রৈখিক বীজগণিত/ল্যাপলাসের উপপাদ্য

এখানে আমরা একাধিক সারি বা কলামের উপর ভিত্তি করে নির্ণায়কের বিস্তারের একটি অধিকতর সাধারণ উপপাদ্য নিয়ে আলোচনা করব।

ধরি আমাদের কাছে $n$ মাত্রার একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স $M$ আছে। ধরি, আমরা $0<k<n$ সংখ্যক সারি ও কলাম নির্দিষ্ট করলাম। ঐ সারি এবং কলামগুলোর ছেদতাংশ $k$ মাত্রার একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স গঠন করে। এ ধরনের ম্যাট্রিক্সকে $k$ মাত্রার মাইনর বা অনুরাশি বলা হয়। আমরা এ ধরনের মাইনরকে নিচের প্রতীকের সাহায্যে প্রকাশ করব:

$M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

যেখানে $i_{1},i_{2},...,i_{k}$ নির্বাচিত সারিগুলোকে এবং $j_{1},j_{2},...,j_{k}$ নির্বাচিত কলামগুলোকে নির্দেশ করে।

এখন ধরা যাক, আমরা নির্বাচিত কলাম এবং সারিগুলো মুছে ফেললাম। তাহলে, আমরা আবারও একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স পাব, তবে এবার এর মাত্রা হবে $n-k$। একে পূর্ববর্তী মাইনরের পূরক মাইনর বলা হয়।

প্রথম $k$ সংখ্যক সারি এবং কলাম নিয়ে গঠিত মাইনর $M_{1,2,3,...,k}^{1,2,3,...,k}$ বিবেচনা করা যাক।

এখন $M$ নির্ণায়কের এমন সমস্ত পদ বিবেচনা করুন যেখানে প্রথম $k$ সংখ্যক কলামের ভুক্তিগুলো প্রথম $k$ সংখ্যক সারিরও অন্তর্ভুক্ত। ধরি এরকম একটি পদ হলো $q$। এর প্রথম $k$ সংখ্যক পদ $M_{1,2,3,...,k}^{1,2,3,...,k}$ মাইনরে অবস্থিত। এখন আমরা নির্ণায়কে এই পদের আগের চিহ্নটি নির্ধারণ করব। প্রথম $k$ সংখ্যক উৎপাদক মাইনরের ভিতরেই থাকে, তাই প্রথম $k$ সংখ্যক পদের মধ্যে বিপরীতকরণের সংখ্যা মাইনরে বিপরীতকরণের সংখ্যার সমান। শেষের $n-k$ সংখ্যক পদগুলো সবই পূরক মাইনরে থাকে, তাই শেষের $n-k$ সংখ্যক পদের মধ্যে বিপরীতকরণের সংখ্যা পূরক মাইনরের বিপরীতকরণের সংখ্যার সমান। লক্ষ্য করুন যে, প্রথম $k$ সংখ্যক পদ এবং শেষের $n-k$ সংখ্যক পদের মধ্যে কোনো বিপরীতকরণ নেই। সুতরাং, মোট বিপরীতকরণের সংখ্যা হলো মাইনর এবং পূরক মাইনরের বিপরীতকরণের সমষ্টি। ধরি মাইনরে বিপরীতকরণের সংখ্যা $r_{1}$ এবং পূরক মাইনরে বিপরীতকরণের সংখ্যা $r_{2}$। তাহলে $M$ নির্ণায়কে পদটির চিহ্ন হবে কেবল $(-1)^{r_{1}+r_{2}}$, তাই এটি মাইনরের পদের চিহ্ন এবং পূরক মাইনরের পদের চিহ্নের গুণফলের সমান। অতএব, আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে, মাইনরের একটি পদ এবং পূরক মাইনরের একটি পদের গুণফল নির্ণায়ক $M$ এর একটি পদ প্রদান করে। তদুপরি, নির্ণায়ক $M$ এর সমস্ত পদের জন্য, মাইনর এবং পূরক মাইনরে সংশ্লিষ্ট দুটি পদ বিদ্যমান থাকে। সুতরাং, এমন সমস্ত পদের সমষ্টি, যাদের প্রথম $k$ সংখ্যক উৎপাদক প্রথম $k$ সংখ্যক সারিতেও থাকে, তা ঠিক মাইনর $M_{1,2,3,...,k}^{1,2,3,...,k}$ এবং এর পূরক মাইনরের গুণফলের সমান।

