা সদৃশ হবে? এর উত্তর হলো— না।

পূর্ববর্তী উদাহরণ থেকে দেখা যায় যে, সদৃশতা শ্রেণিগুলো ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণিগুলো থেকে আলাদা। এর কারণ হলো, অভেদক ম্যাট্রিক্সের সমতুল্যতা শ্রেণির মধ্যে ওই একই আকারের সকল অ-ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স অন্তর্ভুক্ত থাকে। উদাহরণস্বরূপ, নিচের এই দুটি ম্যাট্রিক্স সমতুল্য হলেও তারা সদৃশ নয়।

$T={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad S={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}$

তাই কিছু ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণি দুই বা তার বেশি সদৃশতা শ্রেণিতে ভাগ হয়ে যায়। এর মানে হলো, সমতুল্যতার তুলনায় সদৃশতা আরও সূক্ষ্ম বিভাজন তৈরি করে। নিচের ছবিতে দেখা যাচ্ছে কীভাবে কিছু ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণি ছোট ছোট সদৃশতা শ্রেণিতে উপবিভক্ত হয়েছে।

সদৃশতা সম্পর্কটি ভালোভাবে বোঝার জন্য আমাদের সদৃশতা শ্রেণিগুলো নিয়ে আলোচনা করতে হবে। আমরা যেভাবে সারি সমতুল্যতা এবং ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা সম্পর্কগুলো নিয়ে পড়াশোনা করেছি, এখানেও ঠিক একইভাবে এগোব। আমরা সদৃশতা শ্রেণির প্রতিনিধিদের জন্য একটি ক্যানোনিকাল আকার খুঁজে বের করব, যাকে 'জর্ডান আকার' বলা হয়। এই ক্যানোনিকাল আকারের সাহায্যে আমরা সহজেই সিদ্ধান্ত নিতে পারব যে দুটি ম্যাট্রিক্স সদৃশ কি না; এর জন্য শুধু দেখতে হবে যে তারা একই প্রতিনিধিতে রূপান্তরিত হয় কি না। আমরা সারি সমতুল্যতা এবং ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা—উভয় ক্ষেত্রেই দেখেছি যে, একটি ক্যানোনিকাল আকার আমাদের বুঝতে সাহায্য করে যে একই শ্রেণির সদস্যরা ঠিক কোন দিক থেকে একে অপরের মতো (যেমন: একই আকারের দুটি ম্যাট্রিক্স তখনই সমতুল্য হয় যদি এবং কেবল যদি তাদের র‍্যাঙ্ক বা মাত্রা সমান হয়)।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

নিচের ম্যাট্রিক্সগুলোর জন্য:

$S={\begin{pmatrix}1&3\\-2&-6\end{pmatrix}}\quad T={\begin{pmatrix}0&0\\-11/2&-5\end{pmatrix}}\quad P={\begin{pmatrix}4&2\\-3&2\end{pmatrix}}$

যাচাই করুন যে $T=PSP^{-1}$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২

উদাহরণ ১.৩ দেখায় যে, একটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের সদৃশ ম্যাট্রিক্স কেবল সেটি নিজেই। একইভাবে, অভেদক ম্যাট্রিক্স সদৃশ ম্যাট্রিক্সও কেবল সেটি নিজেই।

1. দেখান যে, $1\!\times \!1$ আকারের ম্যাট্রিক্স $(2)$-ও কেবল নিজের সাথেই সদৃশ।
2. কোনো স্কেলার $c$-এর জন্য $cI$ আকারের একটি ম্যাট্রিক্স কি কেবল নিজের সাথেই সদৃশ হবে?
3. একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স বা ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স কি কেবল নিজের সাথেই সদৃশ হয়?

সমস্যা ৩

দেখান যে নিচের ম্যাট্রিক্সগুলো সদৃশ নয়।

${\begin{pmatrix}1&0&4\\1&1&3\\2&1&7\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&1\\3&1&2\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৪

মনে করুন $t:{\mathcal {P}}_{2}\to {\mathcal {P}}_{2}$ একটি রূপান্তর বা ট্রান্সফরমেশন, যা $x^{2}\mapsto x+1$, $x\mapsto x^{2}-1$, এবং $1\mapsto 3$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

1. $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ নির্ণয় করুন, যেখানে ভিত্তি বা বেসিস $B=\langle x^{2},x,1\rangle$।
2. $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ নির্ণয় করুন, যেখানে ভিত্তি $D=\langle 1,1+x,1+x+x^{2}\rangle$।
3. এমন একটি ম্যাট্রিক্স $P$ নির্ণয় করুন যেন $T=PSP^{-1}$ হয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৫

নিচের উপায়ে একটি অ-তুচ্ছ সদৃশ সম্পর্ক প্রদর্শন করুন: মনে করুন $t:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$ রূপান্তরটি এভাবে কাজ করে:

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$

এবং দুইটি ভিত্তি নির্বাচন করুন, এবং এরপর $t$-কে এদের সাপেক্ষে প্রকাশ করুন যাতে $T={\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ এবং $S={\rm {Rep}}_{D,D}(t)$ হয়। এরপর ভিত্তি $B$ থেকে $D$-তে এবং পুনরায় পূর্বের ভিত্তিতে পরিবর্তনের জন্য $P$ এবং $P^{-1}$ গণনা করুন।

সমস্যা ৬

চিত্রণ বা ম্যাপের মাধ্যমে উদাহরণ ১.৩ ব্যাখ্যা করুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৭

এমন কি কোনো দুইটি ম্যাট্রিক্স $A$ এবং $B$ থাকা সম্ভব যারা নিজেরা সদৃশ, কিন্তু তাদের বর্গ $A^{2}$ এবং $B^{2}$ সদৃশ নয়?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৮

প্রমাণ করুন যে, যদি দুইটি ম্যাট্রিক্স সদৃশ হয় এবং তাদের একটি বিপরীতযোগ্য হয়, তবে অন্যটিও বিপরীতযোগ্য হবে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৯

দেখান যে, সদৃশতা একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক।

সমস্যা ১০

ধরুন, একটি ম্যাট্রিক্স কোনো ভিত্তি $B,B$-এর সাপেক্ষে $\mathbb {R} ^{2}$ সমতলে $x$-অক্ষ বরাবর প্রতিফলন নির্দেশ করে। আবার অন্য একটি ম্যাট্রিক্স কোনো ভিত্তি $D,D$-এর সাপেক্ষে $y$-অক্ষ বরাবর প্রতিফলন নির্দেশ করে। তারা কি অবশ্যই সদৃশ হবে?

সমস্যা ১১

প্রমাণ করুন যে, সদৃশতা ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক এবং র‍্যাঙ্ক অপরিবর্তিত রাখে। এর বিপরীত উক্তিটি কি সত্য?

সমস্যা ১২

এমন কি কোনো ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণী আছে যার ভেতরে মাত্র একটি ম্যাট্রিক্স সদৃশতা শ্রেণী বিদ্যমান? এমন কোনো শ্রেণী কি আছে যাতে অসীম সংখ্যক সদৃশতা শ্রেণী রয়েছে?

সমস্যা ১৩

দুইটি ভিন্ন কর্ণ ম্যাট্রিক্স কি একই সদৃশতা শ্রেণীর অন্তর্ভুক্ত হতে পারে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৪

প্রমাণ করুন যে, যদি দুইটি ম্যাট্রিক্স সদৃশ হয়, তবে $k>0$ এর জন্য তাদের $k$-তম ঘাতসমূহও সদৃশ হবে। যদি $k\leq 0$ হয় তবে কী ঘটবে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৫

ধরুন $p(x)$ হলো একটি বহুপদী $c_{n}x^{n}+\cdots +c_{1}x+c_{0}$। দেখান যে, যদি $T$ এবং $S$ সদৃশ হয়, তবে $p(T)=c_{n}T^{n}+\cdots +c_{1}T+c_{0}I$ এবং $p(S)=c_{n}S^{n}+\cdots +c_{1}S+c_{0}I$ ও সদৃশ হবে।

সমস্যা ১৬

সকল $1\!\times \!1$ ম্যাট্রিক্সের সমতুল্যতা শ্রেণীগুলোর তালিকা তৈরি করুন। একইসাথে এদের সদৃশতা শ্রেণীগুলোর তালিকা তৈরি করুন এবং প্রতিটি ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণীর ভেতরে কোন কোন সদৃশতা শ্রেণী রয়েছে তা বর্ণনা করুন।

সমস্যা ১৭

সদৃশতা কি যোগফলকে অপরিবর্তিত রাখে?

সমস্যা ১৮

দেখান যে, যদি $T-\lambda I$ এবং $N$ সদৃশ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে $T$ এবং $N+\lambda I$-ও সদৃশ হবে।

Solutions

তথ্যসূত্র

• হালমোস, পল পি. (১৯৫৮), ফাইনাইট ডাইমেনশনাল ভেক্টর স্পেসেস (দ্বিতীয় সংস্করণ), ভ্যান নস্ট্র্যান্ড উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

{navigation|Book=Linear Algebra |current=সদৃশতার সংজ্ঞা এবং উদাহরণসমূহ |previous=জটিল সংখ্যায় উপস্থাপনা |next=কর্ণায়িতকরণ যোগ্যতা}}