এখন আমরা যেকোনো একটি মাইনর

$M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ বিবেচনা করি।

আমরা $M$ ম্যাট্রিক্সের সারি এবং কলামগুলো বিনিময় করতে পারি যতক্ষণ না মাইনরের সমস্ত সারি এবং কলাম উপরের বাম কোণে চলে আসে। এর জন্য মোট $(i_{1}-1)+(i_{2}-2)+...+(i_{k}-k)+(j_{1}-1)+(j_{2}-2)+...+(j_{k}-k)$ বার সারি বিনিময় করতে হয়। সুতরাং, এই বিনিময়গুলো সম্পন্ন করার ফলে, এটি ততবার $-1$ দ্বারা গুণ হয়, অথবা, $-1$ এর জোড় ঘাতগুলো বাদ দিলে এটি $(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}$ দ্বারা গুণ হয়।

আমরা ইতিমধ্যেই প্রমাণ করেছি যে, প্রথম $k$ সংখ্যক সারি ও কলামে থাকা $k$ সংখ্যক পদ বিশিষ্ট সমস্ত পদের সমষ্টি হলো মাইনর এবং তার পূরক মাইনরের গুণফল। সুতরাং, মাইনরের সারি ও কলামে থাকা $k$ সংখ্যক পদ বিশিষ্ট সমস্ত পদের সমষ্টি মূলত মাইনরের নির্ণায়ক এবং পূরক মাইনরের নির্ণায়কের গুণফলের সাথে $(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}$ এর গুণফল।

যদি আমরা $M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ এর পূরক মাইনরকে $K_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ হিসেবে নির্দেশ করি,

তাহলে আমরা এই সমষ্টিের সম্পর্কটিকে এভাবে প্রকাশ করতে পারি: $(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}K_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

অথবা

$M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$

যেখানে $A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}=(-1)^{\sum _{z=0}^{k}i_{z}+\sum _{z=0}^{k}j_{z}}K_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$-কে $M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ মাইনরের সহগুণক বলা হয়।

যেহেতু $M$ নির্ণায়কের সমস্ত পদের অন্তত $k$ সংখ্যক পদ মাইনরে থাকে, প্রতিটি নির্বাচিত সারিতে একটি করে, তাই আমরা সারিগুলোর একটি নির্বাচন করতে পারি এবং তারপরে নির্বাচিত কলামগুলোর মধ্য দিয়ে যাওয়া সমস্ত পদকে একসাথে দলভুক্ত করতে পারি। আমরা ইতিমধ্যেই প্রমাণ করেছি যে এ ধরনের সমস্ত পদের সমষ্টি হলো মাইনর এবং এর সহগুণকের গুণফল। যেহেতু কলামগুলোর যথাযথ নির্বাচন করে আমরা যেকোনো পদ বেছে নিতে পারি, তাই সমস্ত পদই কলাম নির্বাচনের মাধ্যমে বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত এরকম কোনো না কোনো দলের অন্তর্ভুক্ত হয়। সুতরাং, দলগুলোর সবকটিতেই নির্ণায়কের সমস্ত পদ অন্তর্ভুক্ত থাকে, এবং সে কারণে, যদি আমাদের $k$ সংখ্যক সারির একটি নির্বাচন $i_{1},i_{2},...,i_{k}$ দেওয়া থাকে, তবে নির্ণায়কটিকে নিচের সমষ্টি হিসেবে বৈশিষ্ট্য প্রদান করা যায়:

$\sum M_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}A_{j_{1},j_{2},...,j_{k}}^{i_{1},i_{2},...,i_{k}}$ যেখানে কলামগুলো $k$ সংখ্যক কলামের সম্ভাব্য সকল সমাবেশের ওপর পরিবর্তিত হয়।

অবশ্যই, একই পদ্ধতির সাহায্যে একটি অনুরূপ ফলাফল প্রমাণ করা যেতে পারে যে, $k$ সংখ্যক কলামের একটি নির্বাচন দেওয়া থাকলে, নির্ণায়কটিকে মাইনর এবং তাদের সহগুণকগুলোর গুণফলের সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে, যেখানে সারিগুলো $k$ সংখ্যক সারির সমস্ত সম্ভাব্য সমাবেশের ওপর পরিবর্তিত হয়